Чарльз Лоунер

Американский математик (1893–1968).

Чарльз Лоунер (29 мая 1893 — 8 января 1968) — американский математик . Его звали Карел Лёвнер по-чешски и Карл Лёвнер по-немецки.

Карл Лёвнер родился в еврейской семье в Лани, примерно в 30 км от Праги, где его отец Зигмунд Лёвнер был владельцем магазина. ^{[1] [2]}

Лёвнер получил докторскую степень. из Пражского университета в 1917 году под руководством Георга Пика . Одним из его центральных математических вкладов является доказательство гипотезы Бибербаха в первом весьма нетривиальном случае третьего коэффициента. Представленная им техника, дифференциальное уравнение Лёвнера , имела далеко идущие последствия в геометрической теории функций ; он был использован Луи де Бранжем в окончательном решении гипотезы Бибербаха в 1985 году. Левнер работал в Берлинском университете , Пражском университете , Университете Луисвилля , Университете Брауна , Сиракузском университете и, в конечном итоге, в Стэнфордском университете . Среди его учеников Липман Берс , Роджер Хорн , Адриано Гарсиа и П.М. Пу .

Неравенство тора Лёвнера

В 1949 году Лёвнер доказал свое неравенство тора о том, что каждая метрика на 2-торе удовлетворяет оптимальному неравенству

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),}$

где sys — его систола . Краевой случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемому равностороннему тору , т. е. тору, группа преобразований колоды которого представляет собой в точности шестиугольную решетку , натянутую кубическими корнями из единицы в . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Матричная теорема Лёвнера

Матрица Лёвнера (в линейной алгебре ) представляет собой квадратную матрицу или, более конкретно, линейный оператор (действительных функций), связанный с двумя входными параметрами, состоящими из (1) действительной непрерывно дифференцируемой функции на подинтервале действительных чисел и (2) ) -мерный вектор с элементами, выбранными из подинтервала; двум входным параметрам присваивается выходной параметр, состоящий из матрицы. ^[3] ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

Пусть – действительная функция, непрерывно дифференцируемая на отрезке . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Для любого определите разделенную разность at как ${\displaystyle s,t\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle f^{[1]}(s,t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}},&{\text{if }}s\neq t\\f'(s),&{\text{if }}s=t\end{cases}}}$.

Учитывая , что матрица Лёвнера, связанная с for, определяется как матрица , -элементом которой является . ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle f^{[1]}(t_{i},t_{j})}$

В своей фундаментальной статье 1934 года Лёвнер доказал, что для каждого положительного целого числа , является -монотонным тогда и только тогда, когда является положительно полуопределенным для любого выбора . ^{[3] [4] [5]} Наиболее важно, используя эту эквивалентность, он доказал, что -монотонно для всех тогда и только тогда, когда является вещественно-аналитическим с аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость, которая имеет положительную мнимую часть в верхней самолет. См. Оператор монотонной функции . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывные группы

«Во время визита [Лёвнера] в Беркли в 1955 году он прочитал курс по непрерывным группам , и его лекции были воспроизведены в виде дублированных конспектов. Лёвнер планировал написать подробную книгу о непрерывных группах на основе этих конспектов лекций, но проект все еще не был реализован. на стадии формирования на момент его смерти». Харли Фландерс и Мюррей Х. Проттер «решили пересмотреть и исправить оригинальные конспекты лекций и сделать их доступными в постоянной форме». ^[6] Чарльз Лоунер: Теория непрерывных групп (1971) была опубликована The MIT Press , ^[7] и переиздана в 2008 году. ^[8]

В терминологии Левнера, если и групповое действие выполняется над , то называется количеством (стр. 10). Различают абстрактную группу и ее реализацию в терминах линейных преобразований , дающих представление группы . Эти линейные преобразования обозначаются якобианами (стр. 41). Термин «инвариантная плотность» используется для обозначения меры Хаара , которую Левнер приписывает Адольфу Гурвицу (стр. 46). Лёвнер доказывает, что компактные группы имеют равные плотности левых и правых инвариантов (стр. 48). ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle J({\overset {u}{v}})}$

Рецензент сказал: «Читателю помогают поясняющие примеры и комментарии о взаимосвязях с анализом и геометрией». ^[9]

Смотрите также

• Эллипсоид Лёвнера-Джона
• Эволюция Шрамма – Лёвнера
• Случайное блуждание со стиранием цикла
• Систолы поверхностей

Рекомендации

• Бергер, Марсель : À l'ombre de Loewner. (Французский) Энн. наук. Эколь Норм. Как дела. (4) 5 (1972), 241–260.
• Лёвнер, Чарльз; Ниренберг, Луи: Уравнения в частных производных, инвариантные относительно конформных или проективных преобразований. Вклад в анализ (сборник статей, посвященный Липману Берсу), стр. 245–272. Академик Пресс, Нью-Йорк, 1974.

1. Биография Лёвнера
2. 2.2 Чарльз Лёвнер
3. Хиай, Фумио; Сано, Такаши (2012). «Матрицы Лёвнера матричных выпуклых и монотонных функций». Журнал Математического общества Японии . 54 (2): 343–364. arXiv : 1007.2478 . дои : 10.2969/jmsj/06420343. S2CID  117532480.
4. Лёвнер, Карл (1934). «Убер монотонные матричные функции». Mathematische Zeitschrift . 38 (1): 177–216. дои : 10.1007/BF01170633. S2CID  121439134.
5. Лёвнер, Чарльз (1950). «Некоторые классы функций, определяемые разностными или дифференциальными неравенствами». Бык. амер. Математика. Соц . 56 (4): 308–319. дои : 10.1090/S0002-9904-1950-09405-1 .
6. Предисловие, страница ix
7. Лёвнер, Чарльз (1971). Теория непрерывных групп . ISBN 0-262-06-041-8.
8. Лёвнер, Чарльз; Фландерс, Харли; Проттер, Мюррей Х. (2008). Дуврское переиздание. ISBN 9780486462929.
9. Дин Монтгомери MR 0315038

Внешние ссылки

• Мемориальная резолюция Стэнфорда
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Чарльз Лоунер», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс