Функция Римана Си

Функция Римана xi в комплексной плоскости . Цвет точки кодирует значение функции. Более темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует аргумент значения . ${\displaystyle \xi (s)}$ ${\displaystyle s}$

В математике Xi-функция Римана является вариантом дзета-функции Римана и определяется таким образом, чтобы иметь особенно простое функциональное уравнение . Функция названа в честь Бернхарда Римана .

Определение

Оригинальная строчная функция Римана «xi» была переименована Эдмундом Ландау в прописную ( греческую букву «Xi» ) . Строчная буква Ландау («xi») определяется как ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle ~\Xi ~}$ ${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

для . Здесь обозначает дзета-функцию Римана , а – гамма-функцию . ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$

Функциональное уравнение (или формула отражения ) для Ландау имеет вид ${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

Исходная функция Римана, переименованная Ландау в верхний регистр, ^[1] удовлетворяет ${\displaystyle ~\Xi ~}$

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)}$,

и подчиняется функциональному уравнению

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Обе функции целы и чисто вещественны для вещественных аргументов.

Ценности

Общая форма для положительных четных целых чисел:

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

где B _n обозначает n -е число Бернулли . Например:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

Представления серий

Функция имеет разложение в ряд ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

где

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

где сумма распространяется на ρ, нетривиальные нули дзета-функции, в порядке . ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$

Это расширение играет особенно важную роль в критерии Ли , который утверждает, что гипотеза Римана эквивалентна наличию λ _n > 0 для всех положительных n .

Произведение Адамара

Простое бесконечное расширение продукта

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

где ρ пробегает корни ξ.

Для обеспечения сходимости в разложении произведение следует брать по «совпадающим парам» нулей, т. е. множители для пары нулей вида ρ и 1−ρ должны быть сгруппированы вместе.

Рекомендации

1. Ландау, Эдмунд (1974) [1909]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [ Справочник по изучению распределения простых чисел ] (Третье изд.). Нью-Йорк: Челси. §70-71 и стр. 894.

• Вайсштейн, Эрик В. «Кси-функция». Математический мир .
• Кейпер, Дж. Б. (1992). «Разложение xi-функции Римана в степенной ряд». Математика вычислений . 58 (198): 765–773. Бибкод : 1992MaCom..58..765K. дои : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

Эта статья включает в себя материал из функции Римана Ξ на PlanetMath , которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .