Формула рода–степени

Теорема классической алгебраической геометрии

В классической алгебраической геометрии формула род-степень связывает степень d неприводимой плоской кривой с ее арифметическим родом g посредством формулы: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

Здесь «плоская кривая» означает, что это замкнутая кривая в проективной плоскости . Если кривая неособая, геометрический род и арифметический род равны, но если кривая особая, с только обычными особенностями, геометрический род меньше. Точнее, обычная особенность кратности r уменьшает род на . ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$

Доказательство

Формула рода-степени может быть доказана из формулы присоединения ; подробности см. в Формуле присоединения § Приложения к кривым . ^[2]

Обобщение

Для неособой гиперповерхности степени d в проективном пространстве арифметического рода g формула принимает вид: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

где - биномиальный коэффициент . ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

Примечания

1. Семпл, Джон Гринлис ; Рот, Леонард . Введение в алгебраическую геометрию (ред. 1985 г.). Oxford University Press . стр. 53–54. ISBN 0-19-853363-2. МР  0814690.
2. Алгебраическая геометрия , Робин Хартшорн , Springer GTM 52, ISBN 0-387-90244-9 , глава V, пример 1.5.1 

Смотрите также

• гипотеза Тома

Ссылки

• В данной статье использованы материалы статьи Citizendium «Формула степени рода», которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не по лицензии GFDL .
• Энрико Арбарелло , Маурицио Корнальба, Филлип Гриффитс , Джо Харрис . Геометрия алгебраических кривых. том 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4 , приложение A. 
• Филлип Гриффитс и Джо Харрис , Принципы алгебраической геометрии, Wiley, ISBN 0-471-05059-8 , глава 2, раздел 1. 
• Робин Хартшорн (1977): Алгебраическая геометрия , Springer, ISBN 0-387-90244-9 . 
• Куликов, Виктор С. (2001) [1994], "Род кривой", Энциклопедия математики , Издательство EMS