Фильтр синк

Идеальный фильтр нижних частот или усредняющий фильтр

Нормализованная функция sinc , импульсная характеристика фильтра sinc-in-time и частотная характеристика фильтра sinc-in-frequency.

Прямоугольная функция , частотная характеристика фильтра sinc-in-time и импульсная характеристика фильтра sinc-in-frequency.

В обработке сигналов sinc -фильтр может относиться либо к фильтру sinc-in-time , импульсная характеристика которого является функцией sinc , а частотная характеристика — прямоугольной, либо к фильтру sinc-in-frequency , импульсная характеристика которого является прямоугольной, а частотная характеристика — функцией sinc. Называя их в соответствии с доменом, к которому фильтр похож, sinc, можно избежать путаницы. Если домен не указан, часто предполагается sinc-in-time, или контекст, как мы надеемся, может вывести правильный домен.

Синхронизация во времени

Sinc-in-time — идеальный фильтр , который удаляет все частотные компоненты выше заданной частоты среза , не ослабляя нижние частоты, и имеет линейную фазовую характеристику. Таким образом, его можно считать фильтром кирпичной стены или прямоугольным фильтром.

Его импульсная характеристика представляет собой функцию sinc во временной области :

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$

в то время как его частотная характеристика представляет собой прямоугольную функцию :

${\displaystyle H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|f|=B,\\1,&{\text{if }}|f|<B,\end{cases}}}$

где (представляющая его полосу пропускания ) — произвольная частота среза. ${\displaystyle B}$

Его импульсная характеристика определяется обратным преобразованием Фурье его частотной характеристики:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}}$

где sinc — нормализованная функция sinc .

Фильтры кирпичной стены

Идеализированный электронный фильтр с полным пропусканием в полосе пропускания, полным затуханием в полосе задерживания и резкими переходами в разговорной речи известен как «фильтр кирпичной стены» (в связи с формой передаточной функции ). Фильтр sinc-in-time — это фильтр нижних частот кирпичной стены, из которого легко строятся фильтры нижних частот кирпичной стены и фильтры верхних частот .

Фильтр нижних частот с частотной характеристикой среза B _L имеет импульсную характеристику и передаточную функцию, определяемые следующим образом:

${\displaystyle h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

Полосовой фильтр с нижней границей полосы B _L и верхней границей полосы B _H представляет собой просто разность двух таких синхронизированных по времени фильтров (поскольку фильтры имеют нулевую фазу, их амплитудные характеристики вычитаются напрямую): ^[1]

${\displaystyle h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

Фильтр верхних частот с нижней границей полосы B _H представляет собой просто прозрачный фильтр за вычетом фильтра sinc-in-time, что ясно показывает, что дельта-функция Дирака является пределом узкого по времени фильтра sinc-in-time:

${\displaystyle h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)}$

${\displaystyle H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).}$

Нереализуемо

Поскольку фильтр sinc-in-time имеет бесконечную импульсную характеристику как в положительном, так и в отрицательном направлении времени, он не является причинно-следственным и имеет бесконечную задержку (т. е. его компактная поддержка в частотной области заставляет его временную характеристику не иметь компактной поддержки, что означает, что она вечна) и бесконечный порядок (т. е. отклик не может быть выражен как линейное дифференциальное уравнение с конечной суммой). Однако он используется в концептуальных демонстрациях или доказательствах, таких как теорема о выборке и интерполяционная формула Уиттекера–Шеннона .

Фильтры sinc-in-time должны быть приближены для реальных (не абстрактных) приложений, обычно путем создания окон и усечения идеального ядра фильтра sinc-in-time , но это снижает его идеальные свойства. Это применимо к другим фильтрам brick-wall, построенным с использованием фильтров sinc-in-time.

Стабильность

Фильтр sinc не является стабильным по принципу ограниченного входа и ограниченного выхода (BIBO) . То есть ограниченный вход может дать неограниченный выход, поскольку интеграл абсолютного значения функции sinc бесконечен. Ограниченный вход, дающий неограниченный выход, — это sgn(sinc( t )). Другой — это sin(2 π Bt ) u ( t ), синусоида, начинающаяся в момент времени 0, на частоте среза.

Частотно-доменный sinc

Графики пропускания для групповых усредняющих фильтров с частотой дискретизации 1000 Гц:

Простейшая реализация фильтра sinc-in-frequency использует импульсную характеристику boxcar для получения простого скользящего среднего (в частности, если делить на количество выборок), также известного как фильтр накопления и сброса (в частности, если просто суммировать без деления). Его можно смоделировать как фильтр FIR со всеми равными коэффициентами. Иногда его каскадируют для получения скользящих средних более высокого порядка (см. Конечный импульсный отклик § Пример скользящего среднего и каскадный интеграторно-гребенчатый фильтр ). ${\displaystyle N}$

Этот фильтр можно использовать для грубой, но быстрой и простой субдискретизации (прореживания) с коэффициентом Простота фильтра (накопление выборок данных, вывод результата накопителя, обнуление накопителя и повторение) сводится на нет его посредственными возможностями нижних частот. Его худшее затухание в полосе задерживания составляет -13,3 дБ ^[2] , а большинство высокочастотных компонентов ослаблены лишь немного больше этого. Фильтр -sample, выбранный по желанию, псевдонимизирует все не полностью ослабленные компоненты сигнала, лежащие выше основной полосы в диапазоне от постоянного тока до ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{S}}$ ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$ ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}.}$

Фильтр групповой усредняющей обработки образцов имеет нули передачи, равномерно распределенные по с самым низким нулем при и самым высоким нулем при ( частота Найквиста ). Выше частоты Найквиста частотная характеристика зеркально отражается и затем периодически повторяется выше вечно. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{2}}}$ ${\displaystyle f_{S}}$

Величина частотной характеристики (показанная на этих графиках) полезна, когда нужно узнать, насколько ослабляются частоты. Хотя функция sinc на самом деле колеблется между отрицательными и положительными значениями, отрицательные значения частотной характеристики просто соответствуют сдвигу фазы на 180 градусов .

Фильтр Inverse sinc может использоваться для выравнивания в цифровой области (например, фильтр FIR ) или аналоговой области (например, фильтр операционного усилителя ) для противодействия нежелательному затуханию в интересующей полосе частот, чтобы обеспечить ровную частотную характеристику. ^[3]

См. раздел Функция окна § Прямоугольное окно для получения информации о применении ядра sinc в качестве простейшей функции окна.

Смотрите также

• Повторная выборка Ланцоша
• Алиасинг
• Фильтр сглаживания

Ссылки

1. Марк Оуэн (2007). Практическая обработка сигналов. Cambridge University Press. стр. 81. ISBN 978-0-521-85478-8.
2. Verbeure, Tom (2020-09-30). "Интуитивный взгляд на скользящую среднюю и фильтры CIC". Электроника и т. д . . Архивировано из оригинала 2023-04-02 . Получено 2023-08-24 .
3. "ПРИЛОЖЕНИЕ 3853: Методы выравнивания выравнивают частотную характеристику ЦАП". Analog Devices . 2012-08-20. Архивировано из оригинала 2023-09-18 . Получено 2024-01-02 .

Внешние ссылки

• Цифровые фильтры Brick Wall и отклонения фазы
• Фильтры кирпичной стены