Векторные поля на сферах

Сколько линейно независимых гладких векторных полей, не имеющих нуля, может быть на n-мерной сфере?

В математике обсуждение векторных полей на сферах было классической проблемой дифференциальной топологии , начиная с теоремы о волосатом шаре и ранних работ по классификации алгебр с делением .

В частности, вопрос заключается в том, сколько линейно независимых гладких нигде не нулевых векторных полей можно построить на сфере в -мерном евклидовом пространстве . Окончательный ответ был дан в 1962 году Фрэнком Адамсом . Было уже известно ^[1] путем прямого построения с использованием алгебр Клиффорда , что существуют по крайней мере такие поля (см. определение ниже). Адамс применил гомотопическую теорию и топологическую K-теорию ^[2], чтобы доказать, что больше независимых векторных полей найти нельзя. Отсюда — точное число точечно линейно независимых векторных полей, которые существуют на ( )-мерной сфере. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho (n)-1}$ ${\displaystyle \rho (n)-1}$ ${\displaystyle n-1}$

Технические подробности

В деталях, вопрос относится к «круглым сферам» и их касательным расслоениям : фактически, поскольку все экзотические сферы имеют изоморфные касательные расслоения, числа Радона–Гурвица определяют максимальное число линейно независимых сечений касательного расслоения любой гомотопической сферы. Случай нечетного числа рассматривается теоремой Пуанкаре–Хопфа об индексе (см. теорему о волосатом шаре ), поэтому случай четного числа является ее расширением. Адамс показал, что максимальное число непрерывных ( гладких здесь не будет исключением) точечно линейно независимых векторных полей на ( )-сфере равно в точности . ${\displaystyle \rho (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \rho (n)-1}$

Конструкция полей связана с реальными алгебрами Клиффорда , которые являются теорией с периодичностью по модулю  8, которая также здесь проявляется. Согласно процессу Грама–Шмидта , это то же самое, что требовать (поточечную) линейную независимость или поля, которые дают ортонормированный базис в каждой точке.

Числа Радона–Гурвица

Числа Радона –Гурвица встречаются в более ранней работе Иоганна Радона (1922) и Адольфа Гурвица (1923) по проблеме Гурвица для квадратичных форм . ^[3] Для записи в виде произведения нечетного числа и степени двойки , запишите ${\displaystyle \rho (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2^{B}}$

${\displaystyle B=c+4d,0\leq c<4}$.

Тогда ^[3]

${\displaystyle \rho (n)=2^{c}+8d}$.

Первые несколько значений (из (последовательности A053381 в OEIS )): ${\displaystyle \rho (2n)}$

2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 9, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 10, ...

Для нечетных значение функции равно единице. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho (n)}$

Эти числа встречаются также в других смежных областях. В теории матриц число Радона–Гурвица подсчитывает максимальный размер линейного подпространства действительных матриц, для которого каждая ненулевая матрица является преобразованием подобия , т. е. произведением ортогональной матрицы и скалярной матрицы . В квадратичных формах проблема Гурвица требует мультипликативных тождеств между квадратичными формами. Классические результаты были пересмотрены в 1952 году Бено Экманом . Теперь они применяются в таких областях, как теория кодирования и теоретическая физика . ${\displaystyle n\times n}$

Ссылки

1. Джеймс, ИМ (1957). «Продукты Уайтхеда и векторные поля на сферах». Труды Кембриджского философского общества . 53 (4): 817–820. doi :10.1017/S0305004100032928. S2CID  119646042.
2. Адамс, Дж. Ф. (1962). «Векторные поля на сферах». Annals of Mathematics . 75 (3): 603–632. doi :10.2307/1970213. JSTOR  1970213. Zbl  0112.38102.
3. Rajwade, AR (1993). Квадраты . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 171. Cambridge University Press . стр. 127. ISBN 0-521-42668-5. Збл  0785.11022.

• Porteous, IR (1969). Топологическая геометрия . Van Nostrand Reinhold. стр. 336–352. ISBN 0-442-06606-6. Збл  0186.06304.
• Миллер, ХР "Векторные поля на сферах и т. д. (конспект курса)" (PDF) . Получено 10 ноября 2018 г. .