Центральная разностная схема

Рисунок 1. Сравнение разных схем

В прикладной математике схема центрального дифференцирования — это метод конечных разностей , который оптимизирует аппроксимацию дифференциального оператора в центральном узле рассматриваемого участка и обеспечивает численные решения дифференциальных уравнений. ^[1] Это одна из схем, используемых для решения интегрированного уравнения конвекции-диффузии и расчета передаваемого свойства Φ на гранях e и w, где e и w короткие для востока и запада (направления компаса обычно используются для обозначения направления на расчетных сетках). Преимущества метода в том, что его легко понять и реализовать, по крайней мере, для простых материальных отношений; и что его скорость сходимости выше, чем у некоторых других методов конечных разностей, таких как прямое и обратное дифференцирование. Правая часть уравнения конвекции-диффузии, которая в основном подчеркивает диффузионные члены, может быть представлена ​​с использованием приближения центральной разности. Чтобы упростить решение и анализ, можно логически использовать линейную интерполяцию для вычисления номинальных значений ячеек для левой части этого уравнения, которая представляет собой не что иное, как конвективные члены. Следовательно, номиналы ячеек собственности для равномерной сетки можно записать в виде: ^[2]

$${\displaystyle \Phi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{P}+\Phi _{E})}$$ $${\displaystyle \Phi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{W}+\Phi _{P})}$$

Стационарное уравнение конвективной диффузии

Уравнение конвекции -диффузии представляет собой коллективное представление уравнений диффузии и конвекции и описывает или объясняет каждое физическое явление, связанное с конвекцией и диффузией при переносе частиц, энергии и других физических величин внутри физической системы: ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,}$$где Г — коэффициент диффузии , а Ф — свойство .

Формулировка уравнения стационарной конвективной диффузии

Формальное интегрирование стационарного уравнения конвекции-диффузии по контрольному объему дает

Это уравнение представляет баланс потоков в контрольном объеме. Левая часть дает чистый конвективный поток, а правая часть содержит чистый диффузионный поток и образование или разрушение свойств в пределах контрольного объема.

В отсутствие уравнения исходного члена становится

Уравнение непрерывности :

Рисунок 2. Метод интерполяции

Если принять контрольный объем и интегрировать уравнение 2 по контрольному объему, получим:

Интегрирование уравнения 3 дает:

Удобно определить две переменные для представления конвективного массового потока на единицу площади и диффузионной проводимости на гранях ячеек, например: $${\displaystyle F=\rho u}$$ $${\displaystyle D=\Gamma /\delta x}$$

Полагая , мы можем записать интегрированное уравнение конвекции-диффузии в виде: ${\displaystyle A_{e}=A_{w}}$ $${\displaystyle F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

И интегрированное уравнение непрерывности как: $${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$$

В схеме центрального дифференцирования мы пробуем линейную интерполяцию для вычисления номинальных значений ячеек для условий конвекции.

Для равномерной сетки мы можем записать номинальные значения ячеек свойства Φ как $${\displaystyle \varphi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{E}+\varphi _{P}),\quad \varphi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{P}+\varphi _{W})}$$

Подставив это в интегрированное уравнение конвекции-диффузии, получим: $${\displaystyle F_{e}{\frac {\varphi _{E}+\varphi _{P}}{2}}-F_{w}{\frac {\varphi _{W}+\varphi _{P}}{2}}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

И по поводу перестановки: $${\displaystyle \left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}}$$ $${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$$

Различные аспекты схемы центрального дифференцирования

Консервативность

Сохранение обеспечивается в схеме центрального разностного распределения, поскольку общий баланс потоков получается суммированием чистого потока через каждый контрольный объем с учетом граничных потоков для контрольных объемов вокруг узлов 1 и 4.

Рисунок 3. Типичная иллюстрация

Граничный поток для контрольного объема вокруг узлов 1 и 4, поскольку $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{1}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}-q_{A}\right]+\left[{\frac {\Gamma _{e_{2}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}\right]\\[10pt]+{}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{3}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{3}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}\right]+\left[q_{B}-{\frac {\Gamma _{w_{4}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}\right]=q_{B}-q_{A}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Gamma _{e_{1}}=\Gamma _{w_{2}},\Gamma _{e_{2}}=\Gamma _{w_{3}},\Gamma _{e_{3}}=\Gamma _{w_{4}}}$

Ограниченность

Схема центрального дифференцирования удовлетворяет первому условию ограниченности .

Поскольку из уравнения неразрывности, следовательно; ${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$ ${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$

Другое существенное требование ограниченности состоит в том, что все коэффициенты дискретизированных уравнений должны иметь один и тот же знак (обычно все положительные). Но это выполняется только тогда, когда ( число Пекле ), поскольку для однонаправленного потока ( ) всегда положительно, если ${\displaystyle F_{e}/D_{e}<2}$ ${\displaystyle F_{e}>0,F_{w}>0}$ ${\displaystyle a_{E}=(D_{e}-F_{e}/2)}$ ${\displaystyle D_{e}>F_{e}/2}$

Транспортабельность

Это требует, чтобы транспортируемость изменялась в зависимости от величины числа пекле, т. е. когда pe равно нулю, она распространялась во всех направлениях одинаково, а по мере увеличения Pe (конвекция > диффузия) в определенной точке в значительной степени зависело от значения вверх по потоку и в меньшей степени от значения вниз по потоку. Но схема центрального разностного разделения не обладает транспортивностью при более высоких pe, поскольку Φ в точке является средним значением соседних узлов для всех Pe. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Точность

Ошибка усечения ряда Тейлора схемы центрального дифференцирования имеет второй порядок. Схема центральной разности будет точной только в том случае, если Pe < 2. Из-за этого ограничения центральная разность не является подходящей практикой дискретизации для расчетов расхода общего назначения.

Приложения центральных разностных схем

• В настоящее время они регулярно используются при решении уравнений Эйлера и уравнений Навье – Стокса .
• Результаты с использованием аппроксимации центрального дифференцирования показали заметное улучшение точности в гладких областях.
• Представление ударных волн и определение пограничного слоя можно улучшить на грубых сетках. ^[3]

Преимущества

• Проще программировать, требует меньше компьютерного времени на каждый шаг и хорошо работает с методами многосеточного ускорения .
• Имеет свободный параметр в сочетании с диссипацией четвертой разности, которая необходима для приближения к установившемуся состоянию.
• Более точная, чем схема против ветра первого порядка, если число Пекле меньше 2. ^[3]

Недостатки

• Несколько более диссипативный
• Приводит к колебаниям решения или расходимости, если локальное число Пекле больше 2. ^[4]

Смотрите также

• Метод конечных разностей
• Конечная разница
• Серия Тейлора
• Теорема Тейлора
• Уравнение конвекции-диффузии
• Диффузия
• Конвекция
• Число Пекле
• Линейная интерполяция
• Симметричная производная
• Разностная схема против ветра для конвекции

Рекомендации

1. Вычислительная гидродинамика – T CHUNG, ISBN  0-521-59416-2
2. Введение в вычислительную гидродинамику Х.К. ВЕРСТИГА и В. МАЛАЛАСЕКЕРЫ, ISBN 0-582-21884-5 
3. Лю, Сюй-Донг; Тадмор, Эйтан (1998). «Неколеблющаяся центральная схема третьего порядка для гиперболических законов сохранения». Нумерическая математика . 79 (3): 397–425. CiteSeerX 10.1.1.26.4631 . дои : 10.1007/s002110050345. S2CID  16702600. 
4. Лекция 5 - Методы решения

дальнейшее чтение

• Вычислительная гидродинамика: основы с приложениями - Джон Д. Андерсон, ISBN 0-07-001685-2 
• Вычислительная гидродинамика, том 1 - Клаус А. Хоффманн, Стив Т. Чан, ISBN 0-9623731-0-9 

Внешние ссылки

• Одномерная_стационарная_конвекция_и_диффузия#Central_Difference_Scheme
• Конечные разности
• Методы центральных разностей. Архивировано 5 ноября 2013 г. в Wayback Machine.
• Консервативная разностная схема для уравнений Пуассона–Нерста–Планка