Функция Ванье

Функции Ванье тройных и одинарных связей димеров азота в нитриде палладия.

Функции Ванье — это полный набор ортогональных функций, используемых в физике твердого тела . Они были введены Грегори Ванье в 1937 году . ^{[1] [2]} Функции Ванье — это локализованные молекулярные орбитали кристаллических систем.

Функции Ванье для различных узлов решетки в кристалле ортогональны, что обеспечивает удобную основу для расширения электронных состояний в определенных режимах. Функции Ванье нашли широкое применение, например, при анализе сил связи, действующих на электроны.

Определение

Пример локализованной функции Ванье титана в титанате бария (BaTiO3)

Хотя, как и локализованные молекулярные орбитали , функции Ванье можно выбирать многими различными способами, ^[3] исходное, ^[1] простейшее и наиболее распространенное определение в физике твердого тела следующее. Выберите одну зону в идеальном кристалле и обозначьте ее блоховские состояния как

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

где uk ( r ) имеет ту же периодичность _, что и кристалл. Тогда функции Ванье определяются как

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

где

• R — любой вектор решетки (т.е. для каждого вектора решетки Браве существует одна функция Ванье );
• N — число примитивных ячеек в кристалле;
• Сумма по k включает все значения k в зоне Бриллюэна (или любой другой примитивной ячейке обратной решетки ), которые согласуются с периодическими граничными условиями на кристалле. Это включает N различных значений k , равномерно распределенных по зоне Бриллюэна. Поскольку N обычно очень велико, сумму можно записать в виде интеграла по правилу замены:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{\text{BZ}}d^{3}\mathbf {k} }$

где «BZ» обозначает зону Бриллюэна , объем которой равен Ω.

Характеристики

На основе этого определения можно доказать выполнение следующих свойств: ^[4]

• Для любого вектора решетки R' ,

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')}$

Другими словами, функция Ванье зависит только от величины ( r − R ). В результате эти функции часто записываются в альтернативной нотации

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$

• Функции Блоха можно записать через функции Ванье следующим образом:

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$,

где сумма берется по каждому вектору решетки R в кристалле.

• Набор волновых функций представляет собой ортонормальный базис для рассматриваемой полосы. ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\text{crystal}}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} &={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{crystal}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R-R')} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}}$

Функции Ванье были распространены также на почти периодические потенциалы. ^[5]

Локализация

Состояния Блоха ψ _k ( r ) определяются как собственные функции конкретного гамильтониана и, следовательно, определяются только с точностью до общей фазы. Применяя фазовое преобразование e ^{iθ ( k )} к функциям ψ _k ( r ), для любой (действительной) функции θ ( k ), можно прийти к одинаково допустимому выбору. Хотя это изменение не имеет последствий для свойств состояний Блоха, соответствующие функции Ванье существенно изменяются этим преобразованием.

Поэтому используется свобода выбора фаз состояний Блоха, чтобы дать наиболее удобный набор функций Ванье. На практике это обычно максимально локализованный набор, в котором функция Ванье ϕ _R локализована вокруг точки R и быстро стремится к нулю вдали от R . Для одномерного случая Коном ^[6] было доказано , что всегда существует уникальный выбор, который дает эти свойства (при условии определенных симметрий). Это, следовательно, применимо к любому разделяемому потенциалу в более высоких измерениях; общие условия не установлены и являются предметом продолжающихся исследований. ^[7]

Недавно была также предложена схема локализации типа Пипека-Мезея для получения функций Ванье. [ 8 ^] В отличие от максимально локализованных функций Ванье (которые являются применением схемы Фостера-Бойса к кристаллическим системам), функции Ванье Пипека-Мезея не смешивают σ- и π-орбитали.

Точные результаты

Существование экспоненциально локализованных функций Ванье в изоляторах было доказано математически в 2006 году. ^[7]

Современная теория поляризации

Функции Ванье недавно нашли применение в описании поляризации в кристаллах, например, сегнетоэлектриках . Современная теория поляризации была разработана Раффаэле Рестой и Дэвидом Вандербильтом. См., например, Бергхольд, ^[9] и Нахмансон, ^[10] и введение в power-point Вандербильта. ^[11] Поляризация на элементарную ячейку в твердом теле может быть определена как дипольный момент плотности заряда Ванье:

${\displaystyle \mathbf {p_{c}} =-e\sum _{n}\int \ d^{3}r\,\,\mathbf {r} |W_{n}(\mathbf {r} )|^{2}\ ,}$

где суммирование ведется по занятым зонам, а W _n — функция Ванье, локализованная в ячейке для зоны n . Изменение поляризации в ходе непрерывного физического процесса является производной поляризации по времени и также может быть сформулировано в терминах фазы Берри занятых состояний Блоха. ^{[4] [12]}

Интерполяция Ванье

Функции Ванье часто используются для интерполяции зонных структур, вычисленных ab initio на грубой сетке k -точек, в любую произвольную k -точку. Это особенно полезно для оценки интегралов зоны Бриллюэна на плотных сетках и поиска точек Вейля, а также взятия производных в k -пространстве. Этот подход по духу похож на приближение сильной связи , но в отличие от него позволяет точно описывать зоны в определенном диапазоне энергий. Схемы интерполяции Ванье были получены для спектральных свойств, ^[13] аномальной холловской проводимости , ^[14] орбитальной намагниченности , ^[15] термоэлектрических и электронных транспортных свойств, ^[16] гиротропных эффектов , ^[17] тока сдвига , ^[18] спиновой холловской проводимости ^{[19] [20]} и других эффектов.

Смотрите также

• Орбитальное намагничивание

Ссылки

1. Wannier Gregory H (1937). "Структура уровней электронного возбуждения в изолирующих кристаллах". Physical Review . 52 (3): 191–197. Bibcode :1937PhRv...52..191W. doi :10.1103/PhysRev.52.191.
2. Ванье, Грегори Х. (1 сентября 1962 г.). «Динамика зонных электронов в электрических и магнитных полях». Reviews of Modern Physics . 34 (4). Американское физическое общество (APS): 645–655. Bibcode : 1962RvMP...34..645W. doi : 10.1103/revmodphys.34.645. ISSN  0034-6861.
3. Марзари и др.: Введение в максимально локализованные функции Ванье
4. A Bohm, A Mostafazadeh, H Koizumi, Q Niu и J Zqanziger (2003). Геометрическая фаза в квантовых системах. Springer. стр. §12.5, стр. 292 и далее. doi :10.1007/978-3-662-10333-3. ISBN 978-3-540-00031-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. MP Geller и W Kohn Теория обобщенных функций Ванье для почти периодических потенциалов Physical Review B 48, 1993
6. W. Kohn (1959). «Аналитические свойства волн Блоха и функций Ванье». Physical Review . 115 (4): 809–821. Bibcode : 1959PhRv..115..809K. doi : 10.1103/PhysRev.115.809.
7. Brouder, Christian; Panati, Gianluca; Calandra, Matteo; Mourougane, Christophe; Marzari, Nicola (25 января 2007 г.). "Экспоненциальная локализация функций Ванье в изоляторах". Physical Review Letters . 98 (4). Американское физическое общество (APS): 046402. arXiv : cond-mat/0606726 . Bibcode : 2007PhRvL..98d6402B. doi : 10.1103/physrevlett.98.046402. ISSN  0031-9007. PMID  17358792. S2CID  32812449.
8. Йонссон Элвар О., Лехтола Суси, Пушка Мартти, Йонссон Ханнес (2017). «Теория и применение обобщенных функций Пипека–Мезея Ванье». Журнал химической теории и вычислений . 13 (2): 460–474. arXiv : 1608.06396 . doi : 10.1021/acs.jctc.6b00809. PMID  28099002. S2CID  206612913.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Бергхольд, Герд; Манди, Кристофер Дж.; Ромеро, Альдо Х.; Хуттер, Юрг; Парринелло, Микеле (15 апреля 2000 г.). «Общие и эффективные алгоритмы для получения максимально локализованных функций Ванье». Physical Review B. 61 ( 15). Американское физическое общество (APS): 10040–10048. Bibcode : 2000PhRvB..6110040B. doi : 10.1103/physrevb.61.10040. ISSN  0163-1829.
10. Nakhmanson, SM; Calzolari, A.; Meunier, V.; Bernholc, J.; Buongiorno Nardelli, M. (10 июня 2003 г.). "Спонтанная поляризация и пьезоэлектричество в нанотрубках нитрида бора". Physical Review B. 67 ( 23): 235406. arXiv : cond-mat/0305329v1 . Bibcode : 2003PhRvB..67w5406N. doi : 10.1103/physrevb.67.235406. ISSN  0163-1829. S2CID  119345964.
11. Д. Вандербильт Фазы Берри и кривизны в теории электронной структуры .
12. C. Pisani (1994). Квантово-механический ab-initio расчет свойств кристаллических материалов (Труды IV Школы вычислительной химии Итальянского химического общества под ред.). Springer. стр. 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
13. Йейтс, Джонатан Р.; Ван, Синьцзе; Вандербильт, Дэвид; Соуза, Иво (2007-05-21). "Спектральные и фермиевские свойства поверхности из интерполяции Ванье". Physical Review B. 75 ( 19). Американское физическое общество (APS): 195121. arXiv : cond-mat/0702554 . Bibcode : 2007PhRvB..75s5121Y. doi : 10.1103/physrevb.75.195121. ISSN  1098-0121. S2CID  31224663.
14. Ван, Синьцзе; Йейтс, Джонатан Р.; Соуза, Иво; Вандербильт, Дэвид (21.11.2006). "Ab initiocalculation of the anomal Hall Conductation by Wannier interpolation". Physical Review B. 74 ( 19): 195118. arXiv : cond-mat/0608257 . Bibcode : 2006PhRvB..74s5118W. doi : 10.1103/physrevb.74.195118. ISSN  1098-0121. S2CID  30427871.
15. Лопес, МГ; Вандербильт, Дэвид; Тонхаузер, Т.; Соуза, Иво (2012-01-31). "Расчет орбитальной намагниченности в кристаллах на основе Ванье". Physical Review B. 85 ( 1): 014435. arXiv : 1112.1938 . Bibcode : 2012PhRvB..85a4435L. doi : 10.1103/physrevb.85.014435. ISSN  1098-0121. S2CID  44056938.
16. Pizzi, Giovanni; Volja, Дмитрий; Kozinsky, Борис; Fornari, Марко; Marzari, Никола (2014-01-01). "BoltzWann: Код для оценки термоэлектрических и электронных транспортных свойств с максимально локализованным базисом функций Ванье". Computer Physics Communications . 185 (1): 422–429. arXiv : 1305.1587 . Bibcode :2014CoPhC.185..422P. doi :10.1016/j.cpc.2013.09.015. ISSN  0010-4655. S2CID  6140858 . Получено 2020-07-13 .
17. Циркин, Степан С.; Пуэнте, Пабло Агуадо; Соуза, Иво (29.01.2018). «Гиротропные эффекты в тригональном теллуре, изученные из первых принципов». Physical Review B. 97 ( 3): 035158. arXiv : 1710.03204 . Bibcode : 2018PhRvB..97c5158T. doi : 10.1103/physrevb.97.035158. ISSN  2469-9950. S2CID  55517213.
18. Ибаньес-Аспирос, Хулен; Циркин, Степан С.; Соуза, Иво (2018-06-26). "Ab initio расчет сдвигового фототока с помощью интерполяции Ванье". Physical Review B. 97 ( 24): 245143. arXiv : 1804.04030 . Bibcode : 2018PhRvB..97x5143I. doi : 10.1103/physrevb.97.245143. ISSN  2469-9950. S2CID  67751414.
19. Цяо, Цзюньфэн; Чжоу, Цзяци; Юань, Чжэ; Чжао, Вэйшэн (3 декабря 2018 г.). «Расчет собственной спиновой холловской проводимости методом интерполяции Ванье». Физический обзор B . 98 (21): 214402. arXiv : 1810.07637 . Бибкод : 2018PhRvB..98u4402Q. doi : 10.1103/physrevb.98.214402. ISSN  2469-9950. S2CID  119223848.
20. Рю, Джи Хун; Пак, Чхоль-Хван; Соуза, Иво (2019-06-07). "Вычисление внутренних спиновых холловских проводимостей из первых принципов с использованием максимально локализованных функций Ванье". Physical Review B. 99 ( 23): 235113. arXiv : 1906.07139 . Bibcode : 2019PhRvB..99w5113R. doi : 10.1103/physrevb.99.235113. ISSN  2469-9950. S2CID  189928182.

Дальнейшее чтение

• Карин М. Рабе ; Жан-Марк Трисконе; Чарльз Х. Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков: современная перспектива. Springer. стр. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.

Внешние ссылки

• Ванье Грегори Х (1937). «Структура уровней электронного возбуждения в изолирующих кристаллах». Physical Review . 52 (3): 191–197. Bibcode :1937PhRv...52..191W. doi :10.1103/PhysRev.52.191.
• Компьютерный код Wannier90, который вычисляет максимально локализованные функции Ванье
• Код Ванье-транспорта, который вычисляет максимально локализованные функции Ванье, подходящие для приложений квантового транспорта
• WannierTools: пакет программного обеспечения с открытым исходным кодом для новых топологических материалов
• WannierBerri — код Python для интерполяции Ванье и вычислений сильной связи

Смотрите также

• Теорема Блоха
• Угол Ханнея
• Геометрическая фаза