Функция подсчета очков

График и​ ${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)}$

В математике функции Скорера — это специальные функции, изученные Скорером (1950) и обозначаемые Gi( x ) и Hi( x ).

Hi( x ) и -Gi( x ) решают уравнение

${\displaystyle y''(x)-x\ y(x)={\frac {1}{\pi }}}$

и даются

${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,}$

${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}$

Функции Скорера также можно определить в терминах функций Эйри :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$

Из интегральных форм также можно видеть, что имеет место следующее соотношение:

${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)+\mathrm {Hi} (x)\equiv \mathrm {Bi} (x)}$

• 
  График функции Скорера Gi(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График производной функции Скорера Hi'(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График производной функции Скорера Gi'(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График функции Scorer Hi(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Ссылки

• Olver, FWJ (2010), "Функции счетчика", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Скорер, RS (1950), «Численная оценка интегралов формы и табулирование функции », The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics , 3 : 107–112, doi : 10.1093/qjmam/3.1.107, ISSN  0033-5614, MR  0037604 ${\displaystyle I=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)e^{i\phi (x)}dx}$ ${\displaystyle {\rm {Gi}}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\rm {sin}}\left(uz+{\frac {1}{3}}u^{3}\right)du}$