Формула отражения

Численное вычисление специальных функций

В математике формула отражения или соотношение отражения для функции f — это соотношение между f ( a  −  x ) и f ( x ). Это частный случай функционального уравнения . В математической литературе принято использовать термин «функциональное уравнение» для обозначения конкретных формул отражения.

Формулы отражения полезны для численного вычисления специальных функций . По сути, приближение, которое имеет большую точность или сходится только на одной стороне точки отражения (обычно в положительной половине комплексной плоскости ), может быть использовано для всех аргументов.

Известные формулы

Чётные и нечётные функции по определению удовлетворяют простым соотношениям отражения относительно a  = 0. Для всех чётных функций,

$${\displaystyle f(-x)=f(x),}$$

и для всех нечетных функций,

$${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$$

Известное соотношение — это формула отражения Эйлера.

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

для гамма-функции , принадлежащей Леонарду Эйлеру . ${\textstyle \Gamma (z)}$

Существует также формула отражения для общей полигамма-функции n -го порядка ψ ^{( n )} ( z ),

$${\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}}$$

что тривиально вытекает из того факта, что полигамма-функции определяются как производные и, таким образом, наследуют формулу отражения. ${\textstyle \ln \Gamma }$

Дилогарифм также удовлетворяет формуле отражения, ^{[1] [2} ]

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)}$$

Дзета- функция Римана ζ ( z ) удовлетворяет условию

$${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),}$$

и функция Римана Xi ξ ( z ) удовлетворяет условию

$${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z).}$$

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Дилогоритм". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-08-01 .
2. "Формула отражения дилогарифма - ProofWiki". proofwiki.org . Получено 2024-08-01 .

• Вайсштейн, Эрик В. «Отношение отражения». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция полигаммы». MathWorld .