Хиральная модель

Модель мезонов в безмассовом кварковом пределе

Процесс рассеяния солитона для двух солитонов в интегрируемой хиральной модели. График показывает плотность энергии системы, а максимумы представляют солитоны. ^{[1] [2]}

В ядерной физике хиральная модель , введенная Фезой Гюрси в 1960 году, является феноменологической моделью, описывающей эффективные взаимодействия мезонов в хиральном пределе (где массы кварков стремятся к нулю), но без обязательного упоминания кварков вообще. Это нелинейная сигма-модель с главным однородным пространством группы Ли в качестве ее целевого многообразия . Когда модель была первоначально введена, эта группа Ли была SU( N ) , где N — число ароматов кварков . Риманова метрика целевого многообразия задается положительной константой, умноженной на форму Киллинга, действующую на форму Маурера–Картана SU( N ). ${\displaystyle G}$

Внутренняя глобальная симметрия этой модели — это , левая и правая копии, соответственно; где левая копия действует как левое действие на целевое пространство, а правая копия действует как правое действие . Феноменологически левая копия представляет вращения ароматов среди левых кварков, тогда как правая копия описывает вращения среди правых кварков, в то время как они, L и R, полностью независимы друг от друга. Аксиальные части этих симметрий спонтанно нарушаются , так что соответствующие скалярные поля являются требуемыми бозонами Намбу-Голдстоуна . ${\displaystyle G_{L}\times G_{R}}$

Модель была позднее изучена в двумерном случае как интегрируемая система , в частности, интегрируемая теория поля. Ее интегрируемость была показана Фаддеевым и Решетихиным в 1982 году с помощью квантового метода обратной задачи рассеяния . Двумерная главная киральная модель демонстрирует признаки интегрируемости, такие как формулировка пары Лакса /нулевой кривизны, бесконечное число симметрий и базовая квантовая групповая симметрия (в данном случае симметрия Янга ).

Эта модель допускает топологические солитоны, называемые скирмионами .

Отклонения от точной киральной симметрии рассматриваются в теории киральных возмущений .

Математическая формулировка

На многообразии (рассматриваемом как пространство-время ) M и выборе компактной группы Ли G содержимое поля является функцией . Это определяет связанное поле , -значное векторное поле (на самом деле, ковекторное поле), которое является формой Маурера–Картана . Главная киральная модель определяется плотностью лагранжиана , где — безразмерная связь. На дифференциально-геометрическом языке поле является сечением главного расслоения со слоями , изоморфными главному однородному пространству для M (следовательно, это определяет главную киральную модель). ${\displaystyle U:M\rightarrow G}$ ${\displaystyle j_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (\partial _{\mu }U^{-1}\partial ^{\mu }U)=-{\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (j_{\mu }j^{\mu }),}$$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$

Феноменология

Схема оригинальной модели с двумя вкусами

Киральная модель Гюрси (1960; см. также Гелл-Манна и Леви) в настоящее время рассматривается как эффективная теория КХД с двумя легкими кварками, u и d . Лагранжиан КХД приблизительно инвариантен относительно независимых глобальных вращений ароматов левых и правых кварковых полей,

${\displaystyle {\begin{cases}q_{L}\mapsto q_{L}'=Lq_{L}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{L}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{L}\\q_{R}\mapsto q_{R}'=Rq_{R}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{R}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{R}\end{cases}}}$

где τ обозначают матрицы Паули в пространстве ароматов, а θ _L , θ _R — соответствующие углы поворота.

Соответствующая группа симметрии — это хиральная группа, контролируемая шестью сохраняющимися токами. ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$

${\displaystyle L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{L}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{L},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{R}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{R},}$

которые можно с одинаковым успехом выразить через векторные и аксиально-векторные токи

${\displaystyle V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}.}$

Соответствующие сохраняющиеся заряды порождают алгебру хиральной группы,

${\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{L}^{i},Q_{R}^{j}\right]=0,}$

с I=L,R , или, что эквивалентно,

${\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.}$

Применение этих коммутационных соотношений к адронным реакциям доминировало в современных алгебраических вычислениях в начале 1970-х годов.

На уровне адронов, псевдоскалярных мезонов, области действия киральной модели, киральная группа спонтанно разрушается до , вакуумом КХД . То есть, она реализуется нелинейно , в режиме Намбу–Голдстоуна : Q _V уничтожают вакуум, но Q _A — нет! Это наглядно визуализируется с помощью геометрического аргумента, основанного на том факте, что алгебра Ли изоморфна алгебре SO(4). Неразрывная подгруппа, реализуемая в линейном режиме Вигнера–Вейля, есть , которая локально изоморфна SU(2) (V: изоспин). ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)}$

Для построения нелинейной реализации SO(4) используется представление, описывающее четырехмерные вращения вектора

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},}$

для бесконечно малого вращения, параметризованного шестью углами

${\displaystyle \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,}$

дается

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}}$

где

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.}$

Четыре действительные величины ( π , σ ) определяют наименьший нетривиальный хиральный мультиплет и представляют собой полевое содержимое линейной сигма-модели.

Чтобы перейти от линейной реализации SO(4) выше к нелинейной, мы замечаем, что на самом деле только три из четырех компонентов ( π , σ ) независимы относительно четырехмерных вращений. Эти три независимых компонента соответствуют координатам на гиперсфере S ³ , где π и σ подчиняются ограничению

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2},}$

с постоянной размерности массы F a ( распад пиона ).

Использование этого для исключения σ дает следующие свойства преобразования π при SO(4):

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.}$

Нелинейные члены (сдвиг π ) в правой части второго уравнения лежат в основе нелинейной реализации SO(4). Хиральная группа реализуется нелинейно на триплете пионов, которые, однако, все еще преобразуются линейно при изоспиновых вращениях, параметризованных через углы Напротив, представляют собой нелинейные «сдвиги» (спонтанное нарушение). ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.}$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\}}$

С помощью спинорной карты эти четырехмерные вращения ( π , σ ) также можно удобно записать с использованием матричной записи 2×2, введя унитарную матрицу

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),}$

и требуя, чтобы свойства преобразования U при хиральных вращениях были

${\displaystyle U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger },}$

где ${\displaystyle \theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.}$

Далее следует переход к нелинейной реализации,

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {F^{2}}{4}}\langle \partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger }\rangle ,}$

где обозначает след в пространстве ароматов. Это нелинейная сигма-модель . ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Члены, включающие или , не являются независимыми и могут быть приведены к этой форме посредством частичного интегрирования. Константа F ² /4 выбрана таким образом, что лагранжиан соответствует обычному свободному члену для безмассовых скалярных полей, записанных в терминах пионов, ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U}$ ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2F^{2}}}\left(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6}).}$

Альтернативная параметризация

Альтернативная, эквивалентная (Гюрсей, 1960), параметризация

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},}$

дает более простое выражение для U ,

${\displaystyle U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.}$

Обратите внимание на перепараметризованное π- преобразование ниже

${\displaystyle LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)}$

так, тогда, очевидно, идентично вышесказанному при изоротациях, V ; и аналогично вышесказанному, как

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)}$

под нарушенными симметриями, A , сдвиги. Это более простое выражение легко обобщается (Кронин, 1967) на N легких кварков, так что ${\displaystyle \textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.}$

Интегрируемость

Интегрируемая хиральная модель

Введенная Ричардом С. Уордом ^[3], интегрируемая киральная модель или модель Уорда описывается в терминах матричнозначного поля и задается частным дифференциальным уравнением Она имеет лагранжеву формулировку с ожидаемым кинетическим членом вместе с членом, который напоминает член Весса–Зумино–Виттена . Она также имеет формулировку, которая формально идентична уравнениям Богомольного , но с сигнатурой Лоренца . Связь между этими формулировками можно найти в Dunajski (2010). ${\displaystyle J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)}$ $${\displaystyle \partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.}$$

Известно много точных решений. ^{[4] [5] [6]}

Двумерная принципиальная хиральная модель

Здесь базовое многообразие берется как риманова поверхность , в частности цилиндр или плоскость , условно заданные действительные координаты , где на цилиндре есть периодическая координата. Для применения к теории струн этот цилиндр является мировым листом , выметаемым замкнутой струной. ^[7] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau ,\sigma }$ ${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$

Глобальные симметрии

Глобальные симметрии действуют как внутренние симметрии на групповом поле как и . Соответствующие сохраняющиеся токи из теоремы Нётер имеют вид Уравнения движения оказываются эквивалентными сохранению токов, Токи дополнительно удовлетворяют условию плоскостности, и поэтому уравнения движения могут быть сформулированы полностью в терминах токов. ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \rho _{L}(g')g(x)=g'g(x)}$ ${\displaystyle \rho _{R}(g)g(x)=g(x)g'}$ $${\displaystyle L_{\alpha }=g^{-1}\partial _{\alpha }g,R_{\alpha }=\partial _{\alpha }gg^{-1}.}$$ $${\displaystyle \partial _{\alpha }L^{\alpha }=\partial _{\alpha }R^{\alpha }=0{\text{ or in coordinate-free form }}d*L=d*R=0.}$$ $${\displaystyle dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0{\text{ or in coordinates }}\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,}$$

Слабая формулировка

Рассмотрим мировую поверхность в координатах светового конуса . Компонентами соответствующей матрицы Лакса являются Требование, чтобы условие нулевой кривизны на для всех было эквивалентно сохранению тока и плоскостности тока , то есть уравнения движения из главной хиральной модели (PCM). ${\displaystyle x^{\pm }=t\pm x}$ $${\displaystyle L_{\pm }(x^{+},x^{-};\lambda )={\frac {j_{\pm }}{1\mp \lambda }}.}$$ ${\displaystyle L_{\pm }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle j=(j_{+},j_{-})}$

Смотрите также

• Сигма-модель
• Хиральность (физика)

Ссылки

1. Уорд, RS (ноябрь 1995 г.). «Нетривиальное рассеяние локализованных солитонов в (2+1)-мерной интегрируемой системе». Physics Letters A . 208 (3): 203–208. arXiv : solv-int/9510004 . doi :10.1016/0375-9601(95)00782-X. S2CID  123153627.
2. Дунайски, Мачей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Oxford University Press. стр. 159. ISBN 9780198570639.
3. Уорд, RS (февраль 1988). «Солитонные решения в интегрируемой киральной модели в 2+1 измерениях». Журнал математической физики . 29 (2): 386–389. doi : 10.1063/1.528078 .
4. Иоанниду, Т.; Закржевский, В. Дж. (май 1998 г.). «Решения модифицированной хиральной модели в (2+1) измерениях». Журнал математической физики . 39 (5): 2693–2701. arXiv : hep-th/9802122 . doi :10.1063/1.532414. S2CID  119529600.
5. Иоанниду, Т. (июль 1996 г.). «Солитонные решения и нетривиальное рассеяние в интегрируемой киральной модели в (2+1) измерениях». Журнал математической физики . 37 (7): 3422–3441. arXiv : hep-th/9604126 . doi :10.1063/1.531573. S2CID  15300406.
6. Дай, Б.; Тернг, К.-Л. (1 января 2007 г.). «Преобразования Бэклунда, солитоны Уорда и унитоны». Журнал дифференциальной геометрии . 75 (1). arXiv : math/0405363 . doi :10.4310/jdg/1175266254. S2CID  53477757.
7. Driezen, Sibylle (2021). «Modave Lectures on Classical Integrability in $2d$ Field Theories». arXiv : 2112.14628 [hep-th].

• Gürsey, F. (1960). «О симметриях сильных и слабых взаимодействий». Il Nuovo Cimento . 16 (2): 230–240. Bibcode : 1960NCim...16..230G. doi : 10.1007/BF02860276. S2CID  122270607.
• Gürsey, Feza (1961). «О структуре и четности токов слабого взаимодействия». Annals of Physics . 12 (1). Elsevier BV: 91–117. Bibcode : 1961AnPhy..12...91G. doi : 10.1016/0003-4916(61)90147-6. ISSN  0003-4916.
• Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, B. (1969). "Структура феноменологических лагранжианов. I". Physical Review . 177 (5): 2239. Bibcode :1969PhRv..177.2239C. doi :10.1103/PhysRev.177.2239.; Каллан, К.; Коулмен, С.; Весс, Дж.; Зумино, Б. (1969). "Структура феноменологических лагранжианов. II". Physical Review . 177 (5): 2247. Bibcode :1969PhRv..177.2247C. doi :10.1103/PhysRev.177.2247.
• Джорджи, Х. (1984, 2009). Слабые взаимодействия и современная теория частиц (Dover Books on Physics) ISBN 0486469042 онлайн. 
• Fry, MP (2000). «Киральный предел двумерного фермионного детерминанта в общем магнитном поле». Журнал математической физики . 41 (4): 1691–1710. arXiv : hep-th/9911131 . Bibcode :2000JMP....41.1691F. doi :10.1063/1.533204. S2CID  14302881.
• Гелл-Манн, М.; Леви, М. (1960), «Аксиальный векторный ток при бета-распаде», Il Nuovo Cimento , 16 (4), Итальянское физическое общество: 705–726, Bibcode : 1960NCim...16..705G, doi : 10.1007/BF02859738, ISSN  1827-6121, S2CID  122945049
• Кронин, Джеремайя А. (1967-09-25). "Феноменологическая модель сильных и слабых взаимодействий в хиральном U(3)⊗U(3)". Physical Review . 161 (5). Американское физическое общество (APS): 1483–1494. Bibcode :1967PhRv..161.1483C. doi :10.1103/physrev.161.1483. ISSN  0031-899X.