В финансовой математике модель Блэка–Карасински — это математическая модель временной структуры процентных ставок ; см. модель краткосрочной ставки . Это однофакторная модель, поскольку она описывает изменения процентных ставок как обусловленные одним источником случайности. Она относится к классу моделей без арбитража, то есть она может соответствовать сегодняшним ценам на облигации с нулевым купоном , а в наиболее общей форме — сегодняшним ценам на набор пределов, полов или европейских свопционов . Модель была представлена Фишером Блэком и Петром Карасински в 1991 году.
Основной переменной состояния модели является краткосрочная ставка, которая, как предполагается, следует стохастическому дифференциальному уравнению (при нейтральной по отношению к риску мере ):
где dW t — стандартное броуновское движение . Модель подразумевает логнормальное распределение для краткосрочной ставки, и поэтому ожидаемая стоимость счета денежного рынка бесконечна для любого срока погашения.
В оригинальной статье Фишера Блэка и Петра Карасинского модель была реализована с использованием биномиального дерева с переменным шагом, но на практике более распространена реализация триномиального дерева , как правило, логнормальное применение решетки Халла–Уайта .
Модель используется в основном для ценообразования экзотических процентных деривативов, таких как американские и бермудские опционы на облигации и свопционы , после того как ее параметры были откалиброваны в соответствии с текущей временной структурой процентных ставок и ценами или подразумеваемой волатильностью пределов , полов или европейских свопционов. Численные методы (обычно деревья) используются на этапе калибровки, а также для ценообразования. Ее также можно использовать при моделировании риска дефолта по кредиту , где краткосрочная ставка Блэка-Карасинского выражает (стохастическую) интенсивность событий дефолта, вызванных процессом Кокса ; гарантированные положительные ставки являются здесь важной особенностью модели. Недавняя работа по методам возмущения в кредитных деривативах показала, как аналитические цены могут быть удобно выведены во многих таких обстоятельствах, а также для процентных опционов.
![{\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffb43ea6f0749f138f20f14dc9f67f0c1a4f16d)