Частичная обратная матрица

В линейной алгебре и статистике частичная обратная матрица — это операция, связанная с исключением Гаусса, которая имеет приложения в численном анализе и статистике. Различные авторы также называют его основным поворотным преобразованием или оператором развертки , вращения или обмена .

Дана матрица в векторном пространстве , разделенном на блоки: ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$

Если обратимо, то частичная инверсия вокруг поворотного блока создается путем инвертирования , помещения дополнения Шура вместо и соответствующей корректировки недиагональных элементов: ^[1] ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle A/A_{11}}$ ${\displaystyle A_{22}}$

${\displaystyle \operatorname {inv} _{1}A={\begin{pmatrix}(A_{11})^{-1}&-(A_{11})^{-1}A_{12}\\A_{21}(A_{11})^{-1}&A_{22}-A_{21}(A_{11})^{-1}A_{12}\end{pmatrix}}}$

Концептуально частичная инверсия соответствует повороту ^[2] графика матрицы , так что для конформно разбитых матриц-столбцов и : [ ^1] ${\displaystyle (X,AX)\in V\times V}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})^{T}}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})^{T}}$

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \operatorname {inv} _{1}(A){\begin{pmatrix}y_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

Согласно такому определению, этот оператор является обратным самому себе: , и если в качестве опорного блока выбрана вся матрица, то преобразование просто дает матрицу, обратную . Обратите внимание, что некоторые авторы определяют связанную операцию (под одним из других названий), которая сама по себе не является обратной; в частности, одно общее определение вместо этого имеет . ${\displaystyle \operatorname {inv} _{k}(\operatorname {inv} _{k}(A))=A}$ ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle (\operatorname {inv} _{k})^{2}(A)=-A}$

Преобразование часто представляется как ось вокруг одного ненулевого элемента , и в этом случае ${\displaystyle a_{kk}}$

${\displaystyle \left[\operatorname {inv} _{k}(A)\right]_{ij}={\begin{cases}{\frac {1}{a_{kk}}}&i=j=k\\-{\frac {a_{kj}}{a_{kk}}}&i=k,j\neq k\\{\frac {a_{ik}}{a_{kk}}}&i\neq k,j=k\\a_{ij}-{\frac {a_{ik}a_{kj}}{a_{kk}}}&i\neq k,j\neq k\end{cases}}}$

Частичные инверсии обладают рядом интересных свойств: ^[3]

• инверсии вокруг разных блоков коммутируют, поэтому более крупные повороты могут быть построены из последовательностей меньших.
• частичная инверсия сохраняет пространство симметричных матриц

Использование частичного обратного в численном анализе связано с тем, что существует некоторая гибкость в выборе поворотных точек, позволяющая избежать необратимых элементов, а также потому, что операция вращения ( графика повернутой матрицы) имеет лучшая численная стабильность, чем операция сдвига , которая неявно выполняется методом исключения Гаусса. ^[2] Использование в статистике связано с тем, что полученная матрица хорошо разбивается на блоки, которые имеют полезное значение в контексте линейной регрессии. ^[3]

Рекомендации

1. Цасомерос, MJ (2000). Основные сводные преобразования: свойства и приложения. Линейная алгебра и ее приложения, 307 (1-3), 151–165.
2. Развертка матрицы вращает ее график,
3. Чрезвычайно простые основные поворотные преобразования