Циклическое подпространство

В математике , в линейной алгебре и функциональном анализе , циклическое подпространство — это некоторое специальное подпространство векторного пространства, связанное с вектором в векторном пространстве и линейным преобразованием векторного пространства. Циклическое подпространство, связанное с вектором v в векторном пространстве V и линейным преобразованием T из V, называется T -циклическим подпространством, порожденным v . Понятие циклического подпространства является базовым компонентом в формулировке теоремы о циклическом разложении в линейной алгебре.

Определение

Пусть будет линейным преобразованием векторного пространства и пусть будет вектором из . Циклическое подпространство из , порожденное , обозначается , является подпространством из , порожденным набором векторов . В случае, когда является топологическим векторным пространством , называется циклическим вектором для , если плотно в . Для частного случая конечномерных пространств это эквивалентно утверждению, что является всем пространством . ^[1] ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$

Существует еще одно эквивалентное определение циклических пространств. Пусть будет линейным преобразованием топологического векторного пространства над полем и будет вектором в . Множество всех векторов вида , где — многочлен в кольце всех многочленов в над , является -циклическим подпространством, порожденным . ^[1] ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g(T)v}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle v}$

Подпространство является инвариантным подпространством для в том смысле, что . ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle TZ(v;T)\subset Z(v;T)}$

Примеры

1. Для любого векторного пространства и любого линейного оператора в циклическое подпространство , порожденное нулевым вектором, является нулевым подпространством . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$
2. Если — тождественный оператор , то каждое -циклическое подпространство одномерно. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
3. ${\displaystyle Z(v;T)}$является одномерным тогда и только тогда, когда является характеристическим вектором (собственным вектором) . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$
4. Пусть — двумерное векторное пространство, а — линейный оператор в , представленный матрицей относительно стандартного упорядоченного базиса . Пусть . Тогда . Следовательно , и поэтому . Таким образом, — циклический вектор для . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle Tv={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad T^{2}v=0,\ldots ,T^{r}v=0,\ldots }$ ${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle Z(v;T)=V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$

Матрица-компаньон

Пусть — линейное преобразование -мерного векторного пространства над полем и — циклический вектор для . Тогда векторы ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\}}$

образуют упорядоченный базис для . Пусть характеристический полином для будет ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$.

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}}$

Поэтому относительно упорядоченного базиса оператор представляется матрицей ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

Эта матрица называется сопутствующей матрицей полинома . ^[1] ${\displaystyle p(x)}$

Смотрите также

• Матрица-компаньон
• Подпространство Крылова

Внешние ссылки

• PlanetMath: циклическое подпространство

Ссылки

1. Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. стр. 227. ISBN 9780135367971. МР  0276251.