Функция окна

Функция, используемая при обработке сигнала

Популярная оконная функция, окно Ханна . Большинство популярных оконных функций представляют собой похожие колоколообразные кривые.

В обработке сигналов и статистике функция окна (также известная как функция аподизации или функция сужения ^[1] ) — это математическая функция , которая принимает нулевое значение за пределами некоторого выбранного интервала . Обычно функции окна симметричны относительно середины интервала, достигают максимума в середине и сужаются от середины. Математически, когда другая функция или форма сигнала/последовательность данных «умножается» на функцию окна, произведение также принимает нулевое значение за пределами интервала: остается только часть, где они перекрываются, «вид через окно». Эквивалентно и на реальной практике сначала изолируется сегмент данных в окне, а затем только эти данные умножаются на значения функции окна. Таким образом, сужение, а не сегментация, является основной целью функций окна.

Причины изучения сегментов более длинной функции включают обнаружение переходных событий и усреднение по времени частотных спектров. Длительность сегментов определяется в каждом приложении такими требованиями, как разрешение по времени и частоте. Но этот метод также изменяет частотное содержимое сигнала с помощью эффекта, называемого спектральной утечкой . Оконные функции позволяют нам распределять утечку спектрально различными способами в соответствии с потребностями конкретного приложения. В этой статье подробно описано множество вариантов, но многие из различий настолько тонкие, что на практике не имеют значения.

В типичных приложениях используемые оконные функции представляют собой неотрицательные, гладкие, «колоколообразные» кривые. ^[2] Также могут использоваться функции прямоугольника, треугольника и другие. Более общее определение оконных функций не требует, чтобы они были тождественно равны нулю вне интервала, пока произведение окна, умноженное на его аргумент, является квадратично интегрируемым , и, более конкретно, что функция достаточно быстро стремится к нулю. ^[3]

Приложения

Оконные функции используются в спектральном анализе /модификации/ ресинтезе , ^[4] проектировании фильтров с конечной импульсной характеристикой , объединении многомасштабных и многомерных наборов данных, ^{[5] [6],} а также при формировании диаграммы направленности и проектировании антенн .

Рисунок 2: Взвешивание синусоиды приводит к спектральной утечке. Одинаковый объем утечки происходит независимо от того, есть ли целое (синий) или нецелое (красный) число циклов в окне (строки 1 и 2). Когда синусоида дискретизирована и взвешена, ее дискретное временное преобразование Фурье (ДВПФ) также демонстрирует ту же картину утечки (строки 3 и 4). Но когда ДВПФ дискретизировано только с определенным интервалом, возможно (в зависимости от вашей точки зрения): (1) избежать утечки или (2) создать иллюзию отсутствия утечки. В случае синего ДВПФ эти выборки являются выходами дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Красное ДВПФ имеет тот же интервал нулевых пересечений, но выборки ДПФ попадают между ними, и утечка обнаруживается.

Спектральный анализ

Преобразование Фурье функции cos( ωt ) равно нулю, за исключением частоты ± ω . Однако многие другие функции и формы волн не имеют удобных преобразований замкнутой формы. В качестве альтернативы, можно было бы заинтересоваться их спектральным содержанием только в течение определенного периода времени.

В любом случае преобразование Фурье (или аналогичное преобразование) может быть применено к одному или нескольким конечным интервалам формы волны. В общем случае преобразование применяется к произведению формы волны и оконной функции. Любое окно (включая прямоугольное) влияет на спектральную оценку, вычисленную этим методом.

Конструкция фильтра

Окна иногда используются при проектировании цифровых фильтров , в частности, для преобразования «идеальной» импульсной характеристики бесконечной длительности, такой как функция sinc , в конструкцию фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Это называется методом окна . ^{[7] [8] [9]}

Статистика и подгонка кривых

Оконные функции иногда используются в области статистического анализа для ограничения набора анализируемых данных диапазоном вблизи заданной точки с весовым коэффициентом , который уменьшает влияние точек, более удаленных от части подгоняемой кривой. В области байесовского анализа и подгонки кривой это часто называют ядром .

Применение прямоугольных окон

Анализ переходных процессов

При анализе переходного сигнала в модальном анализе , например, импульса, ударного отклика, синусоидального импульса, чирпового импульса или шумового импульса, где распределение энергии по времени крайне неравномерно, прямоугольное окно может быть наиболее подходящим. Например, когда большая часть энергии находится в начале записи, непрямоугольное окно ослабляет большую часть энергии, ухудшая соотношение сигнал/шум. ^[10]

Гармонический анализ

Кто-то может захотеть измерить гармоническое содержание музыкальной ноты от конкретного инструмента или гармоническое искажение усилителя на заданной частоте. Снова обращаясь к рисунку 2 , мы можем заметить, что нет утечки на дискретном наборе гармонически связанных частот, выбранных дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). (Спектральные нули на самом деле являются нулевыми пересечениями, которые не могут быть показаны в логарифмической шкале, такой как эта.) Это свойство уникально для прямоугольного окна, и оно должно быть соответствующим образом настроено для частоты сигнала, как описано выше.

Перекрывающиеся окна

Когда длина набора данных, подлежащего преобразованию, больше, чем необходимо для обеспечения желаемого разрешения по частоте, общепринятой практикой является его разделение на более мелкие наборы и их индивидуальное оконирование. Чтобы смягчить «потери» на краях окна, отдельные наборы могут перекрываться во времени. См. Метод Уэлча спектрального анализа мощности и модифицированное дискретное косинусное преобразование .

Двумерные окна

Двумерные окна обычно используются при обработке изображений для уменьшения нежелательных высоких частот в преобразовании Фурье изображения. ^[11] Они могут быть построены из одномерных окон в любой из двух форм. ^[12] Разделимая форма, вычисляется тривиально. Радиальная форма, , которая включает радиус , является изотропной , независимой от ориентации осей координат. Только функция Гаусса является как разделимой, так и изотропной. ^[13] Разделимые формы всех других функций окна имеют углы, которые зависят от выбора осей координат. Изотропия/ анизотропия двумерной функции окна разделяется ее двумерным преобразованием Фурье. Разница между разделимой и радиальной формами сродни результату дифракции от прямоугольных и круглых апертур, который можно визуализировать в терминах произведения двух функций sinc и функции Эйри , соответственно. ${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$ ${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$ ${\displaystyle r={\sqrt {(m-M/2)^{2}+(n-N/2)^{2}}}}$

Примеры оконных функций

Соглашения :

• ${\displaystyle w_{0}(x)}$является функцией нулевой фазы (симметричной относительно ), ^[14] непрерывной для , где является положительным целым числом (четным или нечетным). ^[15] ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in [-N/2,N/2],}$ ${\displaystyle N}$
• Последовательность симметрична , имеет длину ${\displaystyle \{w[n]=w_{0}(n-N/2),\quad 0\leq n\leq N\}}$ ${\displaystyle N+1.}$
• ${\displaystyle \{w[n],\quad 0\leq n\leq N-1\}}$является симметричным по ДПФ , имеет длину ^[A] ${\displaystyle N.}$

• Параметр B , отображаемый на каждом спектральном графике, представляет собой эквивалентную шуму метрику полосы пропускания функции в единицах DFT-бинов . ^{[16] : стр. 56 ур. (16)}
  • См. спектральную утечку §§  Дискретные сигналы во времени и Некоторые метрики окна и Нормализованная частота для понимания использования «бинов» для оси x на этих графиках.

Разреженная выборка дискретного по времени преобразования Фурье (DTFT), такого как DFT на рис. 2, выявляет только утечку в ячейки DFT из синусоиды, частота которой также является целочисленной ячейкой DFT. Невидимые боковые лепестки выявляют утечку, ожидаемую от синусоид на других частотах. ^[a] Поэтому при выборе функции окна обычно важно выбирать DTFT более плотно (как мы делаем в этом разделе) и выбирать окно, которое подавляет боковые лепестки до приемлемого уровня.

Прямоугольное окно

Прямоугольное окно

Прямоугольное окно (иногда называемое окном Дирихле или равномерным окном , а в некоторых программах его ошибочно называют «без окна» ^[18] ) — это простейшее окно, эквивалентное замене всех, кроме N последовательных значений последовательности данных, нулями, в результате чего форма сигнала внезапно включается и выключается:

${\displaystyle w[n]=1.}$

Другие окна предназначены для смягчения этих резких изменений, чтобы уменьшить потери от гребешкового эффекта и улучшить динамический диапазон (описано в § Спектральный анализ).

Прямоугольное окно представляет собой окно B -сплайна 1- ^{го порядка} , а также окно степени синуса 0 ^{-й степени .}

Прямоугольное окно обеспечивает минимальную оценку среднеквадратической ошибки дискретного преобразования Фурье за ​​счет других обсуждаемых проблем.

Б-сплайновые окна

B -сплайновые окна могут быть получены как k -кратные свертки прямоугольного окна. Они включают в себя само прямоугольное окно ( k  = 1), § Треугольное окно ( k  = 2) и § Окно Парзена ( k  = 4). ^[19] Альтернативные определения выбирают соответствующие нормализованные базисные функции B -сплайна вместо свертки дискретных временных окон. Базисная функция B -сплайна k- ^го порядка является кусочно-полиномиальной функцией степени k −1, которая получается k -кратной самосверткой прямоугольной функции .

Треугольное окно

Треугольное окно (с L  =  N  + 1)

Треугольные окна определяются следующим образом:

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N}$

где L может быть N , ^[20] N  + 1, ^{[16] [21] [22]} или N  + 2. ^[23] Первое также известно как окно Бартлетта или окно Фейера . Все три определения сходятся при больших  N .

Треугольное окно — это окно B -сплайна 2 ^-го порядка . Форму L  =  N можно рассматривать как свертку двух прямоугольных окон шириной N ⁄ 2. Преобразование Фурье результата — это квадратные значения преобразования прямоугольного окна половинной ширины.

Парзеновское окно

Парзеновское окно

Определяя L ≜ N + 1 , окно Парзена, также известное как окно Валле-Пуссена , ^{[16] представляет собой} B -сплайновое окно 4 ^-го порядка, задаваемое формулой:

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

Окно Уэлча

Другие полиномиальные окна

Окно Уэлча

Окно Уэлча состоит из одной параболической секции:

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^[23]

Определяющий квадратичный полином достигает нулевого значения в выборках, находящихся сразу за пределами диапазона окна.

Синусоидальное окно

Синусоидальное окно

${\displaystyle w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Соответствующая функция — косинус без смещения фазы π /2. Поэтому синусоидальное окно ^[24] иногда также называют косинусным окном . ^[16] Поскольку оно представляет собой половину цикла синусоидальной функции, его также называют полусинусоидальным окном ^[25] или полукосинусоидальным окном . ^[26] ${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

Автокорреляция синусоидального окна создает функцию, известную как окно Бомана. [ ^27]

Окна степени синуса/косинуса

Эти оконные функции имеют вид: ^[28]

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Прямоугольное окно ( α  = 0 ), синусоидальное окно ( α  = 1 ) и окно Ханна ( α  = 2 ) являются членами этого семейства.

Для четных целых значений α эти функции также можно выразить в форме суммы косинусов:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

Окна косинусной суммы

Это семейство также известно как обобщенные косинусные окна .

В большинстве случаев, включая приведенные ниже примеры, все коэффициенты a _k  ≥ 0. Эти окна имеют только 2 K  + 1 ненулевых N -точечных коэффициентов ДПФ.

Окна Ханна и Хэмминга

окно Ханна

Окно Хэмминга, a ₀  = 0,53836 и a ₁  = 0,46164. Исходное окно Хэмминга будет иметь a ₀  = 0,54 и a ₁  = 0,46.

Обычные окна косинусной суммы для случая K  = 1 имеют вид:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

который легко (и часто) путают с его версией с нулевой фазой:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+a_{1}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2}}.\end{aligned}}}$

Настройка создает окно Ханна: ${\displaystyle a_{0}=0.5}$

${\displaystyle w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right),}$^[29]

назван в честь Юлиуса фон Ганна , и иногда ошибочно упоминается как Ханнинг , предположительно из-за его лингвистического и формульного сходства с окном Хэмминга. Он также известен как приподнятый косинус , потому что версия с нулевой фазой является одним лепестком функции приподнятого косинуса. ${\displaystyle w_{0}(n),}$

Эта функция является членом семейства косинус-суммы и степени синуса. В отличие от окна Хэмминга, конечные точки окна Ханна просто касаются нуля. Результирующие боковые лепестки спадают примерно на 18 дБ на октаву. ^[30]

Установка приблизительно на 0,54, или точнее 25/46, создает окно Хэмминга , предложенное Ричардом В. Хэммингом . Этот выбор устанавливает нулевое пересечение на частоте 5 π /( N  − 1), что отменяет первый боковой лепесток окна Ханна, давая ему высоту примерно в одну пятую от высоты окна Ханна. ^{[16] [31] [32]} Окно Хэмминга часто называют всплеском Хэмминга , когда используют для формирования импульса . ^{[33] [34] [35]} ${\displaystyle a_{0}}$

Приближение коэффициентов до двух знаков после запятой существенно снижает уровень боковых лепестков ^[16] до почти равноволнового состояния. ^[32] В смысле равноволнового состояния оптимальные значения коэффициентов составляют a ₀  = 0,53836 и a ₁  = 0,46164. ^{[32] [36]}

Окно Блэкмана

Окно Блэкмана; α  = 0,16

Окна Блэкмана определяются как:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

По общепринятому соглашению, неквалифицированный термин окно Блэкмана относится к «не очень серьезному предложению» Блэкмана α  = 0,16 ( a ₀  = 0,42, a ₁  = 0,5, a ₂  = 0,08), которое близко приближается к точному Блэкману , ^[37] с a ₀  = 7938/18608 ≈ 0,42659, a ₁  = 9240/18608 ≈ 0,49656 и a ₂  = 1430/18608 ≈ 0,076849. ^[38] Эти точные значения помещают нули на третьем и четвертом боковых лепестках, ^[16] но приводят к разрыву на краях и спаду 6 дБ/октаву. Усеченные коэффициенты не обнуляют боковые лепестки, но имеют улучшенный спад на 18 дБ/октаву. ^{[16] [39]}

Окно Наттолла, непрерывная первая производная

Окно Наттолла, непрерывная первая производная

Непрерывная форма окна Наттолла и его первая производная непрерывны всюду, как функция Ханна . То есть, функция стремится к 0 при x  = ± N /2, в отличие от окон Блэкмана–Наттолла, Блэкмана–Харриса и Хэмминга. Окно Блэкмана ( α  = 0,16 ) также непрерывно с непрерывной производной на краю, но «точное окно Блэкмана» — нет. ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

Окно Блэкмана–Наттолл

Окно Блэкмана–Наттолл

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

Окно Блэкмана–Харриса

Окно Блэкмана–Харриса

Обобщение семейства Хэмминга, полученное путем добавления большего количества смещенных функций sinc, призванное минимизировать уровни боковых лепестков ^{[40] [41]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.35875;\quad a_{1}=0.48829;\quad a_{2}=0.14128;\quad a_{3}=0.01168.}$

Окно с плоским верхом

Окно с плоским верхом

Плоское верхнее окно — это частично отрицательное окно, которое имеет минимальные потери на гребешковые искажения в частотной области. Это свойство желательно для измерения амплитуд синусоидальных частотных компонентов. ^{[17] [42]} Однако его широкая полоса пропускания приводит к высокой шумовой полосе пропускания и более широкому выбору частот, что в зависимости от приложения может быть недостатком.

Окна с плоским верхом могут быть спроектированы с использованием методов проектирования фильтров нижних частот ^[42] или они могут быть обычного вида с косинусной суммой:

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

Вариант Matlab имеет следующие коэффициенты:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

Доступны и другие варианты, такие как боковые лепестки, которые спадают за счет более высоких значений вблизи главного лепестка. ^[17]

Окна Райфа–Винсента

Окна Райфа–Винсента ^[43] обычно масштабируются для единичного среднего значения вместо единичного пикового значения. Значения коэффициентов ниже, примененные к уравнению 1 , отражают этот обычай.

Класс I, порядок 1 ( K = 1): функционально эквивалентен окну Ханна. ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

Класс I, порядок 2 ( К = 2): ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

Класс I определяется путем минимизации амплитуды боковых лепестков высокого порядка. Коэффициенты для порядков до K=4 сведены в таблицу. ^[44]

Класс II минимизирует ширину главного лепестка при заданном максимальном значении бокового лепестка.

Класс III — это компромисс, для которого порядок K  = 2 напоминает окно § Блэкмана. ^{[44] [45]}

Регулируемые окна

Гауссово окно

Гауссово окно, σ  = 0,4

Преобразование Фурье гауссовой функции также является гауссовой функцией. Поскольку поддержка гауссовой функции простирается до бесконечности, она должна быть либо усечена на концах окна, либо сама окончена другим окном с нулевым концом. ^[46]

Поскольку логарифм гауссовой функции дает параболу , это можно использовать для почти точной квадратичной интерполяции при оценке частоты . ^{[47] [46] [48]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

Стандартное отклонение функции Гаусса составляет σ  ·  N /2 периодов выборки.

Ограниченное гауссово окно, σ _t  = 0,1

Ограниченное гауссово окно

Ограниченное гауссово окно дает наименьшую возможную ширину среднеквадратичной частоты σ _ω для заданной временной ширины ( N + 1) σ _t . ^[49] Эти окна оптимизируют среднеквадратичные произведения полосы пропускания время-частота. Они вычисляются как минимальные собственные векторы матрицы, зависящей от параметров. Семейство ограниченных гауссовских окон содержит окно § Sine и окно § Gaussian в предельных случаях большого и малого σ _t , соответственно.

Приблизительное ограниченное гауссово окно, σ _t  = 0,1

Приблизительное ограниченное гауссово окно

Определяя L ≜ N + 1 , ограниченное гауссово окно временной ширины L × σ _t хорошо аппроксимируется следующим образом: ^[49]

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

где — гауссова функция: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

Стандартное отклонение приближенного окна асимптотически равно (т.е. большие значения N ) L × σ _t для σ _t < 0,14 . ^[49]

Обобщенное нормальное окно

Более обобщенная версия гауссовского окна — это обобщенное нормальное окно. ^[50] Сохраняя обозначения гауссова окна выше, мы можем представить это окно как

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

для любого четного . При это гауссово окно и при приближении к это приближается к прямоугольному окну. Преобразование Фурье этого окна не существует в замкнутой форме для общего . Однако оно демонстрирует другие преимущества гладкой, регулируемой полосы пропускания. Как и окно § Тьюки, это окно естественным образом предлагает «плоскую вершину» для управления затуханием амплитуды временного ряда (над которым у нас нет управления с гауссовым окном). По сути, оно предлагает хороший (управляемый) компромисс с точки зрения спектральной утечки, частотного разрешения и затухания амплитуды между гауссовым окном и прямоугольным окном. См. также ^[51] для исследования по представлению этого окна (или функции) во времени и частоте . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$

Окно Тьюки

Окно Тьюки, α  = 0,5

Окно Тьюки, также известное как косинусоидальное окно , можно рассматривать как косинусоидальный лепесток шириной Nα /2 (охватывающий Nα /2 + 1 наблюдений), который свёрнут с прямоугольным окном шириной N (1 − α /2) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$ ^{[52] [Б] [С]}

При α  = 0 оно становится прямоугольным, а при α  = 1 — окном Ханна.

Окно Планка-Тейпера

Окно Планка-Тейпера, ε  = 0,25

Так называемое окно "Planck-taper" является функцией выпуклости , которая широко использовалась ^[53] в теории разбиений единицы в многообразиях . Оно гладкое ( функция) везде, но равно нулю за пределами компактной области, равно единице на интервале внутри этой области и плавно и монотонно изменяется между этими пределами. Его использование в качестве функции окна в обработке сигналов было впервые предложено в контексте гравитационно-волновой астрономии , вдохновленной распределением Планка . ^[54] Оно определяется как кусочная функция : ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

Степень сужения контролируется параметром ε , при этом меньшие значения дают более резкие переходы.

DPSS или окно Слепяна

DPSS (дискретная вытянутая сфероидальная последовательность) или окно Слепиана максимизирует концентрацию энергии в главном лепестке [ ^55] и используется в многоконтурном спектральном анализе, который усредняет шум в спектре и уменьшает потерю информации на краях окна.

Главный лепесток заканчивается в частотном интервале, заданном параметром α . ^[56]

Окна Кайзера, представленные ниже, созданы путем простого приближения к окнам DPSS:

Окно Кайзера

Окно Кайзера, или Кайзера–Бесселя, представляет собой простую аппроксимацию окна DPSS с использованием функций Бесселя , открытых Джеймсом Кайзером . ^{[57] [58]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$ ^{[D] [16] : стр. 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

где - модифицированная функция Бесселя первого рода 0- ^го порядка. Переменный параметр определяет компромисс между шириной главного лепестка и уровнями боковых лепестков спектральной картины утечки. Ширина главного лепестка между нулями задается в единицах DFT-бинов ^[65] , а типичное значение равно 3. ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$ ${\displaystyle \alpha }$

Окно Дольфа–Чебышева

Окно Дольфа–Чебышева, α  = 5

Минимизирует норму Чебышева боковых лепестков для заданной ширины главного лепестка. ^[66]

Нуль-фазовая оконная функция Дольфа–Чебышева обычно определяется в терминах ее вещественнозначного дискретного преобразования Фурье : ^[67] ${\displaystyle w_{0}[n]}$ ${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) — это n -й многочлен Чебышева первого рода, вычисленный по x , который можно вычислить с помощью

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

является единственным положительным действительным решением для , где параметр α устанавливает норму Чебышева боковых лепестков в −20 α  децибел. ^[66] ${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$

Функцию окна можно рассчитать из W ₀ ( k ) с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ): ^[66]

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

Запаздывающую версию окна можно получить следующим образом:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

который для четных значений N должен быть вычислен следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

что является обратным DFT ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

Вариации:

• Из-за условия равноволнистости окно временной области имеет разрывы на краях. Приближение, которое избегает их, позволяя равноволнистости спадать на краях, — это окно Тейлора.
• Также доступна альтернатива определению обратного ДПФ.[1]

Ультрасферическое окно

Параметр μ ультрасферического окна определяет, уменьшаются ли амплитуды боковых лепестков его преобразования Фурье, остаются ли они на одном уровне или (как показано здесь) увеличиваются с частотой.

Ультрасферическое окно было представлено в 1984 году Роем Стрейтом ^[68] и нашло применение в проектировании антенных решеток, ^[69] проектировании нерекурсивных фильтров ^[68] и спектральном анализе. ^[70]

Как и другие регулируемые окна, окно Ultraspherical имеет параметры, которые могут быть использованы для управления шириной главного лепестка преобразования Фурье и относительной амплитудой боковых лепестков. В отличие от других окон, оно имеет дополнительный параметр, который может быть использован для установки скорости, с которой боковые лепестки уменьшаются (или увеличиваются) по амплитуде. ^{[70] [71] [72]}

Окно можно выразить во временной области следующим образом: ^[70]

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

где — ультрасферический полином степени N, а и управляют диаграммами направленности боковых лепестков. ^[70] ${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$

Некоторые конкретные значения дают другие известные окна: и дают окна Дольфа–Чебышева и Сарамяки соответственно. ^[68] См. здесь иллюстрацию ультрасферических окон с различной параметризацией. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1}$

Экспоненциальное или пуассоновское окно

Экспоненциальное окно, τ  =  N /2

Экспоненциальное окно, τ  = ( N /2)/(60/8,69)

Окно Пуассона, или, в более общем смысле, экспоненциальное окно, экспоненциально увеличивается к центру окна и экспоненциально уменьшается во второй половине. Поскольку экспоненциальная функция никогда не достигает нуля, значения окна на его границах не равны нулю (это можно рассматривать как умножение экспоненциальной функции на прямоугольное окно ^[73] ). Оно определяется как

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

где τ — постоянная времени функции. Экспоненциальная функция затухает как e  ≃ 2,71828 или приблизительно 8,69 дБ на постоянную времени. ^[74] Это означает, что для целевого затухания D  дБ на половине длины окна постоянная времени τ определяется как

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

Гибридные окна

Оконные функции также конструировались как мультипликативные или аддитивные комбинации других окон.

Окно Бартлетта–Ханна

Окно Бартлетта–Ханна

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

Окно Планка–Бесселя

Окно Планка–Бесселя, ε  = 0,1, α  = 4,45

Окно сужения Планка, умноженное на окно Кайзера , которое определяется в терминах модифицированной функции Бесселя . Эта гибридная оконная функция была введена для уменьшения пикового уровня боковых лепестков окна сужения Планка, при этом все еще используя его хорошее асимптотическое затухание. ^[75] Она имеет два настраиваемых параметра, ε из окна сужения Планка и α из окна Кайзера, поэтому ее можно настроить в соответствии с требованиями заданного сигнала.

Окно Ханна-Пуассона

Окно Ханна–Пуассона, α  = 2

Окно Ханна, умноженное на окно Пуассона. Поскольку оно не имеет боковых лепестков, поскольку его преобразование Фурье навсегда исчезает вдали от главного лепестка без локальных минимумов. Таким образом, его можно использовать в алгоритмах восхождения на холм, таких как метод Ньютона . ^[76] Окно Ханна–Пуассона определяется как: ${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

где α — параметр, контролирующий наклон экспоненты.

Другие окна

Окно GAP (окно Nuttall, оптимизированное для GAP)

Окно обобщенного адаптивного полинома (GAP)

Окно GAP представляет собой семейство регулируемых оконных функций, основанных на симметричном полиномиальном расширении порядка . Оно непрерывно с непрерывной производной всюду. При соответствующем наборе коэффициентов расширения и порядке расширения окно GAP может имитировать все известные оконные функции, точно воспроизводя их спектральные свойства. ${\displaystyle K}$

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$ ^[77]

где — стандартное отклонение последовательности . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{n\}}$

Кроме того, начиная с набора коэффициентов расширения , который имитирует определенную известную оконную функцию, окно GAP может быть оптимизировано с помощью процедур минимизации, чтобы получить новый набор коэффициентов, которые улучшают одно или несколько спектральных свойств, таких как ширина главного лепестка, затухание боковых лепестков и скорость спада боковых лепестков. ^[78] Таким образом, функция окна GAP может быть разработана с проектируемыми спектральными свойствами в зависимости от конкретного приложения. ${\displaystyle a_{2k}}$

Окно Синка или Ланцоша

Окно Ланцоша

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• используется в повторной выборке Ланцоша
• для окна Ланцоша определяется как ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• также известно как окно sinc , потому что: это главный лепесток нормализованной функции sinc $${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$

Асимметричные оконные функции

Форма , согласно вышеприведенному соглашению, симметрична относительно . Однако существуют асимметричные оконные функции, такие как гамма-распределение, используемое в реализациях FIR фильтров Gammatone . Эти асимметрии используются для уменьшения задержки при использовании больших размеров окна или для подчеркивания начального переходного процесса затухающего импульса. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle w_{0}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$

Любая ограниченная функция с компактным носителем , включая асимметричные, может быть легко использована в качестве функции окна. Кроме того, существуют способы преобразования симметричных окон в асимметричные окна путем преобразования временной координаты, например, с помощью следующей формулы

${\displaystyle x\leftarrow N\left({\frac {x}{N}}+{\frac {1}{2}}\right)^{\alpha }-{\frac {N}{2}}\,,}$

где окно придает больший вес самым ранним образцам, когда , и наоборот, придает больший вес самым поздним образцам, когда . ^[79] ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

Смотрите также

• Аподизация
• Фильтр Колмогорова–Зурбенко
• Многоконусный
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектральная утечка
• Метод Уэлча
• Весовая функция
• Метод проектирования окон

Примечания

1. Некоторые авторы ограничивают свое внимание этим важным подмножеством и четными значениями N. ^{[16] [17]} Но формулы коэффициентов окна по-прежнему остаются теми, которые представлены здесь.
2. Эту формулу можно подтвердить , упростив функцию косинуса в MATLAB tukeywin и подставив r = α и x = n / N.
3. Harris 1978 (стр. 67, уравнение 38), по-видимому, имеет две ошибки: (1) Оператор вычитания в числителе функции косинуса должен быть сложением. (2) Знаменатель содержит ложный множитель 2. Кроме того, рис. 30 соответствует α=0,25 при использовании формулы Википедии, но 0,75 при использовании формулы Харриса. Рис. 32 также неправильно обозначен.
4. Окно Кайзера часто параметризуется с помощью β , где β = π α . ^{[59] [60] [61] [62] [56] [63] [7] : стр. 474} Альтернативное использование только α облегчает сравнение с окнами DPSS. ^[64]

Ссылки на страницы

1. Харрис 1978, стр. 57, рис. 10.

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-58488-347-0.
2. Дороги, Кертис (2002). Microsound . MIT Press. ISBN 978-0-262-18215-7.
3. Каттани, Карло; Рущицкий, Джеремия (2007). Анализ вейвлетов и волн применительно к материалам с микро- или наноструктурой. World Scientific. ISBN 978-981-270-784-0.
4. "Overlap-Add (OLA) STFT Processing | Spectral Audio Signal Processing". www.dsprelated.com . Получено 07.08.2016 . Окно применяется дважды: один раз перед БПФ ("окно анализа") и второй раз после обратного БПФ перед реконструкцией методом перекрытия-сложения (так называемое "окно синтеза"). ... В более общем смысле, любое положительное окно COLA можно разделить на пару окон анализа и синтеза, извлекая из него квадратный корень.
5. Аджала, Р.; Персо, П. (2022). «Оценка колебаний грунта гибридных моделей сейсмической скорости». The Seismic Record . 2 (3): 186–196. Bibcode : 2022SeisR...2..186A. doi : 10.1785/0320220022 . S2CID  251504921.
6. Аджала, Р.; Персо, П. (2021). «Влияние слияния многомасштабных моделей на прогнозы сейсмического волнового поля вблизи южного разлома Сан-Андреас». Журнал геофизических исследований: Solid Earth . 126 (10). Bibcode : 2021JGRB..12621915A. doi : 10.1029/2021JB021915. ISSN  2169-9313. S2CID  239654900.
7. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). "7.2". Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 465–478. ISBN 0-13-754920-2.
8. "FIR-фильтры с помощью окон – Страницы лабораторной книги". www.labbookpages.co.uk . Получено 13 апреля 2016 г.
9. "Mastering Windows" (PDF) . www.cg.tuwien.ac.at . Получено 2020-02-12 .
10. "The Fundamentals of Signal Analysis Application Note 243" (PDF) . hpmemoryproject.org . Получено 10 апреля 2018 г. .
11. R. Hovden, Y. Jiang, H. Xin, LF Kourkoutis (2015). «Уменьшение периодических артефактов в преобразованиях Фурье изображений с атомным разрешением полного поля». Микроскопия и микроанализ . 21 (2): 436–441. arXiv : 2210.09024 . Bibcode : 2015MiMic..21..436H. doi : 10.1017/S1431927614014639. PMID  25597865. S2CID  22435248.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Бернстайн, Мэтт А.; Кинг, Кевин Франклин; Чжоу, Сяохун Джо (2004). Справочник по импульсным последовательностям МРТ. Лондон: Elsevier Academic Press. С. 495–499. ISBN 0-12-092861-2.
13. Авад, AI; Баба, K. (2011). "Применение определения местоположения особой точки в классификации отпечатков пальцев". Цифровая обработка информации и коммуникации . Коммуникации в области компьютерных и информационных наук. Том 188. стр. 262. doi :10.1007/978-3-642-22389-1_24. ISBN 978-3-642-22388-4.
14. "Фильтры нулевой фазы". ccrma.stanford.edu . Получено 2020-02-12 .
15. Rorabaugh, C.Britton (октябрь 1998). DSP Primer . Серия Primer. McGraw-Hill Professional. стр. 196. ISBN 978-0-07-054004-0.
16. Харрис, Фредрик Дж. (январь 1978 г.). «Об использовании Windows для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье» (PDF) . Труды IEEE . 66 (1): 51–83. Bibcode :1978IEEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548.  Фундаментальная статья Харриса 1978 года об окнах БПФ, в которой определено множество окон и введены ключевые показатели, используемые для их сравнения.
17. Хайнцель, Г.; Рюдигер, А.; Шиллинг, Р. (2002). Оценка спектра и спектральной плотности с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ), включая полный список оконных функций и некоторые новые окна с плоской вершиной (Технический отчет). Институт Макса Планка (MPI) für Gravitationsphysik / Laser Interferometry & Gravitational Wave Astronomy. 395068.0 . Получено 10.02.2013 .Также доступно по адресу https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/component/file_152163/content
18. "Understanding FFTs and Windowing" (PDF) . National Instruments . Архивировано (PDF) из оригинала 2024-01-05 . Получено 2024-02-13 .
19. Toraichi, K.; Kamada, M.; Itahashi, S.; Mori, R. (1989). «Оконные функции, представленные функциями B-сплайна». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 37 : 145–147. doi :10.1109/29.17517.
20. "Окно Бартлетта". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 .
21. Tukey, JW (1967). «Введение в вычисления численного спектрального анализа». Спектральный анализ временных рядов : 25–46.
22. «Треугольное окно – трианг MATLAB». www.mathworks.com . Проверено 13 апреля 2016 г.
23. Welch, P. (1967). «Использование быстрого преобразования Фурье для оценки спектров мощности: метод, основанный на усреднении по времени коротких модифицированных периодограмм». IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics . 15 (2): 70–73. Bibcode : 1967ITAE...15...70W. doi : 10.1109/TAU.1967.1161901. S2CID  13900622.
24. Bosi, Marina; Goldberg, Richard E. (2003). "Time to Frequency Mapping Часть II: The MDCT". Введение в цифровое аудиокодирование и стандарты . The Springer International Series in Engineering and Computer Science. Vol. 721. Boston, MA: Springer US. p. 106. doi :10.1007/978-1-4615-0327-9. ISBN 978-1-4615-0327-9.
25. Кидо, Кенити; Сузуки, Хидео; Оно, Такахико; Фукусима, Манабу (1998). «Деформация оценок импульсного отклика временным окном в кросс-спектральной технике». Журнал Акустического общества Японии (E) . 19 (5): 349–361. doi : 10.1250/ast.19.349 .
26. Ландисман, М.; Дзиевонски, А.; Сато, И. (1969-05-01). «Последние улучшения в анализе наблюдений за поверхностными волнами». Geophysical Journal International . 17 (4): 369–403. Bibcode :1969GeoJ...17..369L. doi : 10.1111/j.1365-246X.1969.tb00246.x .
27. "Окно Бохмана – R2019B". www.mathworks.com . Получено 2020-02-12 .
28. "Power-of-Cosine Window Family". ccrma.stanford.edu . Получено 10 апреля 2018 г. .
29. "Окно Ханна (Хеннинга) - MATLAB Ханн" . www.mathworks.com . Проверено 12 февраля 2020 г.
30. "Ханн или Ханнинг или приподнятый косинус". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 .
31. Эноксон, Лорен Д.; Отнес, Роберт К. (1968). Программирование и анализ цифровых временных рядов данных. Министерство обороны США, Информационный центр по ударам и вибрации. стр. 142.
32. "Окно Хэмминга". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 .
33. "Цифровая квадратурная амплитудная модуляция (QAM) радио: создание лучшего радио" (PDF) . users.wpi.edu . стр. 28 . Получено 2020-02-12 .
34. «Биты в символы, сигналы и обратно» (PDF) . users.wpi.edu . стр. 7 . Получено 12.02.2020 .
35. Джонсон, К. Ричард-младший; Сетарес, Уильям А.; Кляйн, Эндрю Г. (2011-08-18). "11". Software Receiver Design . Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50145-3.Также https://cnx.org/contents/[email protected]:6R_ztzDY@4/Pulse-Shaping-and-Receive-Filtering
36. Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506. Расширяет статью Харриса, охватывая все известные на тот момент оконные функции, а также сравнения ключевых метрик.
37. Weisstein, Eric W. "Функция Блэкмана". mathworld.wolfram.com . Получено 13 апреля 2016 г.
38. "Характеристики различных окон сглаживания - Справка NI LabVIEW 8.6". zone.ni.com . Получено 2020-02-13 .
39. Блэкман, Р. Б .; Тьюки, Дж. В. (1959-01-01). Измерение спектров мощности с точки зрения техники связи. Dover Publications. стр. 99. ISBN 978-0-486-60507-4.
40. "Blackman-Harris Window Family". ccrma.stanford.edu . Получено 13 апреля 2016 г.
41. "Трехсрочное окно Блэкмана-Харриса". ccrma.stanford.edu . Получено 13 апреля 2016 г.
42. Smith, Steven W. (2011). Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов. Сан-Диего, Калифорния, США: California Technical Publishing . Получено 14 февраля 2013 г.
43. Райф, Дэвид К.; Винсент, GA (1970), «Использование дискретного преобразования Фурье при измерении частот и уровней тонов», Bell Syst. Tech. J. , 49 (2): 197–228, doi :10.1002/j.1538-7305.1970.tb01766.x
44. Андрия, Грегорио; Савино, Марио; Тротта, Америго (1989), «Окна и алгоритмы интерполяции для повышения точности электрических измерений», IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement , 38 (4): 856–863, Bibcode : 1989ITIM...38..856A, doi : 10.1109/19.31004
45. Схаукенс, Джоаннес; Пинтелон, Рик; Ван Хамме, Хьюго (1992), «Интерполированное быстрое преобразование Фурье: сравнительное исследование», IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement , 41 (2): 226–232, Bibcode : 1992ITIM...41..226S, doi : 10.1109/19.137352
46. "Matlab for the Gaussian Window". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 . Обратите внимание, что в шкале дБ гауссовы функции являются квадратичными. Это означает, что параболическая интерполяция выборочного гауссовского преобразования является точной. ... квадратичная интерполяция спектральных пиков может быть более точной в логарифмической шкале величин (например, дБ), чем в линейной шкале величин
47. "Окно Гаусса и преобразование". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 .
48. "Квадратичная интерполяция спектральных пиков". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 .
49. Starosielec, S.; Hägele, D. (2014). «Дискретно-временные окна с минимальной среднеквадратичной полосой пропускания для заданной среднеквадратичной временной ширины». Обработка сигналов . 102 : 240–246. Bibcode : 2014SigPr.102..240S. doi : 10.1016/j.sigpro.2014.03.033.
50. Чакраборти, Дебеджо; Коввали, Нараян (2013). «Обобщенное нормальное окно для цифровой обработки сигналов». Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов 2013 г. стр. 6083–6087. doi :10.1109/ICASSP.2013.6638833. ISBN 978-1-4799-0356-6. S2CID  11779529.
51. Diethorn, EJ (1994). «Обобщенное экспоненциальное распределение времени и частоты». Труды IEEE по обработке сигналов . 42 (5): 1028–1037. Bibcode : 1994ITSP...42.1028D. doi : 10.1109/78.295214.
52. Блумфилд, П. (2000). Анализ Фурье временных рядов: Введение . Нью-Йорк: Wiley-Interscience.
53. Tu, Loring W. (2008). "Bump Functions and Partitions of Unity". Введение в многообразия . Universitext. Нью-Йорк: Springer. стр. 127–134. doi :10.1007/978-0-387-48101-2_13. ISBN 978-0-387-48098-5.
54. McKechan, DJA; Robinson, C.; Sathyaprakash, BS (21 апреля 2010 г.). «Сужающееся окно для шаблонов временной области и смоделированных сигналов при обнаружении гравитационных волн от сливающихся компактных двойных систем». Classical and Quantum Gravity . 27 (8): 084020. arXiv : 1003.2939 . Bibcode :2010CQGra..27h4020M. doi :10.1088/0264-9381/27/8/084020. S2CID  21488253.
55. "Slepian или DPSS Window". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 .
56. Smith, JO (2011). "Сравнение Kaiser и DPSS Windows". ccrma.stanford.edu . Получено 13 апреля 2016 г.
57. Kaiser, James F.; Kuo, Franklin F. (1966). Системный анализ с помощью цифрового компьютера . John Wiley and Sons. стр. 232–235. Это семейство оконных функций было «открыто» Кайзером в 1962 году после обсуждения с Б. Ф. Логаном из Bell Telephone Laboratories. ... Другим ценным свойством этого семейства ... является то, что они также близко приближают вытянутые сфероидальные волновые функции нулевого порядка.
58. Кайзер, Джеймс Ф. (ноябрь 1964 г.). «Семейство оконных функций, имеющих почти идеальные свойства». Неопубликованный меморандум .
59. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). "3.11" . Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. стр. 94. ISBN 0-13-914101-4.
60. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "4.3.1". Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. стр. 144. ISBN 0-13-605162-6.
61. Линь, Юань-Пей; Вайдьянатан, ПП (июнь 1998 г.). «Подход с использованием окна Кайзера для проектирования прототипов фильтров косинусно-модулированных фильтрбанков» (PDF) . IEEE Signal Processing Letters . 5 (6): 132–134. Bibcode :1998ISPL....5..132L. doi :10.1109/97.681427. S2CID  18159105 . Получено 16.03.2017 .
62. Смит, Дж. О. (2011). "Окно Кайзера". ccrma.stanford.edu . Получено 2019-03-20 . Иногда окно Кайзера параметризуется α , где  β  =  π α .
63. "Kaiser Window, R2020a". www.mathworks.com . Mathworks . Получено 9 апреля 2020 г. .
64. "Окно Кайзера". www.dsprelated.com . Получено 2020-04-08 . Следующее сравнение Matlab окон DPSS и Кайзера иллюстрирует интерпретацию α как номера бина края критически выбранного главного лепестка окна.
65. Кайзер, Джеймс Ф.; Шефер, Рональд В. (1980). «Об использовании окна I ₀ -sinh для анализа спектра». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 28 : 105–107. doi :10.1109/TASSP.1980.1163349.
66. "Окно Дольфа-Чебышева". ccrma.stanford.edu . Получено 2016-04-13 .
67. "Определение окна Дольфа-Чебышева". ccrma.stanford.edu . Получено 05.03.2019 .
68. Кабал, Питер (2009). "Временные окна для линейного предсказания речи" (PDF) . Технический отчет, кафедра электротехники и вычислительной техники, Университет Макгилла (2a): 31. Получено 2 февраля 2014 г.
69. Стрейт, Рой (1984). «Двухпараметрическое семейство весов для нерекурсивных цифровых фильтров и антенн». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 32 : 108–118. doi :10.1109/tassp.1984.1164275.
70. Deczky, Andrew (2001). "Unispherical Windows". ISCAS 2001. Международный симпозиум IEEE 2001 года по схемам и системам (Cat. No. 01CH37196) . Том 2. С. 85–88. doi :10.1109/iscas.2001.921012. ISBN 978-0-7803-6685-5. S2CID  38275201.
71. Берген, SWA; Антониу, А. (2004). «Проектирование ультрасферических оконных функций с заданными спектральными характеристиками». Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2004 (13): 2053–2065. Bibcode : 2004EJASP2004...63B. doi : 10.1155/S1110865704403114 .
72. Берген, Стюарт WA (2005). «Проектирование функции ультрасферического окна и ее применение» (PDF) .Диссертация, Университет Виктории.
73. Смит, Джулиус О. III (2011-04-23). ​​"Окно Пуассона". ccrma.stanford.edu . Получено 2020-02-12 .
74. Гаде, Свенд; Херлуфсен, Хенрик (1987). «Технический обзор № 3-1987: Анализ Windows для БПФ (Часть I)» (PDF) . Брюль и Кьер . Проверено 22 ноября 2011 г.
75. Берри, CPL; Гейр, JR (12 декабря 2012 г.). «Наблюдение за массивной черной дырой Галактики с помощью всплесков гравитационных волн». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 429 (1): 589–612. arXiv : 1210.2778 . Bibcode : 2013MNRAS.429..589B. doi : 10.1093/mnras/sts360 . S2CID  118944979.
76. "Окно Ганна-Пуассона". ccrma.stanford.edu . Получено 13 апреля 2016 г.
77. Уэсли Беккаро (2020-10-31), «Обобщенная адаптивная полиномиальная оконная функция», mathworks.com , получено 2020-11-02
78. "Обобщенная адаптивная полиномиальная оконная функция". www.mathworks.com . Получено 2020-12-12 .
79. Luo, Jiufel; Xie, Zhijiang; Li, Xinyi (2015-03-02). «Асимметричные окна и их применение в оценке частоты». Чунцинский университет . 9 (Алгоритмы и вычислительные технологии): 389–412. doi : 10.1260/1748-3018.9.4.389 . S2CID  124464194.

Дальнейшее чтение

• Харрис, Фредерик Дж. (сентябрь 1976 г.). «Окна, гармонический анализ и дискретное преобразование Фурье» (PDF) . apps.dtic.mil . Военно-морской подводный центр, Сан-Диего. Архивировано (PDF) из оригинала 8 апреля 2019 г. . Получено 08.04.2019 .
• Альбрехт, Ханс-Хельге (2012). Настроенные окна суммы косинусов с минимальным боковым лепестком и минимальным боковым лепестком. Версия 1.0 . Том. ISBN 978-3-86918-281-0). редактор: Physikalisch-Technische Bundesanstalt. Физико-технический Бундесанстальт. дои : 10.7795/110.20121022аа. ISBN 978-3-86918-281-0.
• Берген, SWA; Антониу, А. (2005). «Проектирование нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна». Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2005 (12): 1910–1922. Bibcode : 2005EJASP2005...44B. doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Прабху, КММ (2014). Оконные функции и их применение в обработке сигналов . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1583-3.
• Патент США 7065150, Пак, Ён-Сео, «Система и метод генерации модуляции с ортогональным частотным разделением каналов (RRC OFDM) с корнем из приподнятого косинуса», опубликован в 2003 г., выдан в 2006 г. 

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме «Функция окна» на Wikimedia Commons
• Справка LabView, Характеристики сглаживающих фильтров, http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
• Создание и свойства функций окна косинус-сумма, http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
• Онлайн-интерактивное моделирование БПФ, окон, разрешения и утечек | RITEC | Библиотека и инструменты