Формула Виета

Бесконечное произведение, сходящееся к 2/π

Формула Вьета, напечатанная в Variorum de rebus mathematicis responsorum Вьета, liber VIII (1593 г.)

В математике формула Виета представляет собой следующее бесконечное произведение вложенных радикалов, представляющее удвоенную величину, обратную математической константе π : Ее также можно представить как $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$ $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}.}$$

Формула названа в честь Франсуа Виэта , который опубликовал ее в 1593 году. ^[1] Как первая формула европейской математики, представляющая бесконечный процесс, ^[2] ей можно придать строгое значение как предельному выражению ^[3] и она знаменует начало математического анализа . Она имеет линейную сходимость и может использоваться для вычислений π , ^[4] но другие методы до и после нее привели к большей точности. Она также использовалась в расчетах поведения систем пружин и масс ^[5] и как мотивирующий пример для концепции статистической независимости .

Формула может быть выведена как телескопическое произведение площадей или периметров вложенных многоугольников, сходящихся к окружности . В качестве альтернативы, повторное использование формулы половинного угла из тригонометрии приводит к обобщенной формуле, открытой Леонардом Эйлером , которая имеет формулу Виета как частный случай. Сейчас известно много подобных формул, включающих вложенные корни или бесконечные произведения.

Значение

Франсуа Виет (1540–1603) был французским юристом, тайным советником двух французских королей и математиком-любителем. Он опубликовал эту формулу в 1593 году в своей работе Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII . В это время методы приближения π с (в принципе) произвольной точностью были давно известны. Собственный метод Виета можно интерпретировать как вариацию идеи Архимеда об приближении длины окружности периметром многостороннего многоугольника ^[1] , использованной Архимедом для нахождения приближения ^[6] $${\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.}$$

Опубликовав свой метод в виде математической формулы, Виет сформулировал первый случай бесконечного произведения, известный в математике, ^{[7] [8]} и первый пример явной формулы для точного значения π . ^{[9] [10]} Как первое представление в европейской математике числа как результата бесконечного процесса, а не конечного вычисления, ^[11] Эли Маор выделяет формулу Виета как знаменующую начало математического анализа ^[2] , а Джонатан Борвейн называет ее появление «зарей современной математики». ^[12]

Используя свою формулу, Виет вычислил π с точностью до девяти десятичных знаков . ^[4] Однако это было не самое точное приближение к π, известное в то время, поскольку персидский математик Джамшид аль-Каши вычислил π с точностью до девяти шестидесятеричных знаков и 16 десятичных знаков в 1424 году. ^[12] Вскоре после того, как Виет опубликовал свою формулу, Людольф ван Кейлен использовал метод, тесно связанный с методом Виета, для вычисления 35 знаков π , которые были опубликованы только после смерти ван Кейлена в 1610 году. ^[12]

Помимо своей математической и исторической значимости, формула Виета может быть использована для объяснения различных скоростей волн разных частот в бесконечной цепочке пружин и масс, а также появления π в предельном поведении этих скоростей. ^[5] Кроме того, вывод этой формулы как произведения интегралов, включающих систему Радемахера , равного интегралу произведений тех же функций, дает мотивирующий пример для концепции статистической независимости . ^[13]

Интерпретация и конвергенция

Формулу Виета можно переписать и понимать как предельное выражение ^[3], где $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}}$$

Для каждого выбора выражение в пределе является конечным произведением, и как становится произвольно большим, эти конечные произведения имеют значения, которые приближаются к значению формулы Виэта произвольно близко. Виэт выполнил свою работу задолго до того, как концепции пределов и строгие доказательства сходимости были разработаны в математике; первое доказательство того, что этот предел существует, было дано только в работе Фердинанда Рудио в 1891 году. ^{[1] [14]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Сравнение сходимости формулы Виета ( × ) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . S _n — это приближение после взятия n членов. Каждый последующий подучасток увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз.

Скорость сходимости предела определяет количество членов выражения, необходимое для достижения заданного количества цифр точности. В формуле Виэта количество членов и цифр пропорционально друг другу: произведение первых n членов в пределе дает выражение для π , которое имеет точность приблизительно 0,6 n цифр. ^{[4] [15]} Эта скорость сходимости очень выгодно отличается от произведения Уоллиса , более поздней формулы бесконечного произведения для π . Хотя сам Виэт использовал свою формулу для вычисления π только с точностью до девяти цифр, ускоренная версия его формулы использовалась для вычисления π с точностью до сотен тысяч цифр. ^[4]

Связанные формулы

Формулу Виета можно получить как частный случай формулы для функции sinc , которую часто приписывают Леонарду Эйлеру ^[16] , более века спустя: ^[1] $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots }$$

Подстановка x = π /2 в эту формулу дает ^[17] $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots }$$

Затем, выражая каждый член произведения справа как функцию более ранних членов, используя формулу половинного угла : получаем формулу Виета. ^[9] $${\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}$$

Из формулы Виета также можно вывести родственную формулу для π , которая по-прежнему включает в себя вложенные квадратные корни из двух, но использует только одно умножение: ^[18] которую можно компактно переписать как $${\displaystyle \pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{\text{ square roots}}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}},\\a_{1}&=0,\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}}$$

Сейчас известно много формул для π и других констант, таких как золотое сечение , которые похожи на формулу Виета, поскольку используют либо вложенные радикалы, либо бесконечные произведения тригонометрических функций. ^{[8] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24]}

Вывод

Последовательность правильных многоугольников с числом сторон, равным степеням двойки , вписанная в окружность. Отношения между площадями или периметрами последовательных многоугольников в последовательности дают члены формулы Виета.

Виет получил свою формулу, сравнивая площади правильных многоугольников с 2 ⁿ и 2 ^{n + 1} сторонами, вписанных в окружность . ^{[1] [2]} Первый член в произведении, , является отношением площадей квадрата и восьмиугольника , второй член является отношением площадей восьмиугольника и шестнадцатиугольника и т. д. Таким образом, произведение телескопируется, чтобы дать отношение площадей квадрата (исходного многоугольника в последовательности) к кругу (предельный случай 2 ⁿ -угольника). В качестве альтернативы, члены в произведении могут быть интерпретированы как отношения периметров той же последовательности многоугольников, начиная с отношения периметров двуугольника ( диаметра круга, подсчитанного дважды) и квадрата, отношения периметров квадрата и восьмиугольника и т. д. ^[25] ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

Другой вывод возможен на основе тригонометрических тождеств и формулы Эйлера. Повторное применение формулы двойного угла приводит к доказательству методом математической индукции , что для всех положительных целых чисел n , $${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},}$$ $${\displaystyle \sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).}$$

Член 2 ⁿ sin( x /2 ⁿ ) стремится к x в пределе, когда n стремится к бесконечности, откуда следует формула Эйлера. Формула Виета может быть получена из этой формулы путем подстановки x = π /2 . ^{[9] [13]}

Смотрите также

• Закон Морри , та же самая идентичность, принимающая формулу Виета ${\displaystyle x=2^{n}\alpha }$

• Список тригонометрических тождеств

Ссылки

1. Бекманн, Петр (1971). История π (2-е изд.). Боулдер, Колорадо: The Golem Press. стр. 94–95. ISBN 978-0-88029-418-8. МР  0449960.
2. Maor, Eli (2011). Trigonometric Delights . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 50, 140. ISBN 978-1-4008-4282-7.
3. Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (2004). "2.1 Бесконечное произведение Виета". Число пи . Перевод Wilson, Stephen S. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. стр. 44–46. ISBN 978-0-8218-3246-2. МР  2036595.
4. Креминский, Рик (2008). " π до тысяч цифр из формулы Виета". Mathematics Magazine . 81 (3): 201–207. doi :10.1080/0025570X.2008.11953549. JSTOR  27643107. S2CID  125362227.
5. Cullerne, JP; Goekjian, MC Dunn (декабрь 2011 г.). «Обучение распространению волн и возникновение формулы Виета». Physics Education . 47 (1): 87–91. doi :10.1088/0031-9120/47/1/87. S2CID  122368450.
6. Бекманн 1971, стр. 67.
7. Де Смит, Майкл Дж. (2006). Математика для озадаченных: исследование истории математики и ее связи с современной наукой и вычислениями. Лестер: Matador. стр. 165. ISBN 978-1905237-81-4.
8. Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2013). «О формулах типа Виета». Journal of Approximation Theory . 174 : 90–112. doi : 10.1016/j.jat.2013.06.006 . MR  3090772.
9. Моррисон, Кент Э. (1995). «Косинусные произведения, преобразования Фурье и случайные суммы». The American Mathematical Monthly . 102 (8): 716–724. arXiv : math/0411380 . doi :10.2307/2974641. JSTOR  2974641. MR  1357488.
10. Олдхэм, Кит Б.; Миланд, Ян К.; Спаниер, Джером (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятором функций Атласа. Нью-Йорк: Springer. стр. 15. doi :10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48807-3.
11. Очень похожие бесконечные тригонометрические ряды для появились ранее в индийской математике , в работе Мадхавы из Сангамаграма (ок. 1340 – 1425), но не были известны в Европе до гораздо более позднего времени. См.: Plofker, Kim (2009). "7.3.1 Mādhava on the circumference and arcs of the circle". Mathematics in India . Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 221–234. ISBN ${\displaystyle \pi }$ 978-0-691-12067-6.
12. Borwein, Jonathan M. (2014). "Жизнь Пи: от Архимеда до ENIAC и далее" (PDF) . В Sidoli, Nathan; Van Brummelen, Glen (ред.). From Alexandria, Through Baghdad . Berlin & Heidelberg: Springer. стр. 531–561. doi :10.1007/978-3-642-36736-6_24. ISBN 978-3-642-36735-9. Получено 2024-08-20 .
13. Kac, Mark (1959). "Глава 1: От Виета к понятию статистической независимости". Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел . Математические монографии Каруса . Т. 12. Нью-Йорк: John Wiley & Sons для Математической ассоциации Америки. С. 1–12. MR  0110114.
14. Рудио, Ф. (1891). «Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung» [О сближении специального расширения продукции благодаря Vieta]. Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке). 36 : 139–140. ЖФМ  23.0263.02.
15. Osler, Thomas J. (2007). "Простой геометрический метод оценки ошибки при использовании произведения Виета для π ". Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 38 (1): 136–142. doi :10.1080/00207390601002799. S2CID  120145020.
16. Эйлер, Леонард (1738). «О различных методах выражения квадратуры круга с граничащими числами». Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 9 : 222–236.Переведено на английский Томасом В. Поласки. См. окончательную формулу. Такая же формула есть и у Эйлера, Леонгарда (1783). «Различные наблюдения об углах, происходящих в геометрической прогрессии». Opuscula Analytica (на латыни). 1 : 345–352.Перевод на английский язык: Jordan Bell, arXiv :1009.1439. См. формулу в пронумерованном абзаце 3.
17. Уилсон, Робин Дж. (2018). Пионерское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике (1-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. С. 57–58. ISBN 9780198794929.
18. Servi, LD (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». The American Mathematical Monthly . 110 (4): 326–330. doi :10.2307/3647881. JSTOR  3647881. MR  1984573.
19. Nyblom, MA (2012). «Некоторые оценки в замкнутой форме бесконечных произведений, включающих вложенные радикалы». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 42 (2): 751–758. doi : 10.1216/RMJ-2012-42-2-751 . MR  2915517.
20. Левин, Аарон (2006). «Геометрическая интерпретация бесконечного произведения для константы лемнискаты». The American Mathematical Monthly . 113 (6): 510–520. doi :10.2307/27641976. JSTOR  27641976. MR  2231136.
21. Левин, Аарон (2005). «Новый класс бесконечных произведений, обобщающий формулу произведения Виета для π ». The Ramanujan Journal . 10 (3): 305–324. doi :10.1007/s11139-005-4852-z. MR  2193382. S2CID  123023282.
22. Osler, Thomas J. (2007). «Виета-подобные произведения вложенных радикалов с числами Фибоначчи и Люка». Fibonacci Quarterly . 45 (3): 202–204. MR  2437033.
23. Столярский, Кеннет Б. (1980). «Свойства отображения, рост и уникальность произведений Виета (бесконечных косинусов)». Pacific Journal of Mathematics . 89 (1): 209–227. doi : 10.2140/pjm.1980.89.209 . MR  0596932.
24. Аллен, Эдвард Дж. (1985). «Продолженные радикалы». The Mathematical Gazette . 69 (450): 261–263. doi :10.2307/3617569. JSTOR  3617569. S2CID  250441699.
25. Раммлер, Хансклаус (1993). «Квадратура круга с отверстиями». The American Mathematical Monthly . 100 (9): 858–860. doi :10.2307/2324662. JSTOR  2324662. MR  1247533.

Внешние ссылки

• Математический портал

• Variorum de rebus mathematicis responsorum Виета, liber VIII (1593 г.) в Google Книгах . Формула находится во второй половине стр. 30.