Функция распределения пар

Описывает распределение расстояний между парами частиц, содержащихся в заданном объеме.

Функция распределения пар описывает распределение расстояний между парами частиц, содержащихся в заданном объеме. ^[1] Математически, если a и b — две частицы, то функция распределения пар b относительно a , обозначаемая как , представляет собой вероятность нахождения частицы b на расстоянии от a , при этом a принимается за начало координат. ${\displaystyle g_{ab}({\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Обзор

Функция парного распределения используется для описания распределения объектов в среде (например, апельсинов в ящике или молекул азота в газовом баллоне). Если среда однородна (т.е. каждое пространственное местоположение имеет идентичные свойства), то существует одинаковая плотность вероятности обнаружения объекта в любом положении : ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle p({\vec {r}})=1/V}$,

где — объем контейнера. С другой стороны, вероятность нахождения пар объектов в заданных положениях (т. е. плотность вероятности двух тел) не является равномерной. Например, пары твердых шаров должны быть разделены по крайней мере диаметром шара. Функция распределения пар получается путем масштабирования функции плотности вероятности двух тел по общему количеству объектов и размеру контейнера: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$.

В общем случае, когда количество объектов в контейнере велико, это упрощается до:

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')\approx p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}}$.

Простые модели и общие свойства

Простейшая возможная функция распределения пар предполагает, что все местоположения объектов взаимно независимы, что дает:

${\displaystyle g({\vec {r}})=1}$,

где — это расстояние между парой объектов. Однако это неточно в случае твердых объектов, как обсуждалось выше, поскольку не учитывает минимальное расстояние, необходимое между объектами. Приближение коррекции отверстий (HC) дает лучшую модель: ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

где - диаметр одного из объектов. ${\displaystyle b}$

Хотя приближение HC дает разумное описание редко упакованных объектов, оно не работает для плотной упаковки. Это можно проиллюстрировать, рассмотрев ящик, полностью заполненный идентичными твердыми шарами так, что каждый шар касается своих соседей. В этом случае каждая пара шаров в ящике разделена расстоянием, где — положительное целое число. Таким образом, распределение пар для объема, полностью заполненного твердыми шарами, представляет собой набор дельта-функций Дирака вида: ${\displaystyle r=nb}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$.

Наконец, можно отметить, что пара объектов, находящихся на большом расстоянии друг от друга, не оказывают никакого влияния на положение друг друга (при условии, что контейнер не заполнен полностью). Поэтому,

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$.

В общем случае функция распределения пар будет иметь форму, находящуюся где-то между моделями с редкой упаковкой (приближение HC) и плотно упакованной (дельта-функция) в зависимости от плотности упаковки . ${\displaystyle f}$

Радиальная функция распределения

Особое практическое значение имеет функция радиального распределения , которая не зависит от ориентации. Это основной дескриптор атомной структуры аморфных материалов (стекла, полимеры) и жидкостей. Функция радиального распределения может быть рассчитана непосредственно из физических измерений, таких как рассеяние света или порошковая рентгеновская дифракция, путем выполнения преобразования Фурье .

В статистической механике плотность вероятности определяется выражением

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

Приложения

Функция распределения пар тонких пленок

Когда тонкие пленки неупорядочены, как в электронных устройствах, распределение пар используется для просмотра деформации и структурных свойств этого материала или состава. Они обладают этими свойствами, которые не могут быть использованы в объемной или кристаллической форме. Существует метод с радиальным распределением, который способен просматривать локальную структуру неупорядоченной тонкой пленки . Но создатели этого метода назвали потребность в лучшем методе для просмотра среднего порядка неупорядоченных пленок. Создание функции распределения пар тонкой пленки (tfPDF) использует статистическое распределение среднего порядка материала, что позволяет просматривать важные детали, такие как беспорядок. В этом методе 2D-данные из метода рассеяния интегрируются и преобразуются Фурье в 1D-данные, которые показывают вероятность связей в этом материале. TfPDF лучше всего работает в сочетании с другими методами характеризации, такими как просвечивающая электронная микроскопия. Хотя это развивающаяся методология, tfPDF может дать полные соотношения структура-свойство с помощью надежного метода характеризации. ${\displaystyle {\ce {GeSe2}}}$

Смотрите также

• метод классической карты гиперсетевой цепи

Ссылки

Фишер-Колбри, Биненшток, Фуосс, Маркус. Физ. Ред. Б (1988) 38, 12388

Дженсен, К.М., Биллинг, С.Дж. (2015). МСКрЖ, 2(5), 481-489.

1. "Анализ функции парного распределения (PDF)" . Получено 2018-10-26 .