Формула Франка–Тамма

Формула Франка–Тамма определяет количество черенковского излучения , испускаемого на заданной частоте при движении заряженной частицы через среду со сверхсветовой скоростью. Она названа в честь русских физиков Ильи Франка и Игоря Тамма , которые разработали теорию эффекта Черенкова в 1937 году, за что в 1958 году им была присуждена Нобелевская премия по физике .

Когда заряженная частица движется быстрее фазовой скорости света в среде, электроны, взаимодействующие с частицей, могут испускать когерентные фотоны , сохраняя энергию и импульс . Этот процесс можно рассматривать как распад. См. Излучение Черенкова и условие неизлучения для объяснения этого эффекта.

Уравнение

Энергия , излучаемая на единицу длины, пройденной частицей, на единицу частоты равна: при условии, что . Здесь и — зависящие от частоты проницаемость и показатель преломления среды соответственно, — электрический заряд частицы, — скорость частицы, — скорость света в вакууме. ${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle d\omega }$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial x\,\partial \omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)}$$ ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}>{\frac {1}{n(\omega )}}}$ ${\displaystyle \mu (\omega )}$ ${\displaystyle n(\omega )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$

Излучение Черенкова не имеет характерных спектральных пиков, как это типично для спектров флуоресценции или излучения. Относительная интенсивность одной частоты приблизительно пропорциональна частоте. То есть, более высокие частоты (более короткие длины волн) более интенсивны в излучении Черенкова. Вот почему видимое излучение Черенкова наблюдается как ярко-голубое. Фактически, большая часть излучения Черенкова находится в ультрафиолетовом спектре; чувствительность человеческого глаза достигает пика в зеленой части спектра и очень низка в фиолетовой части спектра.

Общее количество энергии, излучаемой на единицу длины, составляет: $${\displaystyle {\frac {dE}{dx}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega }$$

Этот интеграл делается по частотам, для которых скорость частицы больше скорости света в среде . Интеграл является сходящимся (конечным), поскольку на высоких частотах показатель преломления становится меньше единицы, а для очень высоких частот он становится равным единице. ^{[примечание 1] [примечание 2]} ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v}$ ${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$

Вывод формулы Франка–Тамма

Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся релятивистски вдоль оси в среде с показателем преломления ^{[примечание 3]} с постоянной скоростью . Начнем с уравнений Максвелла (в гауссовых единицах ) в волновых формах (также известных как калибровочное условие Лоренца ) и возьмем преобразование Фурье: ${\displaystyle x}$ ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=(v,0,0)}$ $${\displaystyle \left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{\varepsilon (\omega )}}\rho ({\vec {k}},\omega )}$$ $${\displaystyle \left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right){\vec {A}}({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )}$$

Для заряда величиной (где — элементарный заряд ), движущегося со скоростью , плотность и плотность заряда можно выразить как и , применяя преобразование Фурье ^{[примечание 4],} получаем: ${\displaystyle ze}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)=q\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)}$ ${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)}$ $${\displaystyle \rho ({\vec {k}},\omega )={\frac {q}{2\pi }}\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}$$ $${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {k}},\omega )={\vec {v}}\rho ({\vec {k}},\omega )}$$

Подставляя эту плотность и ток заряда в волновое уравнение, мы можем решить для потенциалов в форме Фурье: и $${\displaystyle \Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {2q}{\varepsilon (\omega )}}{\frac {\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}}$$ $${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {k}},\omega )=\varepsilon (\omega ){\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$

Используя определение электромагнитных полей через потенциалы, мы имеем форму Фурье электрического и магнитного поля: и $${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {k}},\omega )=i\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )}{c}}{\frac {\vec {v}}{c}}-{\vec {k}}\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$ $${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {k}},\omega )=i\varepsilon (\omega ){\vec {k}}\times {\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$

Чтобы найти излучаемую энергию, мы рассматриваем электрическое поле как функцию частоты на некотором перпендикулярном расстоянии от траектории частицы, скажем, при , где — ударный параметр. Он задается обратным преобразованием Фурье: ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle {\vec {E}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )e^{ibk_{2}}}$$

Сначала вычисляем -компоненту электрического поля (параллельную ): ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ $${\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {2iq}{\varepsilon (\omega )(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,e^{ibk_{2}}\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )v}{c^{2}}}-k_{1}\right){\frac {\delta (\omega -vk_{1})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}}$$

Для краткости определим . Разбив интеграл на , интеграл можно сразу проинтегрировать по определению дельты Дирака: ${\textstyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left(1-\beta ^{2}\varepsilon (\omega )\right)}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3}}$ ${\displaystyle k_{1}}$ $${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {2iq\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}\,e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dk_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+\lambda ^{2}}}}$$

Интеграл по имеет значение , что дает: ${\displaystyle k_{3}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$ $${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}}$$

Последний интеграл имеет вид модифицированной функции Бесселя (Макдональда) , дающей вычисленную параллельную составляющую в виде: ${\displaystyle k_{2}}$ $${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)K_{0}(\lambda b)}$$

Аналогичную схему расчета можно использовать для других компонентов поля, получая:

${\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {q}{v}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\lambda }{\varepsilon (\omega )}}K_{1}(\lambda b),\quad E_{3}=0\quad }$и ${\displaystyle \quad B_{1}=B_{2}=0,\quad B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )}$

Теперь мы можем рассмотреть излучаемую энергию на пройденное частицей расстояние . Ее можно выразить через поток электромагнитной энергии через поверхность бесконечного цилиндра радиуса вокруг траектории движущейся частицы, который задается интегралом вектора Пойнтинга по поверхности цилиндра: ${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle dx_{\text{particle}}}$ ${\displaystyle P_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]}$ $${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {1}{v}}P_{a}=-{\frac {c}{4\pi v}}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi aB_{3}E_{1}\,dx}$$

Интеграл по одному моменту времени равен интегралу в одной точке по всему времени. Используя : ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dx=v\,dt}$ $${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-{\frac {ca}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }B_{3}(t)E_{1}(t)\,dt}$$

Преобразуем это в частотную область: $${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=-ca\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }B_{3}^{*}(\omega )E_{1}(\omega )\,d\omega \right)}$$

Чтобы перейти в область черенковского излучения, мы теперь рассмотрим перпендикулярное расстояние, намного большее, чем атомные расстояния в среде, то есть . При таком предположении мы можем разложить функции Бесселя в их асимптотическую форму: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |\lambda b|\gg 1}$ $${\displaystyle E_{1}(\omega )\rightarrow {\frac {iq\omega }{c^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right){\frac {e^{-\lambda b}}{\sqrt {\lambda b}}}}$$

${\displaystyle E_{2}(\omega )\rightarrow {\frac {q}{v\varepsilon (\omega )}}{\sqrt {\frac {\lambda }{b}}}e^{-\lambda b}}$и ${\displaystyle B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )}$

Таким образом:

$${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}=\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\left(-i{\sqrt {\frac {\lambda ^{*}}{\lambda }}}\right)\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)e^{-(\lambda +\lambda ^{*})a}\,d\omega \right)}$$

Если имеет положительную действительную часть (обычно истинную), экспонента приведет к быстрому исчезновению выражения на больших расстояниях, что означает, что вся энергия откладывается вблизи пути. Однако это неверно, когда является чисто мнимой – вместо этого это приводит к тому, что экспонента становится равной 1 и затем становится независимой от , что означает, что часть энергии уходит в бесконечность в виде излучения – это излучение Черенкова. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lambda }$является чисто мнимым, если является действительным и . То есть, когда является действительным, черенковское излучение имеет условие . Это утверждение о том, что скорость частицы должна быть больше фазовой скорости электромагнитных полей в среде на частоте, чтобы иметь черенковское излучение. При этом чисто мнимом условии и интеграл можно упростить до: ${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$ ${\displaystyle \beta ^{2}\varepsilon (\omega )>1}$ ${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$ ${\textstyle v>{\frac {c}{{\sqrt {\varepsilon (\omega }})}}={\frac {c}{n}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\textstyle {\sqrt {{\lambda ^{*}}/{\lambda }}}=i}$ $${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{particle}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{\varepsilon (\omega )>{\frac {1}{\beta ^{2}}}}\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)\,d\omega ={\frac {q^{2}}{c^{2}}}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega }$$

Это уравнение Франка–Тамма в гауссовых единицах. ^[1]

Примечания

1. Показатель преломления n определяется как отношение скорости электромагнитного излучения в вакууме к фазовой скорости электромагнитных волн в среде и может при определенных обстоятельствах стать меньше единицы. Для получения дополнительной информации см. показатель преломления .
2. Показатель преломления может стать меньше единицы вблизи резонансной частоты, но на очень высоких частотах показатель преломления становится равным единице.
3. Для простоты рассмотрим магнитную проницаемость . ${\displaystyle \mu (\omega )=1}$
4. Мы используем инженерную нотацию для преобразования Фурье, где факторы появляются как в прямых, так и в обратных преобразованиях. ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

Ссылки

1. Джексон, Джон (1999). Классическая электродинамика . John Wiley & Sons, Inc. стр. 646–654. ISBN 978-0-471-30932-1.

• Мид, Калифорния (1958). «Квантовая теория показателя преломления». Physical Review . 110 (2): 359. Bibcode : 1958PhRv..110..359M. doi : 10.1103/PhysRev.110.359.
• Черенков, П. А. (1937). «Видимое излучение, создаваемое электронами, движущимися в среде со скоростями, превышающими скорость света». Physical Review . 52 (4): 378. Bibcode : 1937PhRv...52..378C. doi : 10.1103/PhysRev.52.378.

Внешние ссылки

• Излучение Черенкова (с тегом «формула Франка-Тамма»)