Гипотеза Ханны Нейман

В математическом предмете теории групп гипотеза Ханны Нейман — это утверждение о ранге пересечения двух конечно порождённых подгрупп свободной группы . Гипотеза была выдвинута Ханной Нейман в 1957 году . ^[1] В 2011 году усиленная версия гипотезы (см. ниже) была доказана независимо Джоэлом Фридманом ^[2] и Игорем Минеевым. ^[3]

В 2017 году третье доказательство усиленной гипотезы Ханны Нейман, основанное на гомологических аргументах, вдохновленных соображениями сторонников p-группы , было опубликовано Андреем Жайкиным-Запираином. ^[4]

История

Предмет гипотезы изначально был мотивирован теоремой Хаусона 1954 года ^[5], который доказал, что пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп свободной группы всегда конечно порождено, то есть имеет конечный ранг . В этой статье Хаусон доказал, что если H и K являются подгруппами свободной группы F ( X ) конечных рангов n ≥ 1 и m ≥ 1, то ранг s группы H ∩ K удовлетворяет:

с − 1 ≤ 2 mn − m − n .

В статье 1956 года ^[6] Ханна Нейман улучшила эту границу, показав, что:

с − 1 ≤ 2 mn − 2m − n .

В дополнении 1957 года ^[1] Ханна Нейманн еще больше улучшила эту границу, показав, что при указанных выше предположениях

с − 1 ≤ 2( м − 1)( н − 1).

Она также предположила, что множитель 2 в приведенном выше неравенстве не является необходимым и что всегда есть

с − 1 ≤ ( м − 1)( н − 1).

Это утверждение стало известно как гипотеза Ханны Нейман .

Официальное заявление

Пусть H , K ≤ F ( X ) — две нетривиальные конечно порождённые подгруппы свободной группы F ( X ) и пусть L = H ∩ K — пересечение H и K. Гипотеза утверждает, что в этом случае

ранг( L ) − 1 ≤ (ранг( H ) − 1)(ранг( K ) − 1).

Здесь для группы G величина rank( G ) является рангом G , то есть наименьшим размером порождающего множества для G . Известно, что каждая подгруппа свободной группы сама по себе свободна , а ранг свободной группы равен размеру любого свободного базиса этой свободной группы .

Усиленная гипотеза Ханны Нейман

Если H , K ≤ G — две подгруппы группы G и если a , b ∈ G определяют один и тот же двойной смежный класс HaK = HbK , то подгруппы H ∩ aKa ⁻¹ и H ∩ bKb ⁻¹ сопряжены в G и, таким образом, имеют одинаковый ранг . Известно, что если H , K ≤ F ( X ) — конечно порожденные подгруппы конечно порожденной свободной группы F ( X ), то существует не более конечного числа двойных смежных классов HaK в F ( X ) таких, что H ∩ aKa ⁻¹ ≠ {1}. Предположим, что существует хотя бы один такой двойной смежный класс, и пусть a ₁ ,..., an _— все различные представители таких двойных смежных классов. Усиленная гипотеза Ханны Нойман , сформулированная ее сыном Вальтером Нойманном (1990), ^[7] утверждает, что в этой ситуации

\sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).

Усиленная гипотеза Ханны Нейман была доказана в 2011 году Джоэлом Фридманом. ^[2] Вскоре после этого еще одно доказательство было дано Игорем Минеевым. ^[3]

Частичные результаты и другие обобщения

В 1971 году Бернс улучшил ^[8] оценку Ханны Нейман 1957 года и доказал, что при тех же предположениях, что и в статье Ханны Нейман, можно

с ≤ 2 mn − 3 m − 2 n + 4.

В статье 1990 года ^[7] Вальтер Нойман сформулировал усиленную гипотезу Ханны Нойман (см. утверждение выше).
Тардос (1992) ^[9] установил усиленную гипотезу Ханны Нейман для случая, когда по крайней мере одна из подгрупп H и K группы F ( X ) имеет ранг два. Как и большинство других подходов к гипотезе Ханны Нейман, Тардос использовал технику графов подгрупп Столлингса ^[10] для анализа подгрупп свободных групп и их пересечений.
Уоррен Дикс (1994) ^[11] установил эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нейман и теоретико-графового утверждения, которое он назвал гипотезой объединенного графа .
Аржанцева (2000) доказала ^[12] , что если H — конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в F ( X ), то в определенном статистическом смысле для генерической конечно порожденной подгруппы в имеем H ∩ gKg ⁻¹ = {1} для всех g из F . Таким образом, усиленная гипотеза Ханны Нейман верна для любого H и генерического K . $К$ $F(X)$
В 2001 году Дикс и Форманек сформулировали усиленную гипотезу Ханны Нейман для случая, когда по крайней мере одна из подгрупп H и K группы F ( X ) имеет ранг не более трех. ^[13]
Хан (2002) ^[14] и, независимо, Микин и Вайль (2002) ^[15] показали, что заключение усиленной гипотезы Ханны Нейман верно, если одна из подгрупп H , K из F ( X ) положительно порождена , то есть порождена конечным набором слов, которые включают в себя только элементы X , но не X ⁻¹ в качестве букв.
Иванов ^[16]^[17] и Дикс и Иванов ^[18] получили аналоги и обобщения результатов Ханны Нейман для пересечения подгрупп H и K свободного произведения нескольких групп.
Вайз (2005) утверждал ^[19] , что усиленная гипотеза Ханны Нейман подразумевает другую давнюю гипотезу теории групп, которая утверждает, что каждая группа с одним соотношением и кручением является когерентной (то есть каждая конечно порождённая подгруппа в такой группе конечно представлена ).

Смотрите также

Геометрическая теория групп

Ссылки

^ ab Ханна Нойман. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Приложение. Publicationes Mathematicae Debrecen , т. 5 (1957), стр. 128
^ ab Джоэл Фридман, «Пучки на графах, их гомологические инварианты и доказательство гипотезы Ханны Нейман: с приложением Уоррена Дикса» Mem. Amer. Math. Soc., 233 (2015), № 1100.
^ ab Игорь Миневьев, «Субмультипликативность и гипотеза Ханны Нейман». Ann. of Math., 175 (2012), № 1, 393-414.
^ Андрей Джайкин-Запираин, Аппроксимация подгруппами конечного индекса и гипотеза Ханны Нейман, Duke Mathematical Journal , 166 (2017), № 10, стр. 1955-1987
^ AG Howson. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Журнал Лондонского математического общества , т. 29 (1954), стр. 428–434
^ Ханна Нойманн. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Publicationes Mathematicae Debrecen, т. 4 (1956), 186–189.
^ ab Вальтер Нойман. О пересечениях конечно порожденных подгрупп свободных групп. Группы–Канберра 1989, стр. 161–170. Lecture Notes in Mathematics, т. 1456, Springer, Берлин, 1990; ISBN 3-540-53475-X
^ Роберт Г. Бернс. О пересечении конечно порождённых подгрупп свободной группы. Mathematische Zeitschrift , т. 119 (1971), стр. 121–130.
^ Габор Тардос. О пересечении подгрупп свободной группы. Inventiones Mathematicae , т. 108 (1992), № 1, стр. 29–36.
^ Джон Р. Столлингс. Топология конечных графов. Inventiones Mathematicae , т. 71 (1983), № 3, стр. 551–565.
^ Уоррен Дикс. Эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нейман и гипотезы объединенного графа. Inventiones Mathematicae , т. 117 (1994), № 3, стр. 373–389
^ ГН Аржанцева. Свойство подгрупп бесконечного индекса в свободной группе. Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 3205–3210.
^ Уоррен Дикс и Эдвард Форманек . Случай ранга три гипотезы Ханны Нейман. Журнал теории групп, т. 4 (2001), № 2, стр. 113–151
^ Билал Хан. Положительно порождённые подгруппы свободных групп и гипотеза Ханны Нейман. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000/Хобокен, Нью-Джерси, 2001), 155–170, Contemporary Mathematics, т. 296, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 2002; ISBN 0-8218-2822-3
^ J. Meakin и P. Weil. Подгруппы свободных групп: вклад в гипотезу Ханны Нейман. Труды конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, часть I (Хайфа, 2000). Geometriae Dedicata , т. 94 (2002), стр. 33–43.
^ С. В. Иванов. Пересекающиеся свободные подгруппы в свободных произведениях групп. International Journal of Algebra and Computation, т. 11 (2001), № 3, стр. 281–290
^ С. В. Иванов. О ранге Куроша пересечения подгрупп в свободных произведениях групп . Успехи математики , т. 218 (2008), № 2, стр. 465–484
^ Уоррен Дикс и С. В. Иванов. О пересечении свободных подгрупп в свободных произведениях групп. Математические труды Кембриджского философского общества, т. 144 (2008), № 3, стр. 511–534
^ Согласованность групп с одним соотношением и кручением и гипотеза Ханны Нейман. Бюллетень Лондонского математического общества , т. 37 (2005), № 5, стр. 697–705