Хаотичное смешивание

Пример хаотического смешивания

В теории хаоса и гидродинамике хаотическое смешивание — это процесс, при котором трассеры потока под действием потока жидкости превращаются в сложные фракталы . Поток характеризуется экспоненциальным ростом нитей жидкости. ^{[1] [2]} Даже очень простые потоки, такие как мерцающий вихрь или конечно разрешенные поля ветра, могут генерировать исключительно сложные узоры из изначально простых полей трассеров. ^[3]

Это явление до сих пор не до конца изучено и является предметом многочисленных современных исследований.

Контекст хаотической адвекции

Потоки жидкости

За смешивание жидкостей отвечают два основных механизма : диффузия и адвекция . В жидкостях молекулярная диффузия сама по себе едва ли эффективна для смешивания. Адвекция, то есть перенос вещества потоком, необходима для лучшего смешивания.

Поток жидкости подчиняется фундаментальным уравнениям динамики жидкости (таким как сохранение массы и сохранение импульса), называемым уравнениями Навье–Стокса . Эти уравнения записаны для эйлерова поля скорости , а не для лагранжева положения частиц жидкости. Затем лагранжевы траектории получаются путем интегрирования потока. Изучение влияния адвекции на смешивание жидкостей сводится к описанию того, как различные лагранжевы частицы жидкости исследуют область жидкости и отделяются друг от друга.

Условия хаотической адвекции

Поток жидкости можно рассматривать как динамическую систему, то есть набор обыкновенных дифференциальных уравнений , определяющих эволюцию лагранжевой траектории . Эти уравнения называются уравнениями адвекции :

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {v}}({\vec {x}},t)}$

где — компоненты поля скорости, которые, как предполагается, известны из решения уравнений, определяющих поток жидкости, таких как уравнения Навье-Стокса , а — физическое положение. Если динамическая система, определяющая траектории, хаотична , то интегрирование траектории чрезвычайно чувствительно к начальным условиям, а соседние точки экспоненциально расходятся со временем. Это явление называется хаотической адвекцией . ${\displaystyle {\vec {v}}=(u,v,w)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)}$

Динамические системы и теория хаоса утверждают, что для того, чтобы динамическая система была хаотичной, необходимо не менее 3 степеней свободы. Трехмерные потоки имеют три степени свободы, соответствующие трем координатам, и обычно приводят к хаотической адвекции, за исключением случаев, когда поток имеет симметрии, которые уменьшают число степеней свободы. В потоках с менее чем 3 степенями свободы лагранжевы траектории ограничены закрытыми трубками, и перемешивание, вызванное сдвигом, может происходить только внутри этих трубок.

Это имеет место для двумерных стационарных течений , в которых имеется только две степени свободы и . Для стационарных (не зависящих от времени) течений лагранжевы траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока потока, которые являются изолиниями функции тока . В двумерном пространстве линии тока представляют собой концентрические замкнутые кривые, пересекающиеся только в точках торможения . Таким образом, пятно окрашенной жидкости, подлежащее смешиванию, может исследовать только область, ограниченную самой внешней и внутренней линиями тока, на которой оно лежит в начальный момент времени. Что касается практических приложений, эта конфигурация не очень удовлетворительна. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Для двумерных нестационарных (зависящих от времени) потоков мгновенные замкнутые линии тока и лагранжевы траектории больше не совпадают. Следовательно, лагранжевы траектории исследуют больший объем объема, что приводит к лучшему перемешиванию. Хаотическая адвекция наблюдается для большинства двумерных нестационарных потоков. Известным примером является мерцающий вихревой поток, введенный Арефом ^[4], где два фиксированных стержнеобразных агитатора поочередно вращаются внутри жидкости. Периодическое переключение активного (вращающегося) агитатора вносит временную зависимость в поток, что приводит к хаотической адвекции. Поэтому лагранжевы траектории могут выходить из замкнутых линий тока и посещать большую часть области жидкости.

Сдвиг

Поток способствует перемешиванию, разделяя соседние частицы жидкости. Это разделение происходит из-за градиентов скорости , явления, называемого сдвигом . Пусть и будут двумя соседними частицами жидкости, разделенными в момент времени t . Когда частицы переносятся потоком , в момент времени приблизительное разделение между частицами можно найти с помощью разложения Тейлора  : ${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{2}}$ ${\displaystyle \delta {\vec {x}}={\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle t+\delta t}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {x}}+\delta {\vec {x}})\approx {\vec {v}}+\nabla {\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}}$

следовательно

${\displaystyle \delta x(t+\delta t)\approx \delta x(t)+\delta t(\delta x\cdot \nabla ){\vec {v}}}$

и

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\delta {\vec {x}}\approx \nabla {\vec {v}}\cdot \delta {\vec {x}}}$

Скорость роста разделения, таким образом, задается градиентом поля скорости в направлении разделения. Плоский сдвиговый поток является простым примером крупномасштабного стационарного потока, который деформирует элементы жидкости из-за равномерного сдвига.

Характеристика хаотической адвекции

показатели Ляпунова

Если поток хаотичен , то малые начальные ошибки, , в траектории будут расходиться экспоненциально. Нас интересует расчет устойчивости, т. е. насколько быстро расходятся близлежащие траектории? Матрица Якоби поля скорости, , дает информацию о локальной скорости расходимости близлежащих траекторий или локальной скорости растяжения лагранжева пространства . ${\displaystyle \delta {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \nabla {\vec {v}}}$

Определим матрицу H таким образом, что:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {H}}\equiv \nabla {\vec {v}}\cdot {\boldsymbol {H}},\qquad {\boldsymbol {H}}(t=0)={\boldsymbol {I}}}$

где I — единичная матрица. Отсюда следует, что:

${\displaystyle \delta {\vec {x}}(t)\approx {\boldsymbol {H}}\cdot \delta {\vec {x}}_{0}}$

Конечные показатели Ляпунова определяются как среднее по времени логарифмов длин главных компонент вектора H за время t:

${\displaystyle {\boldsymbol {H^{T}}}\cdot {\boldsymbol {H}}\cdot \delta {\vec {x}}_{0i}=h_{i}\cdot \delta {\vec {x}}_{0i}}$

${\displaystyle \lambda _{i}({\vec {x}},t)\equiv {\frac {1}{2t}}\ln {h_{i}({\vec {x}},t)}}$

где — i -й показатель Ляпунова системы, а — i - й главный компонент матрицы H. ${\displaystyle \lambda _{i}({\vec {x}},t)\geq \lambda _{i+1}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle \delta {\vec {x}}_{0i}}$

Если мы начнем с набора ортонормальных начальных векторов ошибок, то матрица H отобразит их в набор конечных ортогональных векторов ошибок длины . Действие системы отображает бесконечно малую сферу начальных точек в эллипсоид, большая ось которого задается как , а малая ось задается как , где N — число измерений. ^{[5] [6]} ${\displaystyle \{\delta {\vec {x}}_{0i}\}}$ ${\displaystyle \left\{{\sqrt {h_{i}({\vec {x}},t)}}\right\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {h_{1}({\vec {x}},t)}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {h_{N}({\vec {x}},t)}}}$

Это определение показателей Ляпунова является более элегантным и более подходящим для реальных динамических систем с непрерывным временем, чем более обычное определение, основанное на дискретных функциональных картах. Хаос определяется как существование по крайней мере одного положительного показателя Ляпунова.

В хаотической системе мы называем показателем Ляпунова асимптотическое значение наибольшего собственного значения H :

${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lambda _{1}({\vec {x}},t).}$

Если есть какая-либо существенная разница между показателями Ляпунова, то по мере того, как вектор ошибки эволюционирует вперед во времени, любое смещение в направлении наибольшего роста будет иметь тенденцию к увеличению. Таким образом:

${\displaystyle |\delta {\vec {x}}|\approx |\delta {\vec {x}}_{0}|e^{\lambda _{1}t}.}$

Показатель Ляпунова потока — уникальная величина, характеризующая асимптотическое разделение частиц жидкости в данном потоке. Он часто используется как мера эффективности смешивания, поскольку измеряет, насколько быстро траектории разделяются из-за хаотической адвекции. Показатель Ляпунова можно вычислить разными способами:

• следуя одной единственной траектории в течение очень длительного времени и вычисляя . ${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lambda _{1}({\vec {x}},t)}$
• или путем отслеживания ансамбля траекторий в течение заданного периода времени и вычисления среднего значения ансамбля: . ${\displaystyle <\lambda >_{\mathrm {trajectories} }}$

Эквивалентность двух методов обусловлена ​​эргодичностью хаотической системы.

Рост нити в зависимости от эволюции градиента трассера

Следующее точное уравнение можно вывести из уравнения адвекции-диффузии (см. ниже) с диффузионным членом ( D=0 ), равным нулю:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \nabla q}{\mathrm {d} t}}=-\nabla q\cdot \nabla {\vec {v}}}$

Параллельно с определением показателя Ляпунова определим матрицу следующим образом: ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}^{\prime }}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {H^{\prime }}}}{\mathrm {d} t}}=-\nabla {\boldsymbol {H^{\prime }}}\cdot \nabla {\vec {v}}\qquad {\boldsymbol {H^{\prime }}}(t=0)={\boldsymbol {I}}}$

Легко показать, что:

${\displaystyle {\boldsymbol {H^{\prime }}}={\boldsymbol {H}}^{-1}}$

Если мы определим как квадраты длин главных компонент матрицы градиента трассера, то: ${\displaystyle \lbrace h_{i}^{\prime }\rbrace }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}^{\prime }}$

${\displaystyle h_{i}^{\prime }=1/h_{i}}$

где 's расположены, как и прежде, от наибольшего к наименьшему. Следовательно, рост вектора ошибки вызовет соответствующее уменьшение градиента трассера и наоборот. Это можно понять очень просто и интуитивно, рассмотрев две близлежащие точки: поскольку разница в концентрации трассера будет фиксированной, единственным источником вариации градиентов между ними будет их разделение. ^{[5] [7]} ${\displaystyle \lbrace h_{i}^{\prime }\rbrace }$

Контурная адвекция

Эволюция адвективного контура

Контурная адвекция — еще один полезный метод для характеристики хаотического смешивания. В хаотических потоках адвективные контуры будут экспоненциально расти со временем. На рисунке выше показана покадровая эволюция контура, адвектированного в течение нескольких дней. На рисунке справа показана длина этого контура как функция времени.

Рост адвективного контура

Связь между экспоненциальным ростом контура и положительными показателями Ляпунова легко увидеть. Скорость роста контура определяется как:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=\int |\nabla {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}|}$

где - путь, а интеграл выполняется по длине контура. Темпы роста контура будут приближаться к среднему значению больших показателей Ляпунова: ^[5] ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {s}}}$

${\displaystyle L\approx L_{0}\exp({\bar {\lambda }}_{1}t)}$

Сечения Пуанкаре

При хаотической адвекции частица жидкости перемещается в пределах большой области и сталкивается с другими частицами, которые изначально находились далеко от нее. Тогда можно считать, что частица смешивается с частицами, перемещающимися в пределах той же области. Однако область, охватываемая траекторией, не всегда охватывает всю область жидкости. Сечения Пуанкаре используются для различения областей хорошего и плохого смешивания.

Отображение Пуанкаре определяется как преобразование

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {M}}\colon {\vec {x_{i}}}(t_{i})&\to {\vec {x}}_{i+1}(t_{i+1}=t_{i}+T,{\vec {x_{i}}}).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$преобразует точечную частицу в положение частицы после временного интервала T. В частности, для периодического во времени потока с периодом T применение карты несколько раз к частице дает последовательные положения частицы период за периодом. Сечение Пуанкаре строится, начиная с нескольких различных начальных условий и построения соответствующих итераций. Это сводится к построению траекторий, стробоскопированных каждый T.

В качестве примера, представленный здесь рисунок (левая часть) изображает сечение Пуанкаре, полученное при периодическом применении восьмеркоподобного движения к круговому перемешивающему стержню. Некоторые траектории охватывают большую область: это хаотическая или перемешивающая область, где происходит хорошее перемешивание. Однако есть также два «отверстия»: в этих областях траектории закрыты. Они называются эллиптическими островами, поскольку траектории внутри представляют собой эллиптические кривые. Эти области не смешиваются с остальной частью жидкости. Для перемешивающих приложений эллиптические острова следует избегать по двум причинам:

• Частицы жидкости не могут пересекать границы островов (за исключением медленной диффузии), что приводит к сегрегации.
• Перемешивание внутри этих областей неэффективно, поскольку траектории замкнуты и, следовательно, не хаотичны.

Чтобы избежать нехаотических островов, необходимо понимать физическое происхождение этих областей. Вообще говоря, изменение геометрии потока может изменить наличие или отсутствие островов. Например, в потоке в форме восьмерки для очень тонкого стержня влияние стержня не ощущается далеко от его местоположения, и в петлях восьмерки существуют почти круговые траектории. При использовании более крупного стержня (правая часть рисунка) частицы могут выходить из этих петель, и островов больше не существует, что приводит к лучшему перемешиванию.

С помощью сечения Пуанкаре качество смешивания потока можно проанализировать, различая хаотические и эллиптические области. Однако это грубая мера процесса смешивания, поскольку свойства растяжения не могут быть выведены из этого метода отображения. Тем не менее, этот метод очень полезен для изучения смешивания периодических потоков и может быть расширен до трехмерной области.

Фрактальная размерность

В результате непрерывного процесса растяжения и складывания, как в « карте пекаря », трассеры, переносимые в хаотических потоках, будут развиваться в сложные фракталы. Фрактальная размерность одного контура будет между 1 и 2. Экспоненциальный рост гарантирует, что контур, в пределе очень долгой интеграции по времени, станет фрактальным. Фракталы, состоящие из одной кривой, бесконечно длинны и при итеративном формировании имеют экспоненциальную скорость роста, как и переносимый контур. Снежинка Коха , например, растет со скоростью 4/3 за итерацию.

На рисунке ниже показана фрактальная размерность адвективного контура как функция времени, измеренная четырьмя различными способами. Хорошим методом измерения фрактальной размерности адвективного контура является показатель неопределенности .

Фрактальная размерность переносимого контура ^[5]

Эволюция полей концентрации трассеров при хаотической адвекции

При смешивании жидкостей часто требуется гомогенизировать вид, который можно охарактеризовать полем концентрации q . Часто вид можно рассматривать как пассивный трассер, который не изменяет поток. Вид может быть, например, красителем, который нужно смешать. Эволюция поля концентрации подчиняется уравнению адвекции-диффузии , также называемому уравнением конвекции-диффузии : ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\big .}{\frac {\partial q}{\partial t}}=\nabla \cdot D\nabla q-{\vec {v}}\cdot \nabla q.}$

По сравнению с простым уравнением диффузии, член, пропорциональный полю скорости, представляет собой эффект адвекции. ${\displaystyle {\vec {v}}}$

При смешивании пятна трассера адвективный член доминирует в эволюции поля концентрации в начале процесса смешивания. Хаотическая адвекция преобразует пятно в пучок тонких нитей. Ширина нити красителя уменьшается экспоненциально со временем, пока не будет достигнут равновесный масштаб, при котором эффект диффузии начинает быть значительным. Этот масштаб называется масштабом Бэтчелора . Он определяется как квадратный корень из отношения коэффициента диффузии к показателю Ляпунова

${\displaystyle w_{B}={\sqrt {\frac {D}{\lambda }}}}$

где — показатель Ляпунова, а D — коэффициент диффузии. Эта шкала измеряет баланс между растяжением и диффузией при эволюции поля концентрации: растяжение имеет тенденцию уменьшать ширину нити, в то время как диффузия имеет тенденцию увеличивать ее. Шкала Бэтчелора — это наименьший масштаб длины, который можно наблюдать в поле концентрации, поскольку диффузия быстро размывает любые более мелкие детали. ${\displaystyle \lambda }$

Когда большинство нитей красителя достигают шкалы Бэтчелора, диффузия начинает значительно уменьшать контраст концентрации между нитью и окружающей областью. Время, за которое нить достигает шкалы Бэтчелора, поэтому называется временем ее смешивания. Разрешение уравнения адвекции-диффузии показывает, что после времени смешивания нити уменьшение флуктуации концентрации из-за диффузии является экспоненциальным, что приводит к быстрой гомогенизации с окружающей жидкостью.

История хаотической адвекции

Рождение теории хаотической адвекции обычно относят к статье 1984 года ^[4] Хассана Арефа . В этой работе Ареф изучал перемешивание, вызванное двумя вихрями, попеременно включаемыми и выключаемыми внутри невязкой жидкости . Эта основополагающая работа стала возможной благодаря более ранним разработкам в области динамических систем и механики жидкости в предыдущие десятилетия. Владимир Арнольд ^[8] и Мишель Хенон ^[9] уже заметили, что траектории, переносимые трехмерными потоками, сохраняющими площадь, могут быть хаотическими. Однако практический интерес хаотической адвекции для приложений перемешивания жидкостей оставался незамеченным до работы Арефа в 80-х годах. С тех пор весь инструментарий динамических систем и теории хаоса использовался для характеристики перемешивания жидкостей с помощью хаотической адвекции. ^[1] В недавних работах, например, использовались топологические методы для характеристики растяжения частиц жидкости. ^[10] Другие недавние направления исследований касаются изучения хаотической адвекции в сложных потоках, таких как гранулярные потоки. ^[11]

Ссылки

1. JM Ottino (1989). Кинематика смешивания: растяжение, хаос и транспорт . Cambridge University Press .
2. Ареф, Хассан; Блейк, Джон Р.; Будишич, Марко; Кардосо, Сильвана СС; Картрайт, Джулиан Х. Э .; Клеркс, Герман Дж. Х.; Эль Омари, Камаль; Феудель, Ульрике; Голестанян, Рамин (14.06.2017). «Границы хаотической адвекции». Обзоры современной физики . 89 (2): 025007. arXiv : 1403.2953 . Bibcode : 2017RvMP...89b5007A. doi : 10.1103/RevModPhys.89.025007. S2CID  117496075.
3. J. Methven и B. Hoskins (1999). «Адвекция трассеров с высоким разрешением ветрами с низким разрешением». Журнал атмосферных наук . 56 (18): 3262–3285. Bibcode :1999JAtS...56.3262M. doi : 10.1175/1520-0469(1999)056<3262:taohrt>2.0.co;2 .
4. Ареф, Х. (июнь 1984 г.). «Перемешивание хаотической адвекцией». Журнал механики жидкостей . 143 : 1–21. Bibcode :1984JFM...143....1A. doi :10.1017/S0022112084001233. S2CID  122846084.
5. Питер Миллс (2004). По следу пара: исследование хаотического смешивания водяного пара в верхней тропосфере (PDF) (диссертация). Университет Бремена. Архивировано из оригинала (PDF) 21-07-2011 . Получено 16-12-2010 .
6. Эдвард Отт (1993). Хаос в динамических системах . Cambridge University Press.
7. Арженду К. Паттанаяк (2001). «Характеристика метастабильного баланса между хаосом и диффузией». Physica D. 148 ( 1–2): 1–19. Bibcode : 2001PhyD..148....1P. doi : 10.1016/S0167-2789(00)00186-X.
8. Арнольд, Владимир Игоревич (1965-07-05). «Sur la топология стационарных потоков идеальных жидкостей». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 261 . Французская академия наук : 17–20. дои : 10.1007/978-3-642-31031-7_3. ISBN 978-3-642-31030-0. ISSN  0001-4036.
9. Энон, Мишель (31 января 1966). «Sur la топология линий тока в частном случае». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . А (на французском языке). 262 . Французская академия наук : 312–4. ISSN  0997-4482.
10. J.-L. Thiffeault и MD Finn (2006). «Топология, косы и смешивание в жидкостях». Philosophical Transactions of the Royal Society A. 364 ( 1849): 3251–3266. arXiv : nlin/0603003 . Bibcode : 2006RSPTA.364.3251T. doi : 10.1098/rsta.2006.1899. PMID  17090458. S2CID  10401399.
11. JM Ottino и DV Khakhar (2000). «Смешивание и разделение зернистых материалов». Annual Review of Fluid Mechanics . 32 : 55–91. Bibcode :2000AnRFM..32...55O. doi :10.1146/annurev.fluid.32.1.55. S2CID  5862876.

Внешние ссылки

• ctraj: Инструменты для изучения хаотической адвекции.