кривая Фрея

Эллиптическая кривая, связанная с тройкой Ферма

В математике кривая Фрея или кривая Фрея–Хеллегоуарха — это эллиптическая кривая, связанная с тройкой ABC . Она связывает свойства решений уравнений с эллиптическими кривыми. Эта кривая была популяризирована в ее применении к Великой теореме Ферма, где исследуется (гипотетическое) решение уравнения Ферма $${\displaystyle y^{2}=x(x-\alpha )(x+\beta )}$$ ${\displaystyle \alpha +\beta =\gamma }$

${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell }.}$

Кривая названа в честь Герхарда Фрея и (иногда) Ива Хеллегуарха  [фр; дек] .

История

Ив Хеллегуарх (1975) выступил с идеей связать решения уравнения Ферма с совершенно другим математическим объектом: эллиптической кривой. ^[1] Если ℓ — нечетное простое число, а a , b и c — положительные целые числа, такие что, то соответствующая кривая Фрея — это алгебраическая кривая, заданная уравнением или, что то же самое, Это неособая алгебраическая кривая рода один, определенная над Q , и ее проективное пополнение — эллиптическая кривая над Q. ${\displaystyle (a,b,c)}$ $${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell },}$$ $${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{\ell })(x+b^{\ell }),}$$ $${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{\ell })(x-c^{\ell }).}$$

Герхард Фрей  (1982) обратил внимание на необычные свойства той же кривой, что и Хеллегуарх, которая стала называться кривой Фрея. Это обеспечило мост между Ферма и Таниямой, показав, что контрпример к Великой теореме Ферма создаст такую ​​кривую, которая не будет модулярной. Гипотеза привлекла значительный интерес, когда Фрей (1986) предположил, что гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля влечет Великую теорему Ферма. ^[2] Однако его аргумент не был полным. В 1985 году Жан-Пьер Серр предположил, что кривая Фрея не может быть модулярной, и предоставил частичное доказательство этого. Это показало, что доказательство полустабильного случая гипотезы Таниямы–Шимуры влечет Великую теорему Ферма. Серр не предоставил полного доказательства, и то, чего не хватало, стало известно как гипотеза эпсилон или ε-гипотеза. Летом 1986 года Рибет (1990) доказал гипотезу эпсилон, тем самым доказав, что гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля влечет Великую теорему Ферма. ^[3]

Примечания

1. Хеллегуарх (1975).
2. Фрей (1982); Фрей (1986).
3. Рибет (1990).

Ссылки

• Фрей, Герхард (1986), "Связи между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями", Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN  0933-8268, MR  0853387
• Фрей, Герхард (1982), «Обоснование пунктов ферматкурвена и getwisteten Modulkurven», J. reine angew. Математика. , 331 : 185–191
• Хеллегуарх, Ив (1975), «Points d'ordre 2ph sur les courbes elliptiques» (PDF) , Polska Akademia Nauk. Институт Математики. Acta Arithmetica , 26 (3): 253–263, ISSN  0065–1036, MR  0379507.
• Хеллегуарх, Ив (2000), «Исправление первой статьи Х. Дармона: «Гипотеза Шимуры-Таниямы-Вейля est enfin démontré»», Gazette des Mathématiciens , 83 , ISSN  0224-8999, заархивировано с оригинала на 04 февраля 2012 г. , получено 2012-01-02
• Хеллегуарх, Ив (2002), Приглашение в математику Ферма–Уайлса , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-339251-0, г-н  1475927
• Рибет, Кеннет А. (1990), «О модулярных представлениях Gal( Q / Q), возникающих из модулярных форм», Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476, Bibcode : 1990InMat.100..431R, doi : 10.1007/BF01231195, hdl : 10338.dmlcz/147454 , ISSN  0020-9910, MR  1047143, S2CID  120614740