Черная модель

Финансовая модель

Модель Блэка (иногда известная как модель Блэка-76 ) представляет собой вариант модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза . Его основные приложения – это определение цен на фьючерсные контракты , опционы на облигации , ограничение и минимальные процентные ставки , а также свопы . Впервые он был представлен в статье Фишера Блэка в 1976 году.

Модель Блэка можно обобщить в класс моделей, известных как логарифмически нормальные форвардные модели, также называемые рыночной моделью LIBOR .

Формула Блэка

Формула Блэка аналогична формуле Блэка-Шоулза для оценки опционов на акции , за исключением того, что спотовая цена базового актива заменяется дисконтированной фьючерсной ценой F.

Предположим, что существует постоянная безрисковая процентная ставка r , а фьючерсная цена F(t) конкретного базового актива логарифмически нормальна с постоянной волатильностью σ . Тогда формула Блэка утверждает, что цена европейского опциона колл со сроком погашения T на фьючерсный контракт с ценой исполнения K и датой поставки T' (с ) равна ${\displaystyle T'\geq T}$

${\displaystyle c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]}$

Соответствующая цена пут равна

${\displaystyle p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]}$

где

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},}$

и – кумулятивная функция нормального распределения . ${\displaystyle N(\cdot )}$

Обратите внимание, что T' не появляется в формулах, даже если оно может быть больше T . Это связано с тем, что фьючерсные контракты привязаны к рынку, и поэтому выплата реализуется при исполнении опциона. Если мы рассмотрим опцион на форвардный контракт , срок действия которого истекает в момент T' > T , выплата не произойдет до тех пор, пока T' . При этом коэффициент дисконтирования заменяется на , поскольку необходимо учитывать временную стоимость денег . Разница в двух случаях очевидна из приведенного ниже вывода. ${\displaystyle e^{-rT}}$ ${\displaystyle e^{-rT'}}$

Вывод и предположения

Формула Блэка легко выводится из формулы Марграбе , которая, в свою очередь, представляет собой простое, но умное применение формулы Блэка-Шоулза .

Выплата по опциону колл на фьючерсный контракт равна . Мы можем рассматривать это как вариант обмена (Марграбе), рассматривая первый актив как безрисковые облигации, а второй как безрисковые облигации с выплатой 1 доллара за раз . Тогда опцион колл исполняется в тот момент , когда стоимость первого актива превышает стоимость безрисковых облигаций. Эти активы удовлетворяют предположениям формулы Марграбе. ${\displaystyle \max(0,F(T)-K)}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Осталось проверить, действительно ли первый актив является активом. В этом можно убедиться, рассмотрев портфель, сформированный в момент времени 0 путем открытия длинной позиции по форвардному контракту с датой поставки и длинным безрисковым облигациям (обратите внимание, что при детерминированной процентной ставке форвардные и фьючерсные цены равны, поэтому здесь нет никакой двусмысленности). Затем в любой момент вы можете аннулировать свои обязательства по форвардному контракту, закоротив другой форвардный контракт с той же датой поставки, чтобы получить разницу в форвардных ценах, но дисконтированную до приведенной стоимости: . Ликвидация безрисковых облигаций, каждая из которых стоит ₽ , приводит к чистой выплате в размере ₽ . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(0)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]}$ ${\displaystyle F(0)}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$

Смотрите также

• Финансовая математика
• Блэк – Скоулз
• Описание приложений
  • Опцион облигации #Оценка
  • Фьючерсный контракт #Опционы на фьючерсы
  • Потолок и нижний предел процентной ставки #Черная модель
  • Обмен #Оценка

Рекомендации

• Блэк, Фишер (1976). Цены на товарные контракты, Журнал финансовой экономики, 3, 167-179.
• Гарман, Марк Б. и Стивен В. Кольхаген (1983). Стоимость опционов в иностранной валюте, Журнал международных денег и финансов, 2, 231–237.
• Милтерсен К., Сандманн К. и Сондерманн Д. (1997): «Решения в закрытой форме для производных временной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками», Journal of Finance, 52 (1), 409-430.

Внешние ссылки

Обсуждение

• Опционы на облигации, кепки и черная модель Доктор Милика Кудина, Техасский университет в Остине

Онлайн-инструменты

• Калькулятор Caplet и Floorlet Доктор Шинг Хинг Ман, Управление рисками Thomson-Reuters