Цепная линия

Изгиб, образованный подвесной цепью

Цепь , свисающая с точек, образует цепную линию.

Шелк на паутине, образующий множество эластичных цепных линий.

В физике и геометрии цепная линия ( США : / ˈkætənɛr i / KAT - ən - err-ee , Великобритания : / kəˈt iːnər i / kə - TEE - nər -ee ) — это кривая , которую принимает идеальная висящая цепь или трос под действием собственного веса , когда они поддерживаются только на концах в однородном гравитационном поле.

Кривая цепной линии имеет U-образную форму, внешне похожую на параболу , но таковой не является.

Кривая появляется в конструкции некоторых типов арок и как поперечное сечение катеноида — формы, которую принимает мыльная пленка, ограниченная двумя параллельными круговыми кольцами.

Цепная линия также называется алисоидой , цепочкой , ^[1] или, в частности, в материаловедении, примером фуникулера . [ ^2] Статика канатов описывает цепные линии в классической задаче статики, включающей висячий канат. ^[3]

Математически цепная линия представляет собой график функции гиперболического косинуса . Поверхность вращения цепной линии, катеноид , является минимальной поверхностью , в частности минимальной поверхностью вращения . Подвешенная цепь примет форму с наименьшей потенциальной энергией, которая является цепной линией. ^[4] Галилео Галилей в 1638 году обсудил цепную линию в книге « Две новые науки» , признав, что она отличается от параболы . Математические свойства цепной линии изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а ее уравнение было выведено Лейбницем , Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Цепные линии и связанные с ними кривые используются в архитектуре и машиностроении (например, при проектировании мостов и арок , чтобы силы не приводили к изгибающим моментам). В морской нефтегазовой промышленности «цепная линия» относится к стальному стояку цепной линии , трубопроводу, подвешенному между производственной платформой и морским дном, который принимает приблизительную форму цепной линии. В железнодорожной отрасли это относится к воздушной проводке , которая передает электроэнергию поездам. (Она часто поддерживает контактный провод, и в этом случае она не следует истинной кривой цепной линии.)

В оптике и электромагнетизме гиперболические косинус и синус являются основными решениями уравнений Максвелла. ^[5] Симметричные моды, состоящие из двух затухающих волн, образуют цепную форму. ^{[6] [7] [8]}

История

Модель цепной линии Антонио Гауди в Доме Мила

Слово «catenary» происходит от латинского слова catēna , что означает « цепь ». Английское слово «catenary» обычно приписывается Томасу Джефферсону , ^{[9] [10]} который написал в письме Томасу Пейну о строительстве арки для моста:

Недавно я получил из Италии трактат о равновесии аббата Маскерони. Кажется, это очень научная работа. У меня еще не было времени заняться ею; но я нахожу, что выводы его демонстраций таковы, что каждая часть цепной линии находится в совершенном равновесии. ^[11]

Часто говорят ^[12] , что Галилей считал, что кривая висящей цепи является параболической. Однако в своих «Двух новых науках» (1638) Галилей писал, что висящий шнур является лишь приближенной параболой, правильно отметив, что это приближение улучшается по мере уменьшения кривизны и становится почти точным, когда высота меньше 45°. ^[13] Тот факт, что кривая, за которой следует цепь, не является параболой, был доказан Иоахимом Юнгиусом (1587–1657); этот результат был опубликован посмертно в 1669 году. ^[12]

Применение цепной линии к строительству арок приписывается Роберту Гуку , чья «истинная математическая и механическая форма» в контексте перестройки собора Святого Павла намекала на цепную линию. ^[14] Некоторые гораздо более старые арки приближаются к цепным линиям, примером которых является арка Так-и Кисра в Ктесифоне . ^[15]

Аналогия между аркой и подвесной цепью и сравнение с куполом собора Святого Петра в Риме ( Джованни Полени , 1748)

В 1671 году Гук объявил Королевскому обществу , что он решил задачу оптимальной формы арки, а в 1675 году опубликовал зашифрованное решение в виде латинской анаграммы ^[16] в приложении к своему «Описанию гелиоскопов» ^[17] , где он написал, что нашел «истинную математическую и механическую форму всех видов арок для строительства». Он не опубликовал решение этой анаграммы ^[18] при жизни, но в 1705 году его душеприказчик представил его как ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum , что означает «Как висит гибкий трос, так, перевернув, стоят соприкасающиеся части арки».

В 1691 году Готфрид Лейбниц , Христиан Гюйгенс и Иоганн Бернулли вывели уравнение в ответ на вызов Якоба Бернулли ; ^[12] их решения были опубликованы в Acta Eruditorum за июнь 1691 года. ^{[19] [20]} Дэвид Грегори написал трактат о цепной линии в 1697 году ^{[12] [21]} , в котором он предоставил неправильный вывод правильного дифференциального уравнения. ^[20]

Эйлер доказал в 1744 году, что цепная линия — это кривая, которая при вращении вокруг оси x дает поверхность минимальной площади ( катеноид ) для данных ограничивающих окружностей. ^[1] Николас Фусс дал уравнения, описывающие равновесие цепи под действием любой силы в 1796 году. ^[22]

Перевернутая цепная арка

Цепные арки часто используются при строительстве печей . Для создания желаемой кривой форма подвесной цепи желаемых размеров переносится на форму, которая затем используется в качестве направляющей для размещения кирпичей или другого строительного материала. ^{[23] [24]}

Иногда говорят, что Gateway Arch в Сент-Луисе, штат Миссури , США, является (перевернутой) цепной линией, но это неверно. ^[25] Она близка к более общей кривой, называемой сплющенной цепной линией, с уравнением y = A  cosh( Bx ) , которая является цепной линией, если AB = 1 . Хотя цепная линия является идеальной формой для отдельно стоящей арки постоянной толщины, Gateway Arch уже вблизи вершины. Согласно номинации арки на звание Национальной исторической достопримечательности США , это « утяжеленная цепная линия ». Ее форма соответствует форме, которую образовала бы утяжеленная цепь с более легкими звеньями в середине. ^{[26] [27]}

• 
  Цепная арка ^[28] под крышей дома Мила работы Гауди , Барселона , Испания.
• 
  Зимний сад Шеффилда окружен серией цепных арок . ^[29]
• 
  Арка «Врата на запад» ( Сент-Луис, Миссури ) представляет собой сплющенную цепную линию.
• 
  Цепная арочная печь, строительство которой ведется на временной опалубке

Цепные мосты

Простые подвесные мосты по сути представляют собой утолщенные тросы, повторяющие кривую цепной линии.

Напряженные ленточные мосты , такие как мост Леонеля Виеры в Мальдонадо, Уругвай , также следуют кривой цепной связи с тросами, встроенными в жесткое настил.

В свободно висящих цепях прилагаемая сила равномерна по отношению к длине цепи, и поэтому цепь следует кривой цепной линии. ^[30] То же самое относится к простому подвесному мосту или «цепному мосту», где проезжая часть следует за кабелем. ^{[31] [32]}

Напряженный ленточный мост представляет собой более сложную конструкцию с той же формой цепной линии. ^{[33] [34]}

Однако в подвесном мосту с подвесной дорогой цепи или тросы поддерживают вес моста и поэтому не висят свободно. В большинстве случаев дорога плоская, поэтому, когда вес троса незначителен по сравнению с поддерживаемым весом, прикладываемая сила равномерна по отношению к горизонтальному расстоянию, и результатом является парабола , как обсуждается ниже (хотя термин «цепная линия» часто все еще используется в неформальном смысле). Если трос тяжелый, то результирующая кривая находится между цепной линией и параболой. ^{[35] [36]}

Сравнение цепной арки (черная пунктирная кривая) и параболической арки (красная сплошная кривая) с одинаковым пролетом и провисом. Цепная арка представляет собой профиль простого подвесного моста или трос подвесного моста с подвесным настилом, на котором его настил и подвески имеют пренебрежимо малый вес по сравнению с его тросом. Парабола представляет собой профиль троса подвесного моста с подвесным настилом, на котором его трос и подвески имеют пренебрежимо малый вес по сравнению с его настилом. Профиль троса реального подвесного моста с тем же пролетом и провисом лежит между двумя кривыми. Уравнения цепной и параболы соответственно, и ${\displaystyle y={\text{cosh }}x}$ ${\displaystyle y=x^{2}[({\text{cosh }}1)-1]+1}$

Якорная стоянка морских объектов

Тяжелая якорная цепь образует цепную линию с малым углом тяги на якоре.

Цепная связь, создаваемая гравитацией, обеспечивает преимущество тяжелым якорным стержням. Якорный стержень (или якорная линия) обычно состоит из цепи или кабеля или из того и другого. Якорные стержни используются на судах, нефтяных вышках, доках, плавучих ветровых турбинах и другом морском оборудовании, которое должно быть закреплено на морском дне.

Когда трос провисает, кривая цепной линии представляет меньший угол тяги на якоре или швартовном устройстве, чем если бы она была почти прямой. Это улучшает работу якоря и повышает уровень силы, которой он будет сопротивляться до волочения. Для поддержания формы цепной линии при наличии ветра необходима тяжелая цепь, так что только более крупные суда в более глубокой воде могут полагаться на этот эффект. Более мелкие суда также полагаются на цепную линию для поддержания максимальной удерживающей силы. ^[37]

Паромы с кабелем и цепные суда представляют собой особый случай морских транспортных средств, движущихся, хотя и пришвартованных двумя цепными линиями, каждая из которых состоит из одного или нескольких кабелей (тросов или цепей), проходящих через транспортное средство и перемещаемых моторизованными шкивами. Цепные линии можно оценить графически. ^[38]

Математическое описание

Уравнение

Цепные линии для различных значений a

Уравнение цепной линии в декартовых координатах имеет вид ^[35]

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),}$$где cosh — гиперболическая косинусная функция , а a — расстояние самой низкой точки над осью x. ^[39] Все цепные линии подобны друг другу, поскольку изменение параметра a эквивалентно равномерному масштабированию кривой.

Уравнение Уэвелла для цепной линии имеет вид ^[35] где — тангенциальный угол , а s — длина дуги . $${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}},}$$ ${\displaystyle \varphi }$

Дифференцирование дает , а исключение дает уравнение Чезаро ^[40], где — кривизна . $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}},}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},}$$ ${\displaystyle \kappa }$

Радиус кривизны равен длине нормали между кривой и осью x . ^[41] $${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi ,}$$

Отношение к другим кривым

Когда парабола катится по прямой, кривая рулетки , прочерченная ее фокусом, является цепной линией. ^[42] Огибающая директрисы параболы также является цепной линией. [43] Эвольвента из вершины , ^то есть рулетка, прочерченная точкой, начинающейся в вершине , когда линия катится по цепной линии, является трактрисой . [ ^42]

Другая рулетка, образованная прокаткой линии по цепной линии, — это еще одна линия. Это означает, что квадратные колеса могут катиться совершенно гладко по дороге, сделанной из ряда выступов в форме перевернутой кривой цепной линии. Колеса могут быть любым правильным многоугольником, кроме треугольника, но цепная линия должна иметь параметры, соответствующие форме и размерам колес. ^[44]

Геометрические свойства

На любом горизонтальном интервале отношение площади под цепной линией к ее длине равно a , независимо от выбранного интервала. Цепная линия является единственной плоской кривой, отличной от горизонтальной линии, обладающей этим свойством. Кроме того, геометрический центроид площади под участком цепной линии является серединой перпендикулярного отрезка, соединяющего центроид самой кривой и ось x . ^[45]

Наука

Движущийся заряд в однородном электрическом поле движется по цепной линии (которая стремится к параболе, если скорость заряда намного меньше скорости света c ). ^[46]

Поверхность вращения с фиксированными радиусами на обоих концах, имеющая минимальную площадь поверхности, представляет собой цепную линию, вращающуюся вокруг оси x . ^[42]

Анализ

Модель цепей и арок

В математической модели цепь (или шнур, кабель, веревка, струна и т. д.) идеализируется путем предположения, что она настолько тонкая, что ее можно рассматривать как кривую, и что она настолько гибкая, что любая сила натяжения, оказываемая цепью, параллельна цепи. ^[47] Анализ кривой для оптимальной арки аналогичен, за исключением того, что силы натяжения становятся силами сжатия , и все переворачивается. ^[48] Основной принцип заключается в том, что цепь можно считать жестким телом, как только она достигнет равновесия. ^[49] Уравнения, которые определяют форму кривой и натяжение цепи в каждой точке, могут быть выведены путем тщательного изучения различных сил, действующих на сегмент, с использованием того факта, что эти силы должны быть в равновесии, если цепь находится в статическом равновесии .

Пусть путь, по которому следует цепь, задан параметрически как r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )), где s представляет собой длину дуги , а r — вектор положения . Это естественная параметризация , и она имеет свойство

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$$

где u — единичный касательный вектор .

Схема сил, действующих на отрезок цепной линии от c до r . Силы — это натяжение T ₀ в точке c , натяжение T в точке r и вес цепи (0, − ws ) . Поскольку цепь находится в состоянии покоя, сумма этих сил должна быть равна нулю.

Дифференциальное уравнение для кривой можно вывести следующим образом. ^[50] Пусть c — самая низкая точка цепи, называемая вершиной цепной линии. ^[51] Наклон ⁠dy/дх⁠ кривой равно нулю в точке c, поскольку это точка минимума. Предположим, что r находится справа от c , поскольку другой случай подразумевается симметрией. Силы, действующие на участок цепи от c до r, — это натяжение цепи в точке c , натяжение цепи в точке r и вес цепи. Натяжение в точке c касается кривой в точке c и, следовательно, является горизонтальным без какой-либо вертикальной составляющей, и оно тянет участок влево, поэтому его можно записать как (− T ₀ , 0) , где T ₀ — величина силы. Натяжение в точке r параллельно кривой в точке r и тянет участок вправо. Натяжение в точке r можно разделить на два компонента, поэтому его можно записать как T u = ( T cos φ , T sin φ ) , где T — величина силы, а φ — угол между кривой в точке r и осью x (см. тангенциальный угол ). Наконец, вес цепи представлен как (0, − ws ), где w — вес на единицу длины, а s — длина сегмента цепи между c и r .

Цепь находится в равновесии, поэтому сумма трех сил равна 0 , поэтому

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$и $${\displaystyle T\sin \varphi =ws\,,}$$

и разделив их, получаем

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {ws}{T_{0}}}\,.}$$

Писать удобно.

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w}}}$$

что является длиной цепи, вес которой равен по величине натяжению в точке c . ^[52] Тогда

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$$

— уравнение, определяющее кривую.

Горизонтальная составляющая натяжения, T cos φ = T _0, является постоянной, а вертикальная составляющая натяжения, T sin φ = ws, пропорциональна длине цепи между r и вершиной. ^[53]

Вывод уравнений для кривой

Дифференциальное уравнение , приведенное выше, можно решить, чтобы получить уравнения для кривой. ^[54] Мы решим уравнение, используя граничное условие, что вершина расположена в и . ${\displaystyle dy/dx=s/a}$ ${\displaystyle s_{0}=0}$ ${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})}$

Сначала вызовите формулу для длины дуги , чтобы получить , а затем отдельные переменные , чтобы получить $${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {1+(s/a)^{2}}}}=dx\,.}$$

Достаточно простой подход к интегрированию этого состоит в использовании гиперболической подстановки , которая дает (где — константа интегрирования ), и, следовательно, $${\displaystyle a\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}+x_{0}=x}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle {\frac {s}{a}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,.}$$

Но , поэтому , который интегрируется как (при этом постоянная интегрирования удовлетворяет граничному условию). ${\textstyle s/a=dy/dx}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,,}$$ $${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x-x_{0}}{a}}+\delta }$$ ${\displaystyle \delta =y_{0}-a}$

Поскольку основной интерес здесь представляет собой просто форма кривой, расположение осей координат произвольно; поэтому сделайте удобный выбор, чтобы упростить результат до ${\textstyle x_{0}=0=\delta }$ $${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}\quad \square }$$

Для полноты, соотношение можно вывести, решив каждое из соотношений и относительно , ​​что дает: , что можно переписать как ${\displaystyle y\leftrightarrow s}$ ${\displaystyle x\leftrightarrow y}$ ${\displaystyle x\leftrightarrow s}$ ${\displaystyle x/a}$ $${\displaystyle \cosh ^{-1}{\frac {y-\delta }{a}}={\frac {x-x_{0}}{a}}=\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\,,}$$ $${\displaystyle y-\delta =a\cosh \left(\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\right)\,,}$$ $${\displaystyle y-\delta =a{\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.}$$

Альтернативное происхождение

Дифференциальное уравнение можно решить, используя другой подход. ^[55] Из

$${\displaystyle s=a\tan \varphi }$$

следует, что

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$$и $${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$$

Интеграция дает,

$${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$$и $${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$$

Как и прежде, оси x и y можно сместить так, чтобы α и β можно было принять равными 0. Тогда

$${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$$и принимая во внимание взаимность обеих сторон $${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$$

Сложение и вычитание последних двух уравнений дает решение и $${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$$ $${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

Определение параметров

Три цепные линии, проходящие через те же две точки, в зависимости от горизонтальной силы T _H .

В общем случае параметр a — это положение оси. Уравнение в этом случае можно определить следующим образом: ^[56]

При необходимости переименуйте так, чтобы P ₁ находилась слева от P ₂ , и пусть H будет горизонтальным, а v — вертикальным расстоянием от P ₁ до P _2. Переместите оси так, чтобы вершина цепной линии лежала на оси y , а ее высота a была отрегулирована так , чтобы цепная линия удовлетворяла стандартному уравнению кривой.

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

и пусть координаты P ₁ и P ₂ будут ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) соответственно. Кривая проходит через эти точки, поэтому разница высот равна

$${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

а длина кривой от P ₁ до P ₂ равна

$${\displaystyle L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

При расширении L ² − v ² с использованием этих выражений результат будет следующим:

$${\displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$$так $${\displaystyle {\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$$

Это трансцендентное уравнение относительно a и должно быть решено численно . Поскольку строго монотонно на , ^[57] существует не более одного решения с a > 0 и, следовательно, существует не более одного положения равновесия. ${\displaystyle \sinh(x)/x}$ ${\displaystyle x>0}$

Однако, если оба конца кривой ( P ₁ и P ₂ ) находятся на одном уровне ( y ₁ = y ₂ ), можно показать, что ^[58] где L — общая длина кривой между P ₁ и P ₂ , а h — прогиб (вертикальное расстояние между P ₁ , P ₂ и вершиной кривой). $${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$$

Можно также показать, что и где H — горизонтальное расстояние между точками P ₁ и P ₂ , которые расположены на одном уровне ( H = x ₂ − x ₁ ). $${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$$ $${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$$

Горизонтальная сила тяги в точках P ₁ и P ₂ равна T ₀ = wa , где w — вес на единицу длины цепи или троса.

Отношения напряженности

Существует простая связь между натяжением кабеля в точке и его x - и/или y - координатой. Начнем с объединения квадратов векторных компонент натяжения: которые (вспоминая, что ) можно переписать как Но, как показано выше, (предполагая, что ), поэтому мы получаем простые соотношения ^[59] $${\displaystyle (T\cos \varphi )^{2}+(T\sin \varphi )^{2}=T_{0}^{2}+(ws)^{2}}$$ ${\displaystyle T_{0}=wa}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )&=(wa)^{2}+(ws)^{2}\\[6pt]T^{2}&=w^{2}(a^{2}+s^{2})\\[6pt]T&=w{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$ ${\displaystyle y_{0}=a}$ $${\displaystyle T=wy=wa\cosh {\frac {x}{a}}\,.}$$

Вариационная формулировка

Рассмотрим цепь длиной, подвешенную к двум точкам одинаковой высоты и на расстоянии . Кривая должна минимизировать свою потенциальную энергию (где w — вес на единицу длины) и подчиняется ограничению ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle U=\int _{0}^{D}wy{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.}$$

Модифицированный лагранжиан , таким образом, имеет вид , где — множитель Лагранжа , который необходимо определить. Поскольку независимая переменная не появляется в лагранжиане, мы можем использовать тождество Бельтрами , где — константа интегрирования, чтобы получить первый интеграл $${\displaystyle {\mathcal {L}}=(wy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C}$$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle {\frac {(wy-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C}$$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить методом разделения переменных . Его решением является обычный гиперболический косинус, где параметры получаются из ограничений.

Обобщения с вертикальной силой

Неравномерные цепи

Если плотность цепи переменная, то приведенный выше анализ можно адаптировать для получения уравнений для кривой с учетом плотности или для нахождения плотности с учетом кривой. ^[60]

Пусть w обозначает вес на единицу длины цепи, тогда вес цепи имеет величину

$${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

где пределы интегрирования - c и r . Уравновешивание сил, как в равномерной цепи, производит

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$и поэтому $${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$$

Дифференциация тогда дает

$${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$$

В терминах φ и радиуса кривизны ρ это становится

$${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$$

Кривая подвесного моста

Мост Золотые Ворота . Большинство тросов подвесного моста имеют параболическую, а не цепную кривую, поскольку дорожное полотно намного тяжелее троса.

Аналогичный анализ можно провести для нахождения кривой, по которой следует трос, поддерживающий подвесной мост с горизонтальной проезжей частью. ^[61] Если вес дорожного полотна на единицу длины равен w , а вес троса и провода, поддерживающего мост, по сравнению с ним незначителен, то вес троса (см. рисунок в разделе Цепная линия#Модель цепей и арок) от c до r равен wx , где x — горизонтальное расстояние между c и r . Продолжая, как и прежде, получаем дифференциальное уравнение

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$$

Это решается простой интеграцией, чтобы получить

$${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$$

и поэтому кабель следует параболе. Если вес кабеля и поддерживающих проводов не является незначительным, то анализ становится более сложным. ^[62]

Цепная линия равной прочности

В цепной линии равной прочности трос упрочняется в соответствии с величиной натяжения в каждой точке, поэтому его сопротивление разрыву постоянно по всей длине. Предполагая, что прочность троса пропорциональна его плотности на единицу длины, вес w на единицу длины цепи можно записать как ⁠Т/с⁠ , где c является константой, и может быть применен анализ для неоднородных цепей. ^[63]

В этом случае уравнения для натяжения имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$$

Объединение дает

$${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$$

и путем дифференциации

$${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$$

где ρ — радиус кривизны.

Решение этой проблемы заключается в следующем:

$${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$$

В этом случае кривая имеет вертикальные асимптоты, и это ограничивает размах до π c . Другие соотношения таковы:

$${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$$

Кривая была изучена в 1826 году Дэвисом Гилбертом и, по-видимому, независимо, Гаспаром-Гюставом Кориолисом в 1836 году.

Недавно было показано, что этот тип цепной линии может выступать в качестве строительного блока электромагнитной метаповерхности и был известен как «цепная линия равного градиента фазы». ^[64]

Эластичная цепная линия

В эластичной цепной линии цепь заменяется пружиной , которая может растягиваться в ответ на натяжение. Предполагается, что пружина растягивается в соответствии с законом Гука . В частности, если p — естественная длина секции пружины, то длина пружины с приложенным натяжением T имеет длину

$${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$$

где E — константа, равная kp , где k — жесткость пружины. ^[65] В цепной линии значение T является переменным, но отношение остается действительным на локальном уровне, поэтому ^[66] Кривая, которой следует упругая пружина, теперь может быть получена с помощью того же метода, что и для неупругой пружины. ^[67] $${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$$

Уравнения для натяжения пружины следующие:

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$$и $${\displaystyle T\sin \varphi =w_{0}p\,,}$$

из которого

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w_{0}p}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+w_{0}^{2}p^{2}}}\,,}$$

где p — естественная длина отрезка от c до r , а w ₀ — вес на единицу длины пружины без натяжения. Запишите так $${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w_{0}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$$

Тогда из чего $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {w_{0}p}{T}}\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {w_{0}p}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}}$$

Интегрирование дает параметрические уравнения

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$$

Опять же, оси x и y можно сместить так, чтобы α и β можно было принять равными 0. Итак

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$$

являются параметрическими уравнениями для кривой. В жестком пределе , где E велико, форма кривой сводится к форме неэластичной цепи.

Другие обобщения

Цепь под общей силой

Не делая никаких предположений относительно силы G, действующей на цепь, можно провести следующий анализ. ^[68]

Сначала пусть T = T ( s ) будет силой натяжения как функцией s . Цепь гибкая, поэтому она может оказывать только силу, параллельную самой себе. Поскольку натяжение определяется как сила, которую цепь оказывает на себя, T должна быть параллельна цепи. Другими словами,

$${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$$

где T — величина T , а u — единичный касательный вектор.

Во-вторых, пусть G = G ( s ) будет внешней силой на единицу длины, действующей на небольшой сегмент цепи как функция s . Силы, действующие на сегмент цепи между s и s + Δ s , являются силой натяжения T ( s + Δ s ) на одном конце сегмента, почти противоположной силой − T ( s ) на другом конце и внешней силой, действующей на сегмент, которая приблизительно равна G Δ s . Эти силы должны быть сбалансированы, чтобы

$${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$$

Разделите на Δ s и возьмите предел при Δ s → 0, чтобы получить

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$$

Эти уравнения можно использовать в качестве отправной точки при анализе гибкой цепи, действующей под действием любой внешней силы. В случае стандартной цепной линии G = (0, − w ) , где цепь имеет вес w на единицу длины.

Смотрите также

• Цепная дуга
• Цепной фонтан или саморастекающиеся бусины
• Воздушная контактная сеть – линии электропередач, подвешенные над рельсами или трамвайными транспортными средствами.
• Рулетка (кривая) – эллиптическая/гиперболическая цепная линия
• Тропоскейн – форма скрученной веревки.
• Утяжеленная цепная линия

Примечания

1. MathWorld
2. например : Shodek, Daniel L. (2004). Structures (5-е изд.). Prentice Hall. стр. 22. ISBN 978-0-13-048879-4. OCLC  148137330.
3. "Форма подвесной веревки" (PDF) . Кафедра машиностроения и аэрокосмической техники - Университет Флориды . 2017-05-02. Архивировано (PDF) из оригинала 2018-09-20 . Получено 2020-06-04 .
4. "Вариационное исчисление". 2015. Получено 03.05.2019 .
5. Luo, Xiangang (2019). Цепная оптика . Сингапур: Springer. doi :10.1007/978-981-13-4818-1. ISBN 978-981-13-4818-1. S2CID  199492908.
6. Бурк, Леви; Блейки, Ричард Дж. (2017-12-01). «Herpin effective media resonant underlayers and resonant overlayer designs for ultra-high NA interference lithography». JOSA A. 34 ( 12): 2243–2249. Bibcode : 2017JOSAA..34.2243B. doi : 10.1364/JOSAA.34.002243. ISSN  1520-8532. PMID  29240100.
7. Pu, Mingbo; Guo, Yinghui; Li, Xiong; Ma, Xiaoliang; Luo, Xiangang (2018-07-05). «Повторный взгляд на необычную интерференцию Юнга: от цепных оптических полей до спин-орбитального взаимодействия в метаповерхностях». ACS Photonics . 5 (8): 3198–3204. doi :10.1021/acsphotonics.8b00437. ISSN  2330-4022. S2CID  126267453.
8. Pu, Mingbo; Ma, XiaoLiang; Guo, Yinghui; Li, Xiong; Luo, Xiangang (2018-07-23). ​​«Теория микроскопических метаповерхностных волн на основе цепных оптических полей и дисперсии». Optics Express . 26 (15): 19555–19562. Bibcode : 2018OExpr..2619555P. doi : 10.1364/OE.26.019555 . ISSN  1094-4087. PMID  30114126.
9. ""Цепная линия" в Math Words". Pballew.net. 1995-11-21 . Получено 2010-11-17 .
10. Барроу, Джон Д. (2010). 100 основных вещей, о которых вы не знали, что вы не знали: математика объясняет ваш мир. WW Norton & Company. стр. 27. ISBN 978-0-393-33867-6.
11. Джефферсон, Томас (1829). Мемуары, переписка и личные документы Томаса Джефферсона. Генри Колбура и Ричард Бертли. стр. 419.
12. Локвуд стр. 124
13. Фэйи, Джон Джозеф (1903). Галилей, его жизнь и работа. Дж. Мюррей. С. 359–360.
14. Jardine, Lisa (2001). «Памятники и микроскопы: научное мышление в большом масштабе в раннем Королевском обществе». Заметки и записи Лондонского королевского общества . 55 (2): 289–308. doi :10.1098/rsnr.2001.0145. JSTOR  532102. S2CID  144311552.
15. Денни, Марк (2010). Суперструктуры: Наука о мостах, зданиях, плотинах и других подвигах инженерии . JHU Press. С. 112–113. ISBN 978-0-8018-9437-4.
16. см. анаграмму закона Гука , которая появилась в следующем абзаце.
17. "Arch Design". Lindahall.org. 2002-10-28. Архивировано из оригинала 2010-11-13 . Получено 2010-11-17 .
18. Первоначальная анаграмма была abcccddeeeeefggiiiiiiiillmmmmnnnnnooprrsssttttttuuuuuuuux : буквы латинской фразы, расположенные в алфавитном порядке.
19. Трусделл, К. (1960), Механика вращения гибких или упругих тел 1638–1788: Введение в Леонарди Эйлери Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae, Цюрих: Орелл Фюссли, с. 66, ISBN 9783764314415
20. Calladine, CR (2015-04-13), «Вклад любителя в проектирование подвесного моста Менай в Телфорде: комментарий к работе Гилберта (1826) «О математической теории подвесных мостов»", Философские труды Королевского общества A , 373 (2039): 20140346, Bibcode : 2015RSPTA.37340346C, doi : 10.1098/rsta.2014.0346, PMC  4360092 , PMID  25750153
21. Грегори, Давидис (август 1697 г.), «Катенария», Philosophical Transactions , 19 (231): 637–652, doi : 10.1098/rstl.1695.0114
22. Раут, статья 455, сноска
23. Minogue, Coll; Sanderson, Robert (2000). Керамика, обожженная в дровах: современная практика . Университет Пенсильвании. стр. 42. ISBN 978-0-8122-3514-2.
24. Петерсон, Сьюзен; Петерсон, Джен (2003). Ремесло и искусство глины: Полное руководство гончара. Лоуренс Кинг. стр. 224. ISBN 978-1-85669-354-7.
25. Оссерман, Роберт (2010), «Математика Gateway Arch», Notices of the American Mathematical Society , 57 (2): 220–229, ISSN  0002-9920
26. Хикс, Клиффорд Б. (декабрь 1963 г.). «Невероятная арка Гейтвэй: самый величественный национальный памятник Америки». Popular Mechanics . 120 (6): 89. ISSN  0032-4558.
27. Харрисон, Лора Сульер (1985), Национальный реестр исторических мест. Номинация: Мемориал Джефферсона «Расширение национального парка» Гейтвей-Арк / Гейтвей-Арк; или «Арка», Служба национальных паркови прилагаемая фотография, сделанная с воздуха в 1975 году  (578 КБ)
28. Сеннотт, Стивен (2004). Энциклопедия архитектуры двадцатого века . Тейлор и Фрэнсис. стр. 224. ISBN 978-1-57958-433-7.
29. Хаймерс, Пол (2005). Планирование и строительство оранжереи . New Holland. стр. 36. ISBN 978-1-84330-910-9.
30. Байер, Оуэн; Лазебник, Феликс; Смельцер, Дейдра Л. (2 сентября 2010 г.). Методы евклидовой геометрии. МАА. п. 210. ИСБН 978-0-88385-763-2.
31. Фернандес Трояно, Леонардо (2003). Мостостроение: глобальная перспектива. Томас Телфорд. п. 514. ИСБН 978-0-7277-3215-6.
32. Тринкс, В.; Мохинни, Миннесота; Шеннон, РА; Рид, Р.Дж.; Гарви, младший (5 декабря 2003 г.). Промышленные печи. Уайли. п. 132. ИСБН 978-0-471-38706-0.
33. Скотт, Джон С. (1992-10-31). Словарь гражданского строительства . Springer. стр. 433. ISBN 978-0-412-98421-1.
34. Финч, Пол (19 марта 1998 г.). «Проект коленчатой ​​ленточной конструкции для покрытия Медуэя». Журнал архитекторов . 207 : 51.
35. Локвуд стр. 122
36. Кункель, Пол (30 июня 2006 г.). «Hanging With Galileo». Математика Whistler Alley . Получено 27 марта 2009 г.
37. «Цепь, трос и цепная линия – якорные системы для небольших судов». Petersmith.net.nz . Получено 17.11.2010 .
38. "Эффективность кабельных паромов - Часть 2". Human Power eJournal . Получено 2023-12-08 .
39. Weisstein, Eric W. "Catenary". MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 2019-09-21 . Параметрические уравнения для цепной линии задаются как x(t) = t, y(t) = [...] a cosh(t/a), где t=0 соответствует вершине [...]
40. MathWorld, ур. 7
41. Раут, статья 444
42. Йейтс, Роберт С. (1952). Кривые и их свойства . NCTM. стр. 13.
43. Йейтс стр. 80
44. Холл, Леон; Вагон, Стэн (1992). «Дороги и колеса». Mathematics Magazine . 65 (5): 283–301. doi :10.2307/2691240. JSTOR  2691240.
45. Паркер, Эдвард (2010). «Свойство, характеризующее цепную линию». Mathematics Magazine . 83 : 63–64. doi :10.4169/002557010X485120. S2CID  122116662.
46. Ландау, Лев Давидович (1975). Классическая теория полей. Баттерворт-Хайнеман. стр. 56. ISBN 978-0-7506-2768-9.
47. Раут, статья 442, стр. 316.
48. Чёрч, Ирвинг Портер (1890). Механика машиностроения. Wiley. стр. 387.
49. Уэвелл, стр. 65
50. Согласно Рауту, статья 443, стр. 316.
51. Раут Арт. 443 стр. 317
52. Уэвелл, стр. 67
53. Раут Арт 443, стр. 318
54. Небольшое изменение вывода, представленного здесь, можно найти на странице 107 Маурера. Другой (хотя в конечном итоге математически эквивалентный) вывод, который не использует обозначение гиперболической функции, можно найти у Раута (статья 443, начиная, в частности, со страницы 317).
55. После Лэмба стр. 342
56. Согласно статье 186 Тодхантера
57. См. Раут, статья 447.
58. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: "Chaînette - partie 3 : longueur". YouTube .
59. Раут Арт 443, стр. 318
60. Согласно Рауту, статья 450
61. Согласно Рауту, статья 452
62. Айра Фримен исследовал случай, когда только кабель и дорога имеют значение, см. раздел Внешние ссылки. Раут приводит случай, когда только поддерживающие провода имеют значительный вес в качестве упражнения.
63. Согласно Рауту, статья 453
64. Pu, Mingbo; Li, Xiong; Ma, Xiaoliang; Luo, Xiangang (2015). «Цепная оптика для ахроматической генерации идеального оптического углового момента». Science Advances . 1 (9): e1500396. Bibcode : 2015SciA....1E0396P. doi : 10.1126/sciadv.1500396. PMC 4646797. PMID  26601283 . 
65. Раут, статья 489
66. Раут, статья 494
67. Согласно Рауту, статья 500
68. Согласно Рауту, статья 455.

Библиография

• Локвуд, Э. Х. (1961). «Глава 13: Трактриса и цепная линия». Книга кривых . Кембридж.
• Салмон, Джордж (1879). Высшие плоские кривые. Ходжес, Фостер и Фиггис. С. 287–289.
• Раут, Эдвард Джон (1891). "Глава X: О струнах". Трактат об аналитической статике . University Press.
• Маурер, Эдвард Роуз (1914). "Артикул 26 Цепной кабель". Техническая механика . J. Wiley & Sons.
• Лэмб, сэр Гораций (1897). "Ст. 134 Трансцендентные кривые; Цепная линия, трактриса". Элементарный курс исчисления бесконечно малых . University Press.
• Тодхантер, Айзек (1858). «XI Гибкие струны. Нерастяжимые, XII Гибкие струны. Растяжимые». Трактат об аналитической статике . Макмиллан.
• Уэвелл, Уильям (1833). "Глава V: Равновесие гибкого тела". Аналитическая статика . Дж. и Дж. Дж. Дейтон. стр. 65.
• Вайсштейн, Эрик В. «Цепная линия». MathWorld .

Дальнейшее чтение

• Светц, Франк (1995). Учитесь у мастеров. MAA. С. 128–9. ISBN 978-0-88385-703-8.
• Вентуроли, Джузеппе (1822). "Глава XXIII: О цепной линии". Элементы теории механики . Перевод Дэниела Крессвелла. J. Nicholson & Son.

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Цепная линия», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Цепная линия в PlanetMath .
• Калькулятор кривой цепной линии
• Цепная линия в Геометрическом центре
• "Цепная линия" в Иллюстрированном словаре специальных плоских кривых
• Цепная линия — цепи, арки и мыльные пленки.
• Калькулятор погрешности провисания кабеля – вычисляет отклонение от прямой линии кривой цепной линии и предоставляет вывод калькулятора и ссылки.
• Выведены динамические и статические уравнения столетней кривой – Выведены уравнения, определяющие форму (статический случай), а также динамику (динамический случай) столетней кривой. Решение обсуждаемых уравнений.
• Прямая линия, цепная линия, брахистохрона, окружность и унифицированный подход Ферма к некоторым геодезическим.
• Айра Фримен «Общая форма цепной линии подвесного моста» Бюллетень AMS