При изучении абстрактных многогранников хиральный многогранник — это многогранник, который является максимально симметричным, но не является зеркально симметричным, формализованным в терминах действия группы симметрии многогранника на его флаги .
Более техническое определение хирального многогранника — это многогранник, имеющий две орбиты флагов под своей группой симметрий , со смежными флагами на разных орбитах. Это подразумевает, что он должен быть вершинно-транзитивным , рёберно-транзитивным и гране-транзитивным , поскольку каждая вершина, ребро или грань должны быть представлены флагами на обеих орбитах; однако он не может быть зеркально-симметричным, поскольку каждая зеркальная симметрия многогранника поменяла бы местами некоторую пару смежных флагов. [1]
Для целей этого определения группа симметрии многогранника может быть определена одним из двух различных способов: она может относиться к симметриям многогранника как геометрическому объекту (в этом случае многогранник называется геометрически хиральным ) или она может относиться к симметриям многогранника как к комбинаторной структуре (автоморфизмы абстрактного многогранника ). Хиральность имеет смысл для любого типа симметрии, но эти два определения классифицируют различные многогранники как хиральные или нехиральные. [2]
Геометрически хиральные многогранники относительно экзотичны по сравнению с более обычными правильными многогранниками. Геометрически хиральный многогранник не может быть выпуклым, [3] и многие геометрически хиральные многогранники, о которых стоит упомянуть, являются косыми .
В трех измерениях геометрически хиральный многогранник не может иметь конечное число конечных граней. Например, плосконосый куб является вершинно-транзитивным, но его флаги имеют более двух орбит, и он не является ни реберно-транзитивным, ни гранно-транзитивным, поэтому он недостаточно симметричен, чтобы соответствовать формальному определению хиральности. Квазиправильные многогранники и их двойственные, такие как кубооктаэдр и ромбический додекаэдр , предоставляют еще один интересный тип почти промаха: они имеют две орбиты флагов, но являются зеркально-симметричными, и не каждая смежная пара флагов принадлежит разным орбитам. Однако, несмотря на несуществование конечных хиральных трехмерных многогранников, существуют бесконечные трехмерные хиральные косые многогранники типов {4,6}, {6,4} и {6,6}. [2]
В четырех измерениях существуют геометрически хиральные конечные многогранники. Одним из примеров является куб Роли, косой многогранник на скелете 4-куба . [4] [5]