Модель ГЭС

Маломасштабная демонстрация модели ГЭС с квадратной решеткой (кликните по картинке для просмотра анимированной версии).

Модель Харди–Помо–Пацциса (HPP) является фундаментальным решеточным газовым автоматом для моделирования газов и жидкостей. Она была предшественником методов решеточного Больцмана . Из решеточных газовых автоматов можно вывести макроскопические уравнения Навье-Стокса . ^[1] Интерес к методам решеточных газовых автоматов выровнялся в начале 1990-х годов из-за растущего интереса к методам решеточного Больцмана. ^[2]

Впервые она была представлена ​​в работах, опубликованных в 1973 и 1976 годах Жаном Харди, Ивом Помо и Оливье де Пацци, ^[3] чьи инициалы дали название модели. Модель может быть использована как простая модель для движения как газов, так и жидкости. ^[4]

Модель

Наглядные примеры четырех правил, управляющих моделью ГЭС.

В этой модели решетка принимает форму двумерной квадратной сетки, в которой частицы способны перемещаться в любую из четырех соседних точек сетки, имеющих общее ребро, а частицы не могут перемещаться по диагонали. Это означает, что каждая точка сетки может иметь только одно из шестнадцати возможных взаимодействий.

• Частицы существуют только в узлах сетки, а не на краях или поверхности решетки.
• Каждая частица имеет соответствующее направление (от одной точки сетки к другой, непосредственно соседней точке сетки).
• Каждая ячейка решётки может содержать максимум одну частицу для каждого направления, т.е. содержать в общей сложности от нуля до четырёх частиц.

Реализация модели HPP. Использовалась сетка 300x200 пикселей с геометрией, похожей на тор, то есть частицы, покидающие сетку слева, снова входят справа, частицы, покидающие сверху, входят снизу и т. д. Плотность частиц отображается белым пикселем, который является самым плотным с 4 частицами, и черным пикселем, который является наименее плотным с 0 частицами. Моделирование начинается с квадрата высокого давления 100x100 в середине.

Модель также регулируется следующими правилами:

1. Отдельная частица движется в фиксированном направлении до тех пор, пока не столкнется с ней.
2. Две частицы, столкнувшиеся лоб в лоб, отклоняются перпендикулярно.
3. Две частицы сталкиваются не лоб в лоб, а просто проходят друг сквозь друга и продолжают движение в одном направлении.
4. При столкновении частицы с краями решетки она может также отскочить.

Процесс обновления моделей ГЭС состоит из двух этапов.

Шаг столкновения

На этом этапе проверяются и применяются вышеуказанные правила 2., 3. и 4., если произошли какие-либо столкновения. Это приводит к тому, что частицы, столкнувшиеся лоб в лоб, меняют направление, столкновения через проход остаются неизменными, а не столкнувшиеся частицы просто остаются прежними.

Транспортная ступенька

На втором этапе каждая частица перемещается на один шаг решетки в направлении, в котором она движется в данный момент, и которое могло быть изменено в результате описанного выше этапа столкновения.

Формальное определение

Модель работает на бесконечной двумерной квадратной решетке, где четыре единичных вектора связаны со следующими числами: . ^[5] ${\displaystyle 1\mapsto \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right),2\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right),3\mapsto \left({\begin{array}{c}-1\\0\end{array}}\right),4\mapsto \left({\begin{array}{c}0\\-1\end{array}}\right)}$

Пусть — допустимая конфигурация. Функция проверяет существование частицы с определенной скоростью, а делает обратное: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{X}}$

${\displaystyle \sigma _{X}(p,q,i)={\begin{cases}1{\text{ if the site }}(p,q){\text{ is occupied by a particle of }}X{\text{ of velocity }}i,\\0{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$^[5]

${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{X}(p,q,i)=1-\sigma _{X}(p,q,i)}$^[5]

Последующую конфигурацию можно рассчитать, используя формулы из оригинальной статьи ^[5] : ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sigma _{T(X)}(p,q,1)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,2)&=&\sigma _{X}(p,q-1,2)+\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,3)&=&\sigma _{X}(p+1,q,3)-\Psi _{X}(p,q)\\\sigma _{T(X)}(p,q,4)&=&\sigma _{X}(p,q+1,4)+\Psi _{X}(p,q)\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Psi _{X}(p,q)&=&\psi _{X}^{1}(p,q)-\psi _{X}^{2}(p,q)\\\psi _{X}^{1}(p,q)&=&\sigma _{X}(p-1,q,1)\sigma _{X}(p+1,q,3){\bar {\sigma }}_{X}(p,q-1,2){\bar {\sigma }}_{X}(p,q+1,4)\\\psi _{X}^{2}(p,q)&=&{\bar {\sigma }}_{X}(p-1,q,1){\bar {\sigma }}_{X}(p+1,q,3)\sigma _{X}(p,q-1,2)\sigma _{X}(p,q+1,4)\end{array}}}$$

Недостатки

Модель имеет серьезные недостатки, поскольку импульс всегда сохраняется как в горизонтальной, так и в вертикальной полосе. Никакая энергия никогда не удаляется из модели, ни столкновениями, ни движением, поэтому она будет продолжаться бесконечно.

Модель HPP не обладала вращательной инвариантностью , что делало ее высокоанизотропной . Это означает, например, что вихри, создаваемые моделью HPP, имеют квадратную форму. ^[6]

Примечания

1. Суччи, раздел 2.3 описывает процесс
2. Суччи, раздел 2.6
3. Ротман, Дэниел Х.; Залески, Стипейн, ред. (1997), "Простая модель механики жидкости", Клеточные автоматы на решеточном газе: Простые модели сложной гидродинамики , Коллекция Алеа-Сакле: Монографии и тексты по статистической физике, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 1–11, doi : 10.1017/CBO9780511524714.002, ISBN 978-0-521-60760-5, получено 2022-08-24
4. Гершенфельд, стр. 103
5. Харди, Дж.; Помо, И.; де Паццис, О. (1973-07-30). «Временная эволюция двумерной классической решеточной системы». Physical Review Letters . 31 (5): 276–279. doi :10.1103/PhysRevLett.31.276.
6. Суччи, сноска на стр. 22

Ссылки

• Sauro Succi (2001). Уравнение решеточного Больцмана для динамики жидкости и не только . Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9.(Глава 2 о клеточных автоматах на основе решетчатого газа)
• Нил Гершенфельд (1998). Природа математического моделирования . Cambridge University Press. ISBN 978-0521570954.