Формат с плавающей запятой одинарной точности

32-битный формат компьютерного номера

Формат чисел с плавающей запятой одинарной точности (иногда называемый FP32 или float32 ) — это компьютерный числовой формат , обычно занимающий 32 бита в памяти компьютера ; он представляет широкий динамический диапазон числовых значений с использованием плавающей точки счисления .

Переменная с плавающей запятой может представлять более широкий диапазон чисел, чем переменная с фиксированной запятой той же разрядности, но за счет точности. 32-битная целочисленная переменная со знаком имеет максимальное значение 2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647, тогда как 32-битная переменная с плавающей запятой по основанию 2 IEEE 754 имеет максимальное значение (2 - 2 ^-23 ) × 2 ¹²⁷ ≈ 3,4028235. × 10 ³⁸ . Все целые числа с 7 или менее десятичными цифрами и любые 2 ⁿ для целого числа -149 ≤ n ≤ 127 могут быть точно преобразованы в значение с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754.

В стандарте IEEE 754-2008 32-битный формат по основанию 2 официально называетсяbinary32 ; в IEEE 754-1985 он был назван синглом . IEEE 754 определяет дополнительные типы с плавающей запятой, такие как 64-битные представления двойной точности по основанию 2 и, в последнее время, представления по основанию 10.

Одним из первых языков программирования , обеспечивающих типы данных с плавающей запятой одинарной и двойной точности, был Фортран . До широкого распространения стандарта IEEE 754-1985 представление и свойства типов данных с плавающей запятой зависели от производителя компьютера и модели компьютера, а также от решений, принятых разработчиками языков программирования. Например, тип данных одинарной точности GW-BASIC представлял собой 32-битный формат с плавающей запятой MBF.

Одинарная точность называется REAL в Fortran , ^[1] SINGLE-FLOAT в Common Lisp , ^[2] float в C , C++ , C# , Java , ^[3] Float в Haskell ^[4] и Swift , ^[5] и Single в Object Паскаль ( Delphi ), Visual Basic и MATLAB . Однако числа с плавающей запятой в Python , Ruby , PHP и OCaml и одиночные в версиях Octave до 3.2 относятся к числам двойной точности . В большинстве реализаций PostScript и некоторых встроенных системах поддерживается только одинарная точность.

Стандарт IEEE 754: двоичный32

Стандарт IEEE 754 определяет двоичный файл32 как имеющий:

• Знаковый бит : 1 бит
• Ширина экспоненты : 8 бит
• Точность значащего числа : 24 бита (23 хранятся явно)

Это дает точность от 6 до 9 значащих десятичных цифр . Если десятичная строка, содержащая не более 6 значащих цифр, преобразуется в формат одинарной точности IEEE 754, давая нормальное число, а затем преобразуется обратно в десятичную строку с тем же количеством цифр, конечный результат должен соответствовать исходной строке. Если число IEEE 754 с одинарной точностью преобразуется в десятичную строку, содержащую не менее 9 значащих цифр, а затем преобразуется обратно в представление с одинарной точностью, конечный результат должен соответствовать исходному числу. ^[6]

Знаковый бит определяет знак числа, который также является знаком мантиссы. Экспонента представляет собой 8-битное целое число без знака от 0 до 255 в смещенной форме : значение экспоненты 127 представляет фактический ноль. Показатели степени варьируются от -126 до +127, поскольку показатели степени -127 (все 0) и +128 (все 1) зарезервированы для специальных чисел.

Истинная мантисса включает 23 дробных бита справа от двоичной точки и неявный ведущий бит (слева от двоичной точки) со значением 1, если только показатель степени не хранится со всеми нулями. Таким образом, в формате памяти появляются только 23 дробных бита мантиссы , но общая точность составляет 24 бита (что эквивалентно log ₁₀ (2 ²⁴ ) ≈ 7,225 десятичных цифр). Биты расположены следующим образом:

Реальное значение, принимаемое данными 32-битными двоичными32 данными с заданным знаком , смещенным показателем степени e (8-битное целое число без знака) и 23-битной дробью, равно

${\displaystyle (-1)^{b_{31}}\times 2^{(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}-127}\times (1.b_{22}b_{21}\dots b_{0})_{2}}$,

который дает

${\displaystyle {\text{value}}=(-1)^{\text{sign}}\times 2^{(E-127)}\times \left(1+\sum _{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}\right).}$

В этом примере:

• ${\displaystyle {\text{sign}}=b_{31}=0}$,
• ${\displaystyle (-1)^{\text{sign}}=(-1)^{0}=+1\in \{-1,+1\}}$,
• ${\displaystyle E=(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}=\sum _{i=0}^{7}b_{23+i}2^{+i}=124\in \{1,\ldots ,(2^{8}-1)-1\}=\{1,\ldots ,254\}}$,
• ${\displaystyle 2^{(E-127)}=2^{124-127}=2^{-3}\in \{2^{-126},\ldots ,2^{127}\}}$,
• ${\displaystyle 1.b_{22}b_{21}...b_{0}=1+\sum _{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}=1+1\cdot 2^{-2}=1.25\in \{1,1+2^{-23},\ldots ,2-2^{-23}\}\subset [1;2-2^{-23}]\subset [1;2)}$.

таким образом:

• ${\displaystyle {\text{value}}=(+1)\times 2^{-3}\times 1.25=+0.15625}$.

Примечание:

• ${\displaystyle 1+2^{-23}\approx 1.000\,000\,119}$,
• ${\displaystyle 2-2^{-23}\approx 1.999\,999\,881}$,
• ${\displaystyle 2^{-126}\approx 1.175\,494\,35\times 10^{-38}}$,
• ${\displaystyle 2^{+127}\approx 1.701\,411\,83\times 10^{+38}}$.

Экспоненциальное кодирование

Двоичная экспонента с плавающей запятой одинарной точности кодируется с использованием двоичного представления смещения, при этом нулевое смещение равно 127; также известное как смещение экспоненты в стандарте IEEE 754.

• E _min = 01 _H −7F _H = −126
• E _max = FE _H −7F _H = 127
• Смещение показателя = 7F _H = 127

Таким образом, чтобы получить истинный показатель степени, определенный в двоичном представлении смещения, смещение 127 необходимо вычесть из сохраненного показателя степени.

Сохраненные показатели степени 00 _H и FF _H интерпретируются особым образом.

Минимальное положительное нормальное значение — и минимальное положительное (субнормальное) значение — . ${\displaystyle 2^{-126}\approx 1.18\times 10^{-38}}$ ${\displaystyle 2^{-149}\approx 1.4\times 10^{-45}}$

Преобразование десятичной дроби в двоичную32

В общем, обратитесь к самому стандарту IEEE 754 для строгого преобразования (включая поведение округления) действительного числа в его эквивалентный форматbinary32.

Здесь мы можем показать, как преобразовать вещественное число по основанию 10 в формат Binary32 IEEE 754, используя следующую схему:

• Рассмотрим действительное число с целой и дробной частью, например 12,375.
• Преобразуйте и нормализуйте целую часть в двоичную.
• Преобразуйте дробную часть, используя следующую технику, как показано здесь.
• Сложите два результата и откорректируйте их, чтобы получить правильное окончательное преобразование.

Преобразование дробной части: Рассмотрим 0,375, дробную часть 12,375. Чтобы преобразовать ее в двоичную дробь, умножьте дробь на 2, возьмите целую часть и повторите с новой дробью на 2, пока не будет найдена нулевая дробь или пока не будет достигнут предел точности, который составляет 23 цифры дроби для формата IEEE 754binary32. .

${\displaystyle 0.375\times 2=0.750=0+0.750\Rightarrow b_{-1}=0}$, целая часть представляет цифру двоичной дроби. Чтобы продолжить, умножьте 0,750 на 2.

${\displaystyle 0.750\times 2=1.500=1+0.500\Rightarrow b_{-2}=1}$

${\displaystyle 0.500\times 2=1.000=1+0.000\Rightarrow b_{-3}=1}$, дробь = 0,011, прекратить

Мы видим, что это можно точно представить в двоичном виде как . Не все десятичные дроби можно представить в виде конечной двоичной дроби. Например, десятичное число 0,1 не может быть представлено в двоичном формате точно, а только приблизительно. Поэтому: ${\displaystyle (0.375)_{10}}$ ${\displaystyle (0.011)_{2}}$

${\displaystyle (12.375)_{10}=(12)_{10}+(0.375)_{10}=(1100)_{2}+(0.011)_{2}=(1100.011)_{2}}$

Поскольку формат IEEE 754binary32 требует, чтобы в формате были представлены действительные значения (см. Нормализованное число , Денормализованное число ), 1100,011 сдвигается вправо на 3 цифры, чтобы стать ${\displaystyle (1.x_{1}x_{2}...x_{23})_{2}\times 2^{e}}$ ${\displaystyle (1.100011)_{2}\times 2^{3}}$

Наконец мы видим это: ${\displaystyle (12.375)_{10}=(1.100011)_{2}\times 2^{3}}$

Из чего делаем вывод:

• Показатель степени равен 3 (и поэтому в смещенной форме он равен ${\displaystyle (127+3)_{10}=(130)_{10}=(1000\ 0010)_{2}}$
• Дробь равна 100011 (смотря справа от двоичной точки).

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата Binary32 IEEE 754 для числа 12,375:

${\displaystyle (12.375)_{10}=(0\ 10000010\ 10001100000000000000000)_{2}=(41460000)_{16}}$

Примечание. Рассмотрите возможность преобразования 68.123 в формат IEEE 754binary32. Используя описанную выше процедуру, вы ожидаете получить последние 4 бита, равные 1001. Однако из-за поведения округления по умолчанию в формате IEEE 754 вы получаете , последние 4 бита которого равны 1010. ${\displaystyle ({\text{42883EF9}})_{16}}$ ${\displaystyle ({\text{42883EFA}})_{16}}$

Пример 1: Рассмотрим десятичную дробь 1. Мы видим, что: ${\displaystyle (1)_{10}=(1.0)_{2}\times 2^{0}}$

Из чего делаем вывод:

• Показатель степени равен 0 (и поэтому в смещенной форме он равен ${\displaystyle (127+0)_{10}=(127)_{10}=(0111\ 1111)_{2}}$
• Дробь равна 0 (если смотреть направо от двоичной точки в 1.0, то все ) ${\displaystyle 0=000...0}$

Из них мы можем сформировать результирующее представление действительного числа 1 в 32-битном формате IEEE 754binary32:

${\displaystyle (1)_{10}=(0\ 01111111\ 00000000000000000000000)_{2}=({\text{3F800000}})_{16}}$

Пример 2. Рассмотрим значение 0,25. Мы видим, что: ${\displaystyle (0.25)_{10}=(1.0)_{2}\times 2^{-2}}$

Из чего делаем вывод:

• Показатель степени равен −2 (а в смещенной форме равен ) ${\displaystyle (127+(-2))_{10}=(125)_{10}=(0111\ 1101)_{2}}$
• Дробь равна 0 (если смотреть направо от двоичной точки в 1,0, то все нули)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата IEEE 754binary32 действительного числа 0,25:

${\displaystyle (0.25)_{10}=(0\ 01111101\ 00000000000000000000000)_{2}=({\text{3E800000}})_{16}}$

Пример 3: Рассмотрим значение 0,375. Мы видели это ${\displaystyle 0.375={(0.011)_{2}}={(1.1)_{2}}\times 2^{-2}}$

Следовательно, после определения представления 0,375 мы можем действовать, как указано выше: ${\displaystyle {(1.1)_{2}}\times 2^{-2}}$

• Показатель степени равен −2 (а в смещенной форме равен ) ${\displaystyle (127+(-2))_{10}=(125)_{10}=(0111\ 1101)_{2}}$
• Дробь равна 1 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.1, то она будет одинарной ) ${\displaystyle 1=x_{1}}$

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата IEEE 754binary32 действительного числа 0,375:

${\displaystyle (0.375)_{10}=(0\ 01111101\ 10000000000000000000000)_{2}=({\text{3EC00000}})_{16}}$

Преобразование бинарного32 в десятичное

Если значение бинарного32, 41C80000 в этом примере, находится в шестнадцатеричном формате, мы сначала преобразуем его в двоичный:

${\displaystyle {\text{41C8 0000}}_{16}=0100\ 0001\ 1100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}}$

затем мы разбиваем его на три части: знаковый бит, показатель степени и мантисса.

• Знаковый бит: ${\displaystyle 0_{2}}$
• Экспонента: ${\displaystyle 1000\ 0011_{2}=83_{16}=131_{10}}$
• Значение: ${\displaystyle 100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}=480000_{16}}$

Затем мы добавляем неявный 24-й бит к мантиссе:

• Значение: ${\displaystyle \mathbf {1} 100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}={\text{C80000}}_{16}}$

и декодируем значение показателя степени, вычитая 127:

• Необработанный показатель: ${\displaystyle 83_{16}=131_{10}}$
• Декодированная экспонента: ${\displaystyle 131-127=4}$

Каждый из 24 бит мантиссы (включая неявный 24-й бит), от бита 23 до бита 0, представляет значение, начиная с 1 и пополам для каждого бита, следующим образом:

бит 23 = 1бит 22 = 0,5бит 21 = 0,25бит 20 = 0,125бит 19 = 0,0625бит 18 = 0,03125бит 17 = 0,015625..бит 6 = 0,00000762939453125бит 5 = 0,000003814697265625бит 4 = 0,0000019073486328125бит 3 = 0,00000095367431640625бит 2 = 0,000000476837158203125бит 1 = 0,0000002384185791015625бит 0 = 0,00000011920928955078125

Мантисса в этом примере имеет три бита: бит 23, бит 22 и бит 19. Теперь мы можем декодировать мантиссу, складывая значения, представленные этими битами.

• Декодированное значение: ${\displaystyle 1+0.5+0.0625=1.5625={\text{C80000}}/2^{23}}$

Затем нам нужно умножить основание 2 в степени экспоненты, чтобы получить окончательный результат:

${\displaystyle 1.5625\times 2^{4}=25}$

Таким образом

${\displaystyle {\text{41C8 0000}}=25}$

Это эквивалентно:

${\displaystyle n=(-1)^{s}\times (1+m*2^{-23})\times 2^{x-127}}$

где s — знаковый бит, x — показатель степени, а m — мантисса.

Ограничения точности десятичных значений (от 1 до 16777216)

• Десятичные числа между 1 и 2: фиксированный интервал 2–23 ⁽ 1+2–23 ^— следующее по величине число с плавающей запятой после 1).
• Десятичные числа от 2 до 4: фиксированный интервал 2–22 ^.
• Десятичные числа от 4 до 8: фиксированный интервал 2–21 ^.
• ...
• Десятичные числа между 2 ⁿ и 2 ⁿ⁺¹ : фиксированный интервал 2 ^n-23
• ...
• Десятичные числа от 2 ²² = 4194304 до 2 ²³ = 8388608: фиксированный интервал 2 ⁻¹ = 0,5.
• Десятичные числа от 2 ²³ =8388608 до 2 ²⁴ =16777216: фиксированный интервал 2 ⁰ =1

Ограничения точности целочисленных значений

• Целые числа от 0 до 16777216 могут быть точно представлены (также применимо к отрицательным целым числам от -16777216 до 0).
• Целые числа от 2 ²⁴ = 16777216 до 2 ²⁵ = 33554432 округляются до числа, кратного 2 (четное число).
• Целые числа от 2 ²⁵ до 2 ²⁶ округляются до кратных 4.
• ...
• Целые числа от 2 ⁿ до 2 ⁿ⁺¹ округляются до кратных 2 ^n-23
• ...
• Целые числа от 2 ¹²⁷ до 2 ¹²⁸ округляются до числа, кратного 2 ^104.
• Целые числа, большие или равные 2 ¹²⁸ , округляются до «бесконечности».

Известные случаи одинарной точности

Эти примеры даны в битовом представлении , в шестнадцатеричном и двоичном формате , значения с плавающей запятой. Сюда входят знак, (смещенный) показатель и мантисса.

0 00000000 00000000000000000000001 2 = 0000 0001 16 = 2 −126 × 2 −23 = 2 −149 ≈ 1,4012984643 × 10 −45 (наименьшее положительное субнормальное число)

0 00000000 11111111111111111111111 2 = 007f ffff 16 = 2 −126 × (1 − 2 −23 ) ≈ 1,1754942107 ×10 −38 (самое большое субнормальное число)

0 00000001 00000000000000000000000 2 = 0080 0000 16 = 2 −126 ≈ 1,1754943508 × 10 −38 (наименьшее положительное нормальное число)

0 11111110 11111111111111111111111 2 = 7f7f ffff 16 = 2 127 × (2 − 2 −23 ) ≈ 3,4028234664 × 10 38 (самое большое нормальное число)

0 0 01111110 11111111111111111111111 2 = 3f7f ffff 16 = 1 - 2 -24 ≈ 0,999999940395355225 (наибольшее число меньше единицы)

0 01111111 00000000000000000000000 2 = 3f80 0000 16 = 1 (один)

0 01111111 00000000000000000000001 2 = 3f80 0001 16 = 1 + 2 −23 ≈ 1,00000011920928955 (наименьшее число больше единицы)

1 1 10000000 00000000000000000000000 2 = c000 0000 16 = −20 00000000 00000000000000000000000 2 = 0000 0000 16 = 01 00000000 00000000000000000000000 2 = 8000 0000 16 = −0 0 11111111 00000000000000000000000 2 = 7f80 0000 16 = бесконечность1 11111111 00000000000000000000000 2 = ff80 0000 16 = −бесконечность 0 10000000 10010010000111111011011 2 = 4049 0fdb 16 ≈ 3,14159274101257324 ≈ π (пи)0 0 01111101 01010101010101010101011 2 = 3eaa aaab 16 ≈ 0,333333343267440796 ≈ 1/3 x 11111111 10000000000000000000001 2 = ffc0 0001 16 = qNaN (на процессорах x86 и ARM)x 11111111 00000000000000000000001 2 = ff80 0001 16 = sNaN (на процессорах x86 и ARM)

По умолчанию 1/3 округляется вверх, а не вниз, как двойная точность , из-за четного числа битов в мантиссе. Биты 1/3, выходящие за точку округления, 1010...составляют более 1/2 единицы на последнем месте .

Кодировки qNaN и sNaN не указаны в IEEE 754 и реализованы по-разному на разных процессорах. Процессоры семейства x86 и семейства ARM используют старший бит поля мантиссы для обозначения тихого NaN. Процессоры PA-RISC используют этот бит для обозначения сигнального NaN.

Оптимизации

Формат с плавающей запятой допускает различные оптимизации благодаря простому генерированию аппроксимации логарифма по основанию 2 из целочисленного представления необработанного битового шаблона. Целочисленная арифметика и битовый сдвиг могут дать приближение к обратному квадратному корню ( быстрый обратный квадратный корень ), что обычно требуется в компьютерной графике .

Смотрите также

• ИЭЭЭ 754
• ISO/IEC 10967 , независимая от языка арифметика.
• Примитивный тип данных
• Численная стабильность
• Научная нотация

Рекомендации

1. "НАСТОЯЩЕЕ ЗАЯВЛЕНИЕ" . scc.ustc.edu.cn. _ Архивировано из оригинала 24 февраля 2021 г. Проверено 28 февраля 2013 г.
2. "CLHS: Тип SHORT-FLOAT, SINGLE-FLOAT, DOUBLE FLOAT..."
3. «Примитивные типы данных». Java-документация .
4. «6 предопределенных типов и классов» . Haskell.org . 20 июля 2010 г.
5. «Плавание». Документация разработчика Apple .
6. Уильям Кахан (1 октября 1997 г.). «Конспекты лекций о статусе стандарта IEEE 754 для двоичной арифметики с плавающей запятой» (PDF) . п. 4.

Внешние ссылки

• Живой редактор битовых комбинаций с плавающей запятой
• Онлайн калькулятор
• Онлайн-конвертер чисел IEEE 754 с одинарной точностью
• Исходный код C для преобразования между IEEE двойной, одинарной и половинной точностью.