Теорема Хартмана–Гробмана

В математике , при изучении динамических систем , теорема Хартмана–Гробмана или теорема линеаризации — это теорема о локальном поведении динамических систем в окрестности гиперболической точки равновесия . Она утверждает, что линеаризация — естественное упрощение системы — эффективна для прогнозирования качественных закономерностей поведения. Теорема обязана своим названием Филиппу Хартману и Дэвиду М. Гробману.

Теорема утверждает, что поведение динамической системы в области вблизи гиперболической точки равновесия качественно совпадает с поведением ее линеаризации вблизи этой точки равновесия, где гиперболичность означает, что ни одно собственное значение линеаризации не имеет действительной части, равной нулю. Поэтому при работе с такими динамическими системами можно использовать более простую линеаризацию системы для анализа ее поведения вблизи равновесий. ^[1]

Основная теорема

Рассмотрим систему, развивающуюся во времени с состоянием , которое удовлетворяет дифференциальному уравнению для некоторого гладкого отображения . Теперь предположим, что отображение имеет гиперболическое состояние равновесия : то есть, и матрица Якоби в состоянии не имеет собственного значения с действительной частью, равной нулю. Тогда существует окрестность равновесия и гомеоморфизм , такой что и такой, что в окрестности поток топологически сопряжен непрерывным отображением потоку его линеаризации . ^{[2] [3] [4] [5] Подобный результат справедлив для} итерированных отображений и для неподвижных точек потоков или отображений на многообразиях. ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle du/dt=f(u)}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u^{*}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(u^{*})=0}$ ${\displaystyle A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u^{*}}$ ${\displaystyle h\colon N\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle h(u^{*})=0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle du/dt=f(u)}$ ${\displaystyle U=h(u)}$ ${\displaystyle dU/dt=AU}$

Простое топологическое сопряжение не дает геометрической информации о поведении вблизи равновесия. Действительно, окрестности любых двух равновесий топологически сопряжены, пока совпадают размеры сжимающихся направлений (отрицательные собственные значения) и совпадают размеры расширяющихся направлений (положительные собственные значения). ^[6] Но топологическое сопряжение в этом контексте дает полную геометрическую картину. По сути, нелинейный фазовый портрет вблизи равновесия является миниатюрой фазового портрета линеаризованной системы. В этом смысл следующих результатов регулярности, и он проиллюстрирован седловым равновесием в примере ниже.

Даже для бесконечно дифференцируемых отображений гомеоморфизм не обязательно должен быть гладким или даже локально липшицевым. Однако он оказывается непрерывным по Гёльдеру с показателем, произвольно близким к 1. ^{[7] [8] [9] [10]} Более того, на поверхности, т. е. в размерности 2, линеаризующий гомеоморфизм и его обратный непрерывно дифференцируемы (при этом, как в примере ниже, дифференциал в равновесии является тождеством) ^[4], но не обязательно должны быть . ^[11] И в любой размерности, если имеет непрерывную по Гёльдеру производную, то линеаризующий гомеоморфизм дифференцируем в равновесии, а его дифференциал в равновесии является тождеством. ^{[12] [13]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f}$

Теорема Хартмана–Гробмана была распространена на бесконечномерные банаховы пространства, неавтономные системы (потенциально стохастические) и для учета топологических различий, которые возникают, когда имеются собственные значения с нулевой или близкой к нулевой действительной частью. ^{[10] [8] [14] [15] [16] [17]} ${\displaystyle du/dt=f(u,t)}$

Пример

Необходимая для этого примера алгебра легко выполняется с помощью веб-сервиса, который вычисляет нормальные координатные преобразования систем дифференциальных уравнений, автономных или неавтономных, детерминированных или стохастических . ^[18]

Рассмотрим двумерную систему в переменных , развивающуюся в соответствии с парой связанных дифференциальных уравнений ${\displaystyle u=(y,z)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-3y+yz\quad {\text{and}}\quad {\frac {dz}{dt}}=z+y^{2}.}$

Прямым вычислением можно увидеть, что единственное равновесие этой системы лежит в начале координат, то есть . Координатное преобразование, где , задается формулой ${\displaystyle u^{*}=0}$ ${\displaystyle u=h^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U=(Y,Z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&\approx Y+YZ+{\dfrac {1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\approx Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{aligned}}}$

является гладким отображением между исходными и новыми координатами, по крайней мере вблизи равновесия в начале координат. В новых координатах динамическая система преобразуется в свою линеаризацию ${\displaystyle u=(y,z)}$ ${\displaystyle U=(Y,Z)}$

${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}=-3Y\quad {\text{and}}\quad {\frac {dZ}{dt}}=Z.}$

То есть искаженная версия линеаризации дает исходную динамику в некоторой конечной окрестности.

Смотрите также

• Линейное приближение
• Теорема об устойчивом многообразии

Ссылки

1. Эрроусмит, Д.К.; Плейс, К.М. (1992). «Теорема линеаризации». Динамические системы: дифференциальные уравнения, отображения и хаотическое поведение . Лондон: Chapman & Hall. стр. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7.
2. Гробман, DM (1959). «О гомеоморфизмах систем дифференциальных уравнений». Доклады Академии наук СССР . 128 : 880–881.
3. Хартман, Филип (август 1960 г.). «Лемма в теории структурной устойчивости дифференциальных уравнений». Proc. AMS . 11 (4): 610–620. doi : 10.2307/2034720 . JSTOR  2034720.
4. Hartman, Philip (1960). «О локальных гомеоморфизмах евклидовых пространств». Bol. Soc. Math. Mexicana . 5 : 220–241.
5. Chicone, C. (2006). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями . Тексты по прикладной математике. Т. 34 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.
6. Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1995). Введение в современную теорию динамических систем. Cambridge University Press, Кембридж. стр. 262. ISBN 0-521-34187-6.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Белицкий, Генрих; Райскин, Виктория (2011). "О теореме Гробмана–Хартмана в классе α-Гёльдера для банаховых пространств" (PDF) . Рабочий документ .
8. Баррейра, Луис; Вальс, Клаудия (2007). «Линеаризация Гёльдера Гробмана-Хартмана». Дискретные и непрерывные динамические системы. Серия A. 18 ( 1): 187–197. doi :10.3934/dcds.2007.18.187.
9. Чжан, Вэньмэн; Чжан, Вэйнянь (2016). «α-Гёльдеровская линеаризация гиперболических диффеоморфизмов с резонансом». Эргодическая теория и динамические системы . 36 (1): 310–334. doi :10.1017/etds.2014.51.
10. Newhouse, Sheldon E. (2017). «О дифференциальной теореме линеаризации Филипа Хартмана». Contemp. Math . 692 : 209–262. doi :10.1090/conm/692.
11. Стернберг, Шломо (1957). «Локальные сокращения и теорема Пуанкаре». American Journal of Mathematics . 79 : 809–824. doi : 10.2307/2372437.
12. Гайсинский, Миша; Хассельблатт, Борис; Райскин, Виктория (2003). «Дифференцируемость линеаризации Хартмана-Гробмана». Дискретные и непрерывные динамические системы. Серия A. 9 ( 4): 979–984. doi :10.3934/dcds.2003.9.979.
13. Лу, Кенинг; Чжан, Вэйнянь; Чжан, Вэньмэн (2017). «Дифференцируемость сопряженности в теореме Хартмана-Гробмана». Труды Американского математического общества . 369 (7): 4995–5030. doi : 10.1090/tran/6810 .
14. Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Aulbach, B.; Colonius, F. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам . Сингапур: World Scientific. стр. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.
15. Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах". В Lakshmikantham, V.; Martynyuk, AA (ред.). Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century . Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229 . ISBN  978-0-415-26962-9.
16. Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
17. Робертс, А. Дж. (2008). «Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые моды в стохастических динамических системах». Physica A. 387 ( 1): 12–38. arXiv : math/0701623 . Bibcode : 2008PhyA..387...12R. doi : 10.1016/j.physa.2007.08.023. S2CID  13521020.
18. Робертс, А. Дж. (2007). «Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений». Архивировано из оригинала 9 ноября 2013 г.

Дальнейшее чтение

• Ирвин, Майкл С. (2001). «Линеаризация». Гладкие динамические системы . World Scientific. стр. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (третье изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
• Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: устойчивость, символическая динамика и хаос . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.

Внешние ссылки

• Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino, P. (февраль 2007 г.). «Теоремы Хартмана–Гробмана вдоль гиперболических стационарных траекторий». Дискретные и непрерывные динамические системы . 17 (2): 281–292. doi : 10.3934/dcds.2007.17.281 .
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• «Самая захватывающая теорема в прикладной математике». Scientific American .