В теории чисел сложность целого числа — это наименьшее количество единиц , которое можно использовать для его представления с помощью единиц и любого количества сложений , умножений и круглых скобок. Оно всегда находится в пределах постоянного множителя логарифма данного целого числа .
Например, число 11 можно представить с помощью восьми единиц:
Однако он не имеет представления с использованием семи или менее единиц. Следовательно, его сложность равна 8.
Сложности чисел 1, 2, 3,... равны.
Наименьшими числами сложности 1, 2, 3,... являются
Вопрос о таком способе выражения целых чисел первоначально рассматривался Малером и Попкеном (1953). Они просили наибольшее число с заданной сложностью k ; [1] позже Селфридж показал, что это число
Например, когда k = 10 , x = 2 и наибольшее целое число, которое можно выразить с помощью десяти единиц, равно 2 2 3 2 = 36 . Его выражение
Таким образом, сложность целого числа n не меньше 3 log 3 n . Сложность n не превышает 3 log 2 n (приблизительно 4,755 log 3 n ): выражение такой длины для n можно найти, применив метод Хорнера к двоичному представлению n . [2] Почти все целые числа имеют представление, длина которого ограничена логарифмом с меньшим постоянным множителем, 3,529 log 3 n . [3]
Сложности всех целых чисел до некоторого порога N можно вычислить за общее время O ( N 1,222911236 ) . [4]
Алгоритмы вычисления целочисленной сложности использовались для опровержения нескольких гипотез о сложности. В частности, не обязательно, что оптимальное выражение числа n получается либо путем вычитания единицы из n , либо путем выражения n как произведения двух меньших множителей. Наименьший пример числа, оптимальное выражение которого не имеет этой формы, — это 353942783. Это простое число и, следовательно, также опровергает гипотезу Ричарда К. Гая о том, что сложность каждого простого числа p равна единице плюс сложность p — 1 . [5] На самом деле, можно показать, что . Более того, Венеция Ванг привела несколько интересных примеров, т.е. , , , но . [6]