Флип (математика)

Хирургическая операция в минимальной модельной программе

В алгебраической геометрии флипы и флопы являются операциями хирургии коразмерности 2 , возникающими в программе минимальной модели , заданной раздутием вдоль относительного канонического кольца . В размерности 3 флипы используются для построения минимальных моделей, и любые две бирационально эквивалентные минимальные модели соединяются последовательностью флопов. Предполагается, что то же самое верно и в более высоких размерностях.

Минимальная модель программы

Минимальную модельную программу можно очень кратко изложить следующим образом: для заданного многообразия мы строим последовательность сжатий , каждое из которых сжимает некоторые кривые, на которых канонический делитель отрицателен. В конце концов, должно стать nef (по крайней мере, в случае неотрицательной размерности Кодаиры ), что и является желаемым результатом. Основная техническая проблема заключается в том, что на каком-то этапе многообразие может стать «слишком сингулярным», в том смысле, что канонический делитель больше не является делителем Картье , поэтому число пересечений с кривой даже не определено. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ ${\displaystyle K_{X_{n}}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ ${\displaystyle K_{X_{i}}\cdot C}$ ${\displaystyle C}$

(Предполагаемое) решение этой проблемы — переворот . Учитывая проблемную ситуацию , как указано выше, переворот — это бирациональное отображение (фактически изоморфизм в коразмерности 1) в многообразие, особенности которого «лучше», чем у . Поэтому мы можем положить , и продолжить процесс. ^[1] ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i+1}=X_{i}^{+}}$

Две основные проблемы, касающиеся флипов, — это показать, что они существуют, и показать, что не может быть бесконечной последовательности флипов. Если обе эти проблемы могут быть решены, то может быть выполнена программа минимальной модели. Существование флипов для 3-складок было доказано Мори (1988). Существование логарифмических флипов, более общего вида флипа, в размерности три и четыре было доказано Шокуровым (1993, 2003), чья работа была основополагающей для решения вопроса о существовании логарифмических флипов и других проблем в более высокой размерности. Существование логарифмических флипов в более высокой размерности было решено (Кошер Биркар, Паоло Кашини и Кристофер Д. Хакон и др. 2010). С другой стороны, проблема завершения — доказательство того, что не может быть бесконечной последовательности флипов — все еще открыта в размерностях больше 3.

Определение

Если — морфизм, а K — каноническое расслоение X , то относительное каноническое кольцо f — это ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK))}$

и является пучком градуированных алгебр над пучком регулярных функций на Y. Раздутие ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$

${\displaystyle f^{+}\colon X^{+}=\operatorname {Proj} {\big (}\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\to Y}$

Y вдоль относительного канонического кольца является морфизмом в Y . Если относительное каноническое кольцо конечно порождено (как алгебра над ), то морфизм называется переворотом , если относительно обилен, и переворотом , если K относительно тривиален. (Иногда индуцированный бирациональный морфизм из в называется переворотом или переворотом.) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}}$

В приложениях часто представляет собой небольшое сокращение экстремального луча, что подразумевает несколько дополнительных свойств: ${\displaystyle f}$

• Исключительные наборы обоих отображений и имеют коразмерность не менее 2, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$
• ${\displaystyle X}$и имеют только мягкие сингулярности, такие как терминальные сингулярности . ${\displaystyle X^{+}}$
• ${\displaystyle f}$и являются бирациональными морфизмами на Y , который является нормальным и проективным. ${\displaystyle f^{+}}$
• Все кривые в волокнах и численно пропорциональны. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$

Примеры

Первый пример флопа, известного как флоп Атьи , был найден в (Atiyah 1958). Пусть Y будут нулями в , а V будет раздутием Y в начале координат. Исключительное локус этого раздутия изоморфно , и может быть раздуто до двумя различными способами, давая разновидности и . Естественное бирациональное отображение из в является флопом Атьи. ${\displaystyle xy=zw}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Рид (1983) представил пагоду Рида , обобщение флопа Атьи, заменяющее Y нулями . ${\displaystyle xy=(z+w^{k})(z-w^{k})}$

Ссылки

1. Точнее, существует гипотеза, утверждающая, что каждая последовательность ⇢ ⇢ ⇢ ⇢ флипов многообразий с логтерминальными особенностями Каваматы, проективная над фиксированным нормальным многообразием, заканчивается после конечного числа шагов. ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle Z}$

• Атья, Майкл Фрэнсис (1958), «Об аналитических поверхностях с двойными точками», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: Математические, физические и инженерные науки , 247 (1249): 237–244, Bibcode : 1958RSPSA.247..237A, doi : 10.1098/rspa.1958.0181, MR  0095974
• Биркар, Кошер ; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер Д.; МакКернан , Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для многообразий логарифмически общего типа», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS...23..405B, doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3, ISSN  0894-0347, MR  2601039
• Корти, Алессио (декабрь 2004 г.), «Что такое...флип?» ( PDF ) , Notices of the American Mathematical Society , 51 (11): 1350–1351 , получено 17 января 2008 г.
• Коллар, Янош (1991), «Flip and flop», Труды Международного конгресса математиков, т. I, II (Киото, 1990) , Токио: Math. Soc. Japan, стр. 709–714, MR  1159257
• Коллар, Янош (1991), «Перевороты, перевороты, минимальные модели и т. д.», Обзоры по дифференциальной геометрии (Кембридж, Массачусетс, 1990) , Бетлехем, Пенсильвания: Lehigh Univ., стр. 113–199, MR  1144527
• Коллар, Янош ; Мори, Сигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-63277-3
• Мацуки, Кенджи (2002), Введение в программу Мори , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98465-0, г-н  1875410
• Мори, Шигефуми (1988), «Теорема переворота и существование минимальных моделей для 3-фолдов», Журнал Американского математического общества , 1 (1): 117–253, doi : 10.1090/s0894-0347-1988-0924704-x , JSTOR  1990969, MR  0924704
• Моррисон, Дэвид (2005), Флопы, перевороты и матричная факторизация (PDF) , Алгебраическая геометрия и не только, RIMS, Киотский университет
• Рид, Майлз (1983), «Минимальные модели канонических -складок», Алгебраические и аналитические многообразия (Токио, 1981) , Adv. Stud. Pure Math., т. 1, Амстердам: Северная Голландия, стр. 131–180, MR  0715649 ${\displaystyle 3}$
• Шокуров, Вячеслав В. (1993), Трехмерные перевороты логарифмов. С приложением на английском языке Юдзиро Каваматы , т. 1, Известия РАН, 40, стр. 95–202.
• Шокуров Вячеслав В. (2003), Препределительные флипы , Учеб. Стеклова. Математика. 240, стр. 75–213.