Фильтр Фреше

В математике фильтр Фреше , также называемый кофинитным фильтром , на множестве — это некоторая совокупность подмножеств (то есть, это конкретное подмножество множества мощности ) . Подмножество принадлежит фильтру Фреше тогда и только тогда, когда дополнение к в конечно. Любое такое множество называется кофинитным в , поэтому его также называют кофинитным фильтром на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Фильтр Фреше представляет интерес для топологии , где и зародились фильтры, и относится к порядку и теории решеток , поскольку множество мощности множества является частично упорядоченным множеством при включении множеств (точнее, оно образует решетку). Фильтр Фреше назван в честь французского математика Мориса Фреше (1878-1973), который работал в области топологии.

Определение

Подмножество множества называется кофинитным в , если его дополнение в (то есть множество ) конечно . Если пустому множеству разрешено находиться в фильтре, фильтр Фреше на , обозначаемый как , является множеством всех кофинитных подмножеств . То есть: ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle F=\{A\subseteq X:X\setminus A\;{\text{ is finite }}\}.}$$

Если — не конечное множество, то каждое коконечное подмножество обязательно непусто, так что в этом случае нет необходимости делать предположение о пустом множестве, сделанное ранее. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Это делает фильтр на решетке множеством мощности с включением множеств, учитывая, что обозначает дополнение множества в . Выполняются следующие два условия: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\wp (X),\subseteq ),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\operatorname {C} }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Условие пересечения

Если два множества конечно дополняемы в , то их пересечение также конечно дополняемо, поскольку и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (A\cap B)^{\operatorname {C} }=A^{\operatorname {C} }\cup B^{\operatorname {C} },}$

Верхнее установленное состояние

Если множество конечно дополняемо в , то и его надмножества конечно дополняемы в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Если базовый набор конечен, то поскольку каждое подмножество , и в частности каждое дополнение, тогда конечно. Этот случай иногда исключается по определению или иначе называется неправильным фильтром на ^[2] Разрешение быть конечным создает единственное исключение из того, что фильтр Фреше является свободным и неглавным, поскольку фильтр на конечном наборе не может быть свободным, а неглавный фильтр не может содержать никаких синглтонов в качестве членов. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F=\wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Если бесконечно, то каждый член бесконечен, поскольку он просто минус конечное число своих членов. Кроме того, бесконечно, поскольку одно из его подмножеств является множеством всех , где ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{x\}^{\operatorname {C} },}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Фильтр Фреше является как свободным, так и неглавным, за исключением конечного случая, упомянутого выше, и включен в каждый свободный фильтр. Он также является дуальным фильтром идеала всех конечных подмножеств (бесконечного) . ${\displaystyle X}$

Фильтр Фреше не обязательно является ультрафильтром (или максимальным собственным фильтром). Рассмотрим множество степеней , где — натуральные числа . Множество четных чисел является дополнением множества нечетных чисел. Поскольку ни одно из этих множеств не является конечным, ни одно из множеств не входит в фильтр Фреше на Однако ультрафильтр (и любой другой невырожденный фильтр) свободен тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше. Лемма об ультрафильтре утверждает, что каждый невырожденный фильтр содержится в некотором ультрафильтре. Существование свободных ультрафильтров было установлено Тарским в 1930 году с опорой на теорему, эквивалентную аксиоме выбора, и используется при построении гиперреальных чисел в нестандартном анализе . ^[3] ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Примеры

Если — конечное множество , то, предполагая, что пустое множество может быть в фильтре, фильтр Фреше на состоит из всех подмножеств . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

На множестве натуральных чисел множество бесконечных интервалов является базой фильтра Фреше , то есть фильтр Фреше на состоит из всех надмножеств элементов . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B=\{(n,\infty ):n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B}$

Смотрите также

• Теорема о простом идеале Буля  – Идеалы в булевой алгебре могут быть расширены до простых идеалов
• Фильтр (математика)  — в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Ультрафильтр  – максимально правильный фильтр

Ссылки

1. "Кофинитный фильтр". mathworld.wolfram.com .
2. Ходжес, Уилфрид (2008). «Теория моделей». Энциклопедия математики и ее приложений . Cambridge University Press. стр. 265. ISBN 978-0-521-06636-5.
3. Пинто, Дж. Соуза; Хоскинс, Р. Ф. (2004). Бесконечно малые методы математического анализа . Серия «Математика и приложения». Издательство Horwood Publishing. стр. 53. ISBN 978-1-898563-99-0.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Коконечный фильтр». Математический мир .
• JB Nation, Заметки по теории решеток, курсовые заметки, пересмотренные в 2017 году.