В математическом анализе формула Дарбу — это формула, введенная Гастоном Дарбу (1876) для суммирования бесконечных рядов с использованием интегралов или оценки интегралов с использованием бесконечных рядов. Она является обобщением на комплексную плоскость формулы суммирования Эйлера–Маклорена , которая используется для аналогичных целей и выводится аналогичным образом (путем повторного интегрирования по частям определенного выбора подынтегральной функции ). Формула Дарбу также может быть использована для вывода ряда Тейлора из исчисления [ необходима цитата ] [ сомнительно – обсудить ] .
Если φ ( t ) — многочлен степени n , а f — аналитическая функция, то
Формулу можно доказать повторным интегрированием по частям .
Если взять φ как многочлен Бернулли в формуле Дарбу, то получим формулу суммирования Эйлера–Маклорена . Если взять φ как ( t − 1) n, то получим формулу для ряда Тейлора .
![{\displaystyle {\begin{align}&\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}(za)^{m}\left[\varphi ^{(nm)}(1)f^{(m)}(z)-\varphi ^{(nm)}(0)f^{(m)}(a)\right]\\={}&(-1)^{n}(za)^{n+1}\int _{0}^{1}\varphi (t)f^{(n+1)}\left[a+t(za)\right]\,dt.\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f04ed7553d043805c21d03f660dc6425c34886c)