формула Даламбера

Математическое решение

В математике , и в частности в частных дифференциальных уравнениях (УЧП), формула Даламбера является общим решением одномерного волнового уравнения :

${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$

для ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0}$

Он назван в честь математика Жана Лерона Д'Аламбера , который вывел его в 1747 году как решение задачи о вибрирующей струне . ^[1]

Подробности

Характеристики PDE таковы (где знак указывает на два решения квадратного уравнения ) , поэтому мы можем использовать замену переменных (для положительного решения) и (для отрицательного решения), чтобы преобразовать PDE в . Общее решение этого PDE таково , где и являются функциями. Возвращаясь к координатам, ${\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} }$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \mu =x+ct}$ ${\displaystyle \eta =x-ct}$ ${\displaystyle u_{\mu \eta }=0}$ ${\displaystyle u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle x,t}$

${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$

${\displaystyle u}$если и есть .​ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Это решение можно интерпретировать как две волны с постоянной скоростью, движущиеся в противоположных направлениях вдоль оси x. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle c}$

Теперь рассмотрим это решение с данными Коши . ${\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)}$

Используя получаем . ${\displaystyle u(x,0)=g(x)}$ ${\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}$

Используя получаем . ${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}$ ${\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}$

Мы можем интегрировать последнее уравнение, чтобы получить $${\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.}$$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и получить $${\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)}$$ $${\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).}$$

Теперь, используя $${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$$

Формула Даламбера становится: ^[2] $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .}$$

Обобщение для неоднородных канонических гиперболических дифференциальных уравнений

Общий вид неоднородного канонического дифференциального уравнения гиперболического типа имеет вид: для . $${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$$ ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,\,\,t>0,f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} )}$

Все дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами могут быть преобразованы в соответствующие им канонические формы . Это уравнение является одним из трех случаев: эллиптическое уравнение в частных производных , параболическое уравнение в частных производных и гиперболическое уравнение в частных производных .

Единственное различие между однородным и неоднородным (частным) дифференциальным уравнением заключается в том, что в однородной форме мы допускаем присутствие только 0 в правой части ( ), тогда как неоднородная форма является гораздо более общей, поскольку может быть любой функцией, если она непрерывна и может быть непрерывно дифференцирована дважды. ${\displaystyle f(x,t)=0}$ ${\displaystyle f(x,t)}$

Решение приведенного выше уравнения дается формулой: $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr )}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(s)\,ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}f(s,\tau )\,ds\,d\tau .}$$

Если , то первая часть исчезает, если , то вторая часть исчезает, а если , то третья часть исчезает из решения, поскольку интегрирование 0-функции между любыми двумя границами всегда приводит к 0. ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle h(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Смотрите также

• Оператор Даламбера
• Механическая волна
• Волновое уравнение

Примечания

1. Даламбер (1747) «Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Исследования кривой, которую образует натянутый шнур [струна] [когда] приводится в вибрацию), Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 214–219. См. Также: Д'Аламбер (1747) «Suite des recherches sur la Courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Дальнейшие исследования кривой, которую образует натянутая струна, [когда] приводится в состояние вибрации), Histoire de l'académie royale. des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 220–249. См. также: Д'Аламбер (1750) «Дополнение к памяти sur la Courbe que forme une corde Tenduë Mise En Vibration», Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, страницы 355–360.
2. Пинчовер, Иегуда; Рубинштейн, Якоб (2013). Введение в уравнения с частными производными (8-е издание). Cambridge University Press. С. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.

Внешние ссылки

• Пример решения неоднородного волнового уравнения с сайта www.exampleproblems.com, архив 2011-01-19 на Wayback Machine

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}