Инвариантная сигма-алгебра

Сигма-алгебра, используемая в теории вероятностей и эргодической теории

В математике , особенно в теории вероятностей и эргодической теории , инвариантная сигма-алгебра — это сигма-алгебра, образованная множествами, которые инвариантны относительно группового действия или динамической системы . Ее можно интерпретировать как «безразличную» к динамике.

Инвариантная сигма-алгебра появляется при изучении эргодических систем , а также в теоремах теории вероятностей, таких как теорема де Финетти и закон Хьюитта-Сэвиджа .

Определение

Строго инвариантные множества

Пусть будет измеримым пространством , и пусть будет измеримой функцией . Измеримое подмножество называется инвариантным тогда и только тогда, когда . ^{[1] [2] [3]} Эквивалентно, если для каждого , то имеем, что тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(S)=S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle T(x)\in S}$

В более общем случае пусть будет группой или моноидом , пусть будет действием моноида , и обозначим действие на через . Подмножество является -инвариантным, если для каждого , . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha :M\times X\to X}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{m}:X\to X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle \alpha _{m}^{-1}(S)=S}$

Почти наверняка инвариантные множества

Пусть будет измеримым пространством , и пусть будет измеримой функцией . Измеримое подмножество (событие) называется почти наверное инвариантным тогда и только тогда, когда его индикаторная функция почти наверное равна индикаторной функции . ^{[4] [5] [3]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 1_{S}}$ ${\displaystyle 1_{T^{-1}(S)}}$

Аналогично, если задано сохраняющее меру марковское ядро , мы называем событие почти наверное инвариантным тогда и только тогда, когда для почти всех . ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}},p)\to (X,{\mathcal {F}},p)}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle k(S\mid x)=1_{S}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$

Что касается случая строго инвариантных множеств, то определение можно распространить на произвольное групповое или моноидное действие.

Во многих случаях почти наверняка инвариантные множества отличаются от инвариантных множеств только нулевым множеством (см. ниже).

Структура сигма-алгебры

Как строго инвариантные множества, так и почти наверное инвариантные множества замкнуты относительно взятия счетных объединений и дополнений, и, следовательно, они образуют сигма-алгебры . Эти сигма-алгебры обычно называют либо инвариантной сигма-алгеброй , либо сигма-алгеброй инвариантных событий , как в строгом случае, так и в почти наверное случае, в зависимости от автора. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Для целей статьи обозначим через сигма-алгебру строго инвариантных множеств, а через сигма-алгебру почти наверное инвариантных множеств. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {I}}}}$

Характеристики

• При наличии функции сохранения меры множество почти наверняка инвариантно тогда и только тогда, когда существует строго инвариантное множество такое, что . ^{[6] [5]} ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {A}},p)\to (X,{\mathcal {A}},p)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A'\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle p(A\triangle A')=0}$

• При наличии измеримых функций и имеем, что является инвариантом , то есть , тогда и только тогда, когда оно является -измеримым. ^{[2] [3] [5]} То же самое верно при замене на любое измеримое пространство , где сигма-алгебра разделяет точки. ${\displaystyle T:(X,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {A}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ T=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}$

• Инвариантная мера (по определению) эргодична тогда и только тогда, когда для каждого инвариантного подмножества , или . ^{[1] [3] [5] [7] [8]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle p(A)=0}$ ${\displaystyle p(A)=1}$

Примеры

Сменная сигма-алгебра

Дано измеримое пространство , обозначим через счетную декартову степень , снабженную произведением сигма-алгебры . Мы можем рассматривать как пространство бесконечных последовательностей элементов , ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{\mathbb {N} }=\{(x_{0},x_{1},x_{2},\dots ),x_{i}\in X\}.}$

Рассмотрим теперь группу конечных перестановок , т.е. биекций, таких что только для конечного числа . Каждая конечная перестановка действует измеримо на , переставляя компоненты, и поэтому мы имеем действие счетной группы на . ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma (n)\neq n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

Инвариантное событие для этой сигма-алгебры часто называют заменяемым событием или симметричным событием , а сигма-алгебру инвариантных событий часто называют заменяемой сигма-алгеброй . Случайная величина на является заменяемой (т.е. перестановочно-инвариантной) тогда и только тогда, когда она измерима для заменяемой сигма-алгебры. ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

Заменяемая сигма-алгебра играет роль в законе нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа , который можно эквивалентно сформулировать, сказав, что для каждой меры вероятности на мера произведения на присваивает каждой заменяемой вероятности события либо ноль, либо единицу. ^[9] Эквивалентно, для меры каждая заменяемая случайная величина на почти наверняка постоянна. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$

Он также играет роль в теореме де Финетти . ^[9]

Сдвиг-инвариантная сигма-алгебра

Как и в примере выше, для измеримого пространства рассмотрим счетно бесконечное декартово произведение . Рассмотрим теперь отображение сдвига, заданное отображением в . Инвариантное событие для этой сигма-алгебры называется событием, инвариантным относительно сдвига , а полученная сигма-алгебра иногда называется инвариантной относительно сдвига сигма-алгеброй . ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$ ${\displaystyle T:X^{\mathbb {N} }\to X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$

Эта сигма-алгебра связана с алгеброй хвостовых событий , которая задается следующим пересечением:

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(\bigotimes _{m\geq n}{\mathcal {A}}_{m}\right),}$

где - сигма-алгебра, индуцированная проекцией на -й компонент . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{m}\subseteq {\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi _{m}:(X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })\to (X,{\mathcal {A}})}$

Каждое событие, инвариантное к сдвигу, является хвостовым событием, но обратное неверно.

Смотрите также

• Инвариантный набор
• Теорема Де Финетти
• Закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа
• Случайные величины, допускающие обмен
• Инвариантная мера
• Эргодическая система

Цитаты

1. Биллингсли (1995), стр. 313–314
2. Douc и др. (2018), стр. 99
3. Klenke (2020), с. 494-495
4. Виана и Оливейра (2016), с. 94
5. Дарретт (2010), стр. 330
6. Виана и Оливейра (2016), с. 3
7. Дук и др. (2018), стр. 102
8. Виана и Оливейра (2016), с. 95
9. Hewitt & Savage (1955)

Ссылки

• Виана, Марсело; Оливейра, Крерли (2016). Основы эргодической теории. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-12696-1.

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.

• Дарретт, Рик (2010). Вероятность: теория и примеры. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76539-8.

• Дук, Рэндал; Мулен, Эрик; Приоре, Пьер; Сулье, Филипп (2018). Марковские цепи. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-97704-1. ISBN 978-3-319-97703-4.

• Кленке, Ахим (2020). Теория вероятностей: полный курс. Universitext. Springer. doi :10.1007/978-1-4471-5361-0. ISBN 978-3-030-56401-8.

• Хьюитт, Э.; Сэвидж , Л. Дж. (1955). «Симметричные меры на декартовых произведениях». Trans. Amer. Math. Soc . 80 (2): 470–501. doi : 10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8 .