Цюань Хайцзин

Мастер-фигура в Морском зеркале измерений круга , которая использует все проблемы. На нем изображен круглый город, вписанный в прямоугольный треугольник и квадрат.

Цейюань хайцзин ( упрощенный китайский :测圆海镜; традиционный китайский :測圓海鏡; пиньинь : cè yuán hǎi jìng ; букв. «морское зеркало измерений круга») - трактат о решении геометрических задач с помощью алгебры Тянь юань шу. написанная математиком Ли Чжи в 1248 году во времена Монгольской империи . Это набор из 692 формул и 170 задач, полученных на основе одной и той же диаграммы круглого города, вписанного в прямоугольный треугольник и квадрат. В них часто участвуют два человека, которые идут по прямым линиям, пока не смогут увидеть друг друга, встретиться или достичь дерева или пагоды в определенном месте. Это книга по алгебраической геометрии, цель которой — изучение сложных геометрических отношений с помощью алгебры.

Большинство задач геометрии решаются с помощью полиномиальных уравнений, которые представлены с использованием метода, называемого Тянь Юань Шу , «метода массива коэффициентов» или буквально «метода небесного неизвестного». Ли Чжи — самый ранний из сохранившихся источников этого метода, хотя в той или иной форме он был известен и до него. Это позиционная система стержневых цифр для обозначения полиномиальных уравнений .

Цеюань хайцзин был впервые представлен на Западе британским протестантским христианским миссионером в Китае Александром Уайли в его книге «Заметки о китайской литературе» , 1902 год. Он писал:

На первой странице представлена ​​схема круга, заключенного в треугольнике, разбитом на 15 фигур; Затем даются определения и соотношения нескольких частей, а затем следуют 170 задач, в которых принципы новой науки имеют преимущество. Повсюду есть изложение и схолии автора. ^[1]

Этот трактат состоит из 12 томов.

Том 1

Реконструированная схема круглого города в алфавитах

Схема круглого города

Монография начинается с основной диаграммы под названием «Диаграмма Круглого города» (圆城图式). На нем изображен круг, вписанный в прямоугольный треугольник и четыре горизонтальные линии, четыре вертикальные линии.

• TLQ, большой прямоугольный треугольник с горизонтальной линией LQ, вертикальной линией TQ и гипотенузой TL.

C: Центр круга:

• NCS: вертикальная линия, проходящая через C, пересекает круг и линию LQ в точке N (南северная сторона городской стены), пересекает южную сторону круга в точке S (南).
• NCSR, продолжение линии NCS до пересечения гипотенузы TL в точке R(日)
• WCE: горизонтальная линия, проходящая через центр C, пересекает окружность и линию TQ в точке W (西, западная сторона городской стены) и окружность в точке E (东, восточная сторона городской стены).
• WCEB: продолжение линии WCE до пересечения гипотенузы в точке B (川)
• KSYV: горизонтальная касательная в точке S, пересекает линию TQ в точке K(坤), гипотенузу TL в точке Y(月).
• HEMV: вертикальная касательная окружности в точке E, пересекает линию LQ в точке H, гипотенузу в точке M(山, гора)
• HSYY, KSYV, HNQ, QSK образуют квадрат с вписанным кругом C.
• Линия YS, вертикальная линия от Y, пересекает линию LQ в точке S (泉, пружина).
• Линия BJ, вертикальная линия из точки B, пересекает линию LQ в точке J (夕, ночь).
• RD, горизонтальная линия, идущая от R, пересекает линию TQ в точке D(旦, день).

Направления Север, Юг, Восток и Запад на диаграмме Ли Чжи противоположны нашему нынешнему условию.

Треугольники и их стороны

Всего существует пятнадцать прямоугольных треугольников, образованных пересечением треугольника TLQ, четырех горизонтальных линий и четырех вертикальных линий.

Названия этих прямоугольных треугольников и их сторон сведены в следующую таблицу.

В задачах с тома 2 по том 12 названия этих треугольников используются очень кратко. Например

«明差», «Разница МИН» относится к «разнице между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника МИН.

«叀差», «Разница ЧЖУАН» относится к «разнице между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника ЧЖУАН».

«明差叀差并» означает «сумма разницы МИН и разницы ЧЖУАНЬ». ${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$

Длина сегментов линии

В этом разделе (今问正数) указаны длины отрезков прямой, сумма и разность, а также их комбинации на диаграмме круглого города, учитывая, что радиус вписанной окружности r равен шагам , . ${\displaystyle r=120}$ ${\displaystyle a_{1}=320}$ ${\displaystyle b_{1}=640}$

13 сегментов i-го треугольника (i = от 1 до 15):

1. Гипотенеза ${\displaystyle c_{i}}$
2. Горизонтальный ${\displaystyle a_{i}}$
3. Вертикальный ${\displaystyle b_{i}}$
4. :勾股和 :сумма горизонтальных и вертикальных ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$
5. :勾股校: разница вертикали и горизонтали ${\displaystyle b_{i}-a_{i}}$
6. :勾弦和: сумма горизонтали и гипотенузы. ${\displaystyle a_{i}+c_{i}}$
7. :勾弦校: разность гипотенузы и горизонтали. ${\displaystyle c_{i}-a_{i}}$
8. :股弦和: сумма гипотенузы и вертикали. ${\displaystyle b_{i}+c_{i}}$
9. :股弦校: разность гипотенузы и вертикали. ${\displaystyle c_{i}-b_{i}}$
10. :弦校和: сумма разности и гипотенузы ${\displaystyle c_{i}+(b_{i}-a_{i})}$
11. :弦校校: разность гипотенузы и разность ${\displaystyle c_{i}-(b_{i}-a_{i})}$
12. :弦和和: суммировать гипотенузу и сумму вертикальных и горизонтальных ${\displaystyle a_{i}+b_{i}+c_{i}}$
13. :弦和校: разность суммы горизонталей и вертикалей с гипотенузой. ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$

Среди пятнадцати прямоугольных треугольников есть два набора одинаковых треугольников:

${\displaystyle \triangle TRD}$"= " ${\displaystyle \triangle RMZ}$

${\displaystyle \triangle YSG}$"=" ${\displaystyle \triangle BLJ}$

то есть

${\displaystyle a_{6}=a_{7}}$;

${\displaystyle b_{6}=b_{7}}$;

${\displaystyle c_{6}=c_{7}}$;

${\displaystyle a_{8}=a_{9}}$;

${\displaystyle b_{8}=b_{9}}$;

${\displaystyle c_{8}=c_{9}}$;

Номера сегментов

Всего 15 x 13 =195 термов, их значения приведены в таблице 1: ^[2]

Таблица сегментов 1

Определения и формулы

Разная формула

^[3]

1. ${\displaystyle (c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})}$" = " ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
2. ${\displaystyle a_{10}*b_{11}}$"=" ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
3. ${\displaystyle a_{13}*b_{1}}$"=" ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
4. ${\displaystyle a_{1}*b_{13}}$"=" ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
5. ${\displaystyle b_{2}*b_{15}}$"=" ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
6. ${\displaystyle a_{14}*a_{3}}$"=" ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
7. ${\displaystyle a_{5}*b_{4}}$"=" ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
8. ${\displaystyle a_{8}*b_{6}}$"=" ${\displaystyle a_{9}*b_{7}}$ ${\displaystyle =(r_{1})^{2}}$
9. ${\displaystyle (b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})}$"=" ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
10. ${\displaystyle c_{6}*c_{8}}$= = ${\displaystyle c_{7}*c_{9})}$ ${\displaystyle a_{13}*b_{13}}$
11. ${\displaystyle }$

Пять сумм и пять различий

1. ${\displaystyle a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}}$^[4]
2. ${\displaystyle a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}}$
3. ${\displaystyle a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}}$
4. ${\displaystyle a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}}$
5. ${\displaystyle a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}}$
6. ${\displaystyle a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}}$
7. ${\displaystyle a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}}$
8. ${\displaystyle a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}}$
9. ${\displaystyle a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}}$
10. ${\displaystyle a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}}$
11. ${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}}$
12. ${\displaystyle a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}}$
13. ${\displaystyle a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}}$
14. ${\displaystyle a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}}$

• ${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=2*(b_{12}-a_{12})}$
• ${\displaystyle a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=b_{7}}$

Ли Чжи вывел в Цэюань Хайцзин в общей сложности 692 формулы. Восемь формул неверны, остальные все верны ^[5]

С тома 2 по том 12 имеется 170 задач, каждая из которых использует несколько избранных из этих формул для формирования полиномиальных уравнений от 2-го до 6-го порядка. На самом деле существует 21 задача, дающая полиномиальное уравнение третьего порядка, 13 задач, дающих полиномиальное уравнение 4-го порядка, и одна задача, дающая полиномиальное уравнение 6-го порядка ^[6]

Том 2

Этот том начинается с общей гипотезы ^[7]

Все последующие 170 задач посвящены определению радиуса или диаметра круглого города с учетом нескольких отрезков или их суммы или разности. Все проблемы имеют более или менее один и тот же формат; он начинается с вопроса, за которым следует описание алгоритма, а иногда и пошаговое описание процедуры.

Девять типов вписанной окружности

Первые десять задач были решены без использования Тянь юань шу. Эти проблемы связаны с различными типами вписанной окружности.

Вопрос 1

Двое мужчин А и Б начинают игру из угла Q. А проходит на восток 320 шагов и стоит на месте. B проходит 600 шагов на юг и видит B. Каков диаметр круглого города?

Ответ: Диаметр круглого города 240 шагов.

Это проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle TLQ}$

Алгоритм: ${\displaystyle d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}}$

${\displaystyle ={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240}$

вопрос 2

Двое мужчин А и Б стартуют от западных ворот. B проходит на восток 256 шагов, A проходит на юг 480 шагов и видит B. Каков диаметр города?

Ответить 240 шагов

Это проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle TWB}$

Из таблицы 1: 256 = ; 480 = ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Алгоритм:

${\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}$

${\displaystyle ={2*256*480 \over 256+600+{\sqrt {(}}256^{+}600^{2})}=240}$

Вопрос 3

проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle RDN}$

${\displaystyle {2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d}$

Вопрос 4: проблема с вписанным кругом, связанная с ${\displaystyle \triangle RSC}$

${\displaystyle {2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d}$

Вопрос 5: проблема с вписанным кругом, связанная с ${\displaystyle \triangle TWB}$

${\displaystyle {2a\times b \over a+b}=d}$

Вопрос 6

${\displaystyle {2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d}$

Вопрос 7

${\displaystyle {2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d}$

Вопрос 8

${\displaystyle {2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d}$

Вопрос 9

${\displaystyle {2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d}$

Вопрос 10

${\displaystyle {2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d}$

Тянь Юань Шу

Циюань Хайцзин, том II, подробная процедура задачи 14 (草曰)

Начиная с задачи 14, Ли Чжи ввел «Тянь юань один» как неизвестную переменную и составил два выражения в соответствии с определением раздела и формулой , а затем приравнял эти два выражения тянь юань шу. Затем он решил задачу и получил ответ.

Вопрос 14: «Предположим, человек вышел из западных ворот и направился на юг на 480 шагов и встретил дерево. Затем он вышел из северных ворот, направляясь на восток, на 200 шагов и увидел то же самое дерево. Каков радиус собственного круга? ?"

Алгоритм: установите радиус как единицу Тянь юаня, поместите на полу счетные стержни , обозначающие 480 шагов на юг, вычтите радиус Тянь юаня, чтобы получить

: ${\displaystyle 480-x}$

元

。

Затем вычтите тянь юаней из числа шагов на восток 200, чтобы получить:

${\displaystyle 200-x}$

元

умножьте эти два выражения, чтобы получить: ${\displaystyle x^{2}-680x+96000}$

元

元

то есть ${\displaystyle x^{2}-680x+96000=2x^{2}}$

таким образом: ${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

Решите уравнение и получите ${\displaystyle r=120}$

Том 3

17 проблем связанных с сегментом т.е. TW в ^[8] ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle \triangle TWB}$

Пары с , пары с и пары с в задачах с одинаковым номером тома 4. Другими словами, например, замена задачи 2 в томе 3 на превращает ее в задачу 2 тома 4. ^[9] ${\displaystyle a_{10}}$ ${\displaystyle b_{11}}$ ${\displaystyle a_{11}}$ ${\displaystyle b_{10}}$ ${\displaystyle a_{15}}$ ${\displaystyle b_{14}}$ ${\displaystyle a_{11}}$ ${\displaystyle b_{10}}$

Том 4

17 задач, даны и второй сегмент, найдите диаметр круглого города. ^[10] ${\displaystyle a_{3}}$

。

Том 5

18 задач, учитывая 。^[10] ${\displaystyle b_{1}}$

Том 6

18 задач.

Даны Q1-11, 13-19 и второй отрезок, найдите диаметр d. ^[10] ${\displaystyle a_{1}}$

Q12: Учитывая еще один отрезок, найдите диаметр d. ${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$

Том 7

18 задач по двум отрезкам найти диаметр круглого города ^[11]

Том 8

17 задач по нахождению диаметра круглого города с учетом трех-восьми отрезков или их суммы или разности. ^[12]

Задача 14

Учитывая, что сумма разницы GAO и разницы MING составляет 161 шаг, а сумма разницы MING и разницы ZHUAN составляет 77 шагов. Каков диаметр круглого города?

Ответ: 120 шагов.

Алгоритм: ^[13]

Данный

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161}$

${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77}$

:Сложите эти два элемента и разделите на 2; согласно #Определениям и формуле это соответствует разнице HUANGJI:

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2}$ ${\displaystyle =(b_{12}-a_{12})}$

${\displaystyle b_{12}-a_{12}=}$ ${\displaystyle 161+77 \over 2}$ ${\displaystyle =119}$

Пусть Тянь Юань будет горизонталью ШАНПИН (SG):

${\displaystyle x=a_{8}}$

${\displaystyle x+161}$"=" ${\displaystyle x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$

${\displaystyle =b_{7}}$(#Определение и формула)

Поскольку (Определение и формула) ${\displaystyle a_{8}+b_{7}=c_{12}}$

${\displaystyle c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161}$

${\displaystyle c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921}$

${\displaystyle c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+25921-}$ ${\displaystyle ((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+11760=d}$(диаметр круглого города),

${\displaystyle d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

Теперь умножьте длину RZ на ${\displaystyle 4*x}$

${\displaystyle 4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x}$

умножьте его на квадрат RS:

${\displaystyle d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=}$ ${\displaystyle (4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=}$ ${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]}$

приравнять выражения для двух ${\displaystyle d^{2}}$

таким образом

${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]=}$ ${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

Мы получаем:

${\displaystyle 9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0}$

решим ее и получим ; ${\displaystyle x=a_{8}=64}$

Это соответствует горизонтали 8-го треугольника SHANGPING в числах #Segment. ^[14]

Том 9

Часть I

Часть II

Том 10

8 задач ^[15]

Том 11

：Разные 18 задач：^[16]

Том 12

14 задач на дроби ^[17]

Исследовать

В 1913 г. французский математик Л. ван Хоэ написал статью о цеюаньском хайцзин. В 1982 году К. Чемла к.т.н. диссертация «Этюд дю Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye». 1983, профессор математики Сингапурского университета Лам Лей Йонг: Китайские полиномиальные уравнения в тринадцатом веке.

Сноски

1. Александр Уайли, Заметки о китайской литературе , Шанхай, стр. 116, перепечатано Kessinger Publishing.
2. Составлено из Кун Гопина, стр. 62-66.
3. Бай Шаншу стр. 24-25.
4. У Вэньцзюнь Глава II стр. 80
5. Бай Шаншу, стр. 3, Предисловие
6. У Вэньцзюнь, стр. 87
7. Бай Шаншоу, стр. 153-154.
8. Ли Янь стр.75-88
9. Марцлофф, стр. 147.
10. Ли Ян стр. 88-101
11. Конг Гопин стр. 169-184.
12. Конг Гопин стр. 192-208.
13. Бай Шаншу, стр. 562-566.
14. Сноска : В задаче 14 тома 8 Ли Чжи останавливается на x = 64. Однако ответ очевиден, как из формулы № 8 в #Разное формулы: , так и из #Длина отрезков линии , таким образом , можно легко получить радиус круглого города. По сути, задача 6 тома 11 представляет собой именно такой вопрос о данных и , чтобы найти радиус круглого города. ${\displaystyle a_{9}*b_{7}=r^{2}}$ ${\displaystyle a_{8}=a_{9}}$ ${\displaystyle a_{8}*b_{7}=r^{2}}$ ${\displaystyle a_{8}}$ ${\displaystyle b_{7}}$
15. Конг Гопин стр. 220-224.
16. Конг Гопин, стр. 234-248.
17. P255-263

Рекомендации

• Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики , Springer, 1997, ISBN  3-540-33782-2
• Конг Гопин, Путеводитель по Цэюань Хайцзин , Hubei Education Press, 1966, 孔国平. 《今圆海镜今导读》 《今问正数》 湖北教育出版社. 1995 год
• Бай Шаншу: современный китайский перевод Ли Е Цюань Хайцзин . Shandong Education Press, 1985. 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 山东教育出版社. 1985 г.
• У Вэньцзюнь. Большая серия по истории китайской математики, том 6 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第六卷
• Ли Янь, Историческое исследование Цейюань Хайцзин, собрание сочинений Ли Яня и Цянь Баокуна, том 8《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8,李俨《测圆海镜研究历程考》