Гомологическая зеркальная симметрия — математическая гипотеза Максима Концевича . Она ищет систематическое математическое объяснение феномену, называемому зеркальной симметрией, впервые обнаруженному физиками, изучающими теорию струн .
В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1994 году Концевич (1994) предположил, что зеркальную симметрию для пары многообразий Калаби–Яу X и Y можно объяснить как эквивалентность триангулированной категории, построенной из алгебраической геометрии X ( производной категории когерентных пучков на X ), и другой триангулированной категории , построенной из симплектической геометрии Y (производной категории Фукая ) .
Эдвард Виттен первоначально описал топологическое скручивание N=(2,2) суперсимметричной теории поля в то, что он назвал топологическими теориями струн моделей A и B [ требуется ссылка ] . Эти модели касаются отображений из римановых поверхностей в фиксированную цель — обычно многообразие Калаби–Яу. Большинство математических предсказаний зеркальной симметрии встроены в физическую эквивалентность A-модели на Y с B-моделью на ее зеркале X. Когда римановы поверхности имеют пустую границу, они представляют собой мировые листы замкнутых струн. Чтобы охватить случай открытых струн, необходимо ввести граничные условия для сохранения суперсимметрии. В A-модели эти граничные условия имеют форму лагранжевых подмногообразий Y с некоторой дополнительной структурой (часто называемой структурой браны). В B-модели граничные условия имеют форму голоморфных (или алгебраических) подмногообразий X с голоморфными (или алгебраическими) векторными расслоениями на них. Это объекты, которые используются для построения соответствующих категорий [ требуется ссылка ] . Их часто называют бранами A и B соответственно. Морфизмы в категориях задаются безмассовым спектром открытых струн, натянутых между двумя бранами [ требуется ссылка ] .
Модели замкнутых струн A и B охватывают только так называемый топологический сектор — небольшую часть полной теории струн. Аналогично, браны в этих моделях являются лишь топологическими приближениями к полным динамическим объектам, которые являются D-бранами . Тем не менее, математика, полученная из этой небольшой части теории струн, была и глубокой, и сложной.
Математическая школа Института перспективных исследований в Принстоне посвятила целый год гомологической зеркальной симметрии в течение 2016-17 учебного года. Среди участников были Пол Сайдель из MIT , Максим Концевич из IHÉS и Дени Ору из Калифорнийского университета в Беркли . [1]
Только в нескольких примерах математики смогли проверить гипотезу. В своем основополагающем докладе Концевич прокомментировал, что гипотеза может быть доказана в случае эллиптических кривых с использованием тета-функций . Следуя по этому пути, Александр Полищук и Эрик Заслоу предоставили доказательство версии гипотезы для эллиптических кривых. Кэндзи Фукая смог установить элементы гипотезы для абелевых многообразий . Позже Концевич и Ян Сойбельман предоставили доказательство большинства гипотез для неособых торических расслоений над аффинными многообразиями, используя идеи из гипотезы SYZ . В 2003 году Пол Зайдель доказал гипотезу в случае поверхности четвертого порядка . В 2002 году Хаузель и Таддеус (2002) объяснили гипотезу SYZ в контексте системы Хитчина и двойственности Ленглендса.
Размерности h p , q пространств гармонических ( p , q )-дифференциальных форм (эквивалентно когомологии, т.е. замкнутые формы по модулю точных форм) традиционно располагаются в форме ромба, называемого ромбом Ходжа . Эти (p,q)-числа Бетти могут быть вычислены для полных пересечений с использованием производящей функции, описанной Фридрихом Хирцебрухом . [2] [3] [4] Например, для трехмерного многообразия ромб Ходжа имеет p и q в пределах от 0 до 3:
Зеркальная симметрия переводит размерность (p, q)-й дифференциальной формы h p , q для исходного многообразия в h n-p , q для многообразия контрпары. А именно, для любого многообразия Калаби–Яу ромб Ходжа не изменяется при повороте на π радиан, а ромбы Ходжа зеркальных многообразий Калаби–Яу связаны поворотом на π/2 радиан.
В случае эллиптической кривой , которая рассматривается как одномерное многообразие Калаби–Яу, ромб Ходжа особенно прост: он представляет собой следующую фигуру.
В случае поверхности K3 , которая рассматривается как двумерное многообразие Калаби–Яу, поскольку числа Бетти равны {1, 0, 22, 0, 1}, их ромб Ходжа представляет собой следующую фигуру.
В 3-мерном случае, обычно называемом многообразием Калаби–Яу , происходит очень интересная вещь. Иногда встречаются зеркальные пары, скажем, M и W , которые имеют симметричные ромбы Ходжа относительно друг друга вдоль диагональной линии.
Алмаз М :
Алмаз W :
M и W соответствуют A- и B-моделям в теории струн. Зеркальная симметрия заменяет не только гомологические измерения, но и симплектическую структуру и комплексную структуру на зеркальных парах. Это источник гомологической зеркальной симметрии.
В 1990-1991 годах Канделас и др. 1991 оказали большое влияние не только на исчислительную алгебраическую геометрию, но и на всю математику и мотивировали Концевича (1994). Зеркальная пара двух квинтик-тримфолдов в этой статье имеет следующие ромбы Ходжа.