Число Фруда

Безразмерное число; отношение инерции потока жидкости к внешнему полю

В механике сплошных сред число Фруда ( Fr , по Уильяму Фруду , / ˈ f r uː d / ^[1] ) — безразмерное число , определяемое как отношение инерции потока к внешнему полю (последнее во многих приложениях просто из-за сила тяжести ). Число Фруда основано на отношении скорости к длине , которое он определил как: ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$$

uскорость потокаgвнешнее полеLхарактерная длиначислом Махагидродинамикеуравнения Эйлерауравнениями сохранения

Однако в военно-морской архитектуре число Фруда является важной величиной, используемой для определения сопротивления частично погруженного объекта, движущегося через воду.

Происхождение

Для потоков в открытых каналах Беланджер 1828 впервые ввел отношение скорости потока к квадратному корню из ускорения силы тяжести, умноженного на глубину потока. Когда отношение было меньше единицы, поток вёл себя как речное движение (т. е. докритический поток) и как ливневое движение потока, когда отношение было больше единицы. ^[4]

Корпуса лебедя (вверху) и ворона (внизу). Последовательность из 3, 6 и 12 (показанных на рисунке) моделей в масштабе футов была построена Фрудом и использована в испытаниях по буксировке для установления законов сопротивления и масштабирования.

Количественную оценку сопротивления плавучих объектов обычно приписывают Уильяму Фруду , который использовал серию масштабных моделей для измерения сопротивления, оказываемого каждой моделью при буксировке с заданной скоростью. Военно-морской конструктор Фредерик Рич гораздо раньше, в 1852 году, выдвинул концепцию испытаний кораблей и винтов, но Фруд не знал о ней. ^[5] Отношение скорости к длине было первоначально определено Фрудом в его «Законе сравнения» в 1868 году в терминах размеров как:

$${\displaystyle {\text{speed–length ratio}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$$

• u = скорость потока
• LWL = длина ватерлинии

Этот термин был преобразован в безразмерные термины и получил имя Фруда в знак признания проделанной им работы. Во Франции его иногда называют числом Рича – Фруда в честь Фредерика Рича. ^[6]

Определение и основное применение

Чтобы показать, как число Фруда связано с общей механикой сплошной среды, а не только с гидродинамикой , мы начнем с уравнения количества движения Коши в его безразмерной (безразмерной) форме.

Уравнение импульса Коши

Чтобы сделать уравнения безразмерными, необходимо определить характерную длину r ₀ и характеристическую скорость u _{0 .} Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные:

$${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения движения Эйлера и определение числа Фруда:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$

число Эйлера

$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

производной материала

Уравнение импульса Коши ( безразмерная конвективная форма )

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Уравнения типа Коши в высоком пределе Фруда Fr → ∞ (соответствующем пренебрежимо малому внешнему полю) называются свободными уравнениями . С другой стороны, в нижнем пределе Эйлера Eu → 0 (что соответствует незначительному напряжению) общее уравнение импульса Коши становится неоднородным уравнением Бюргерса (здесь мы явно указываем материальную производную ):

Уравнение Бюргерса ( безразмерная форма сохранения )

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Это неоднородное чистое уравнение адвекции в той же степени, в какой уравнение Стокса является чистым уравнением диффузии .

Уравнение импульса Эйлера

Уравнение импульса Эйлера представляет собой уравнение импульса Коши, в котором закон Паскаля является определяющим соотношением напряжения:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Свободные уравнения Эйлера консервативны. Таким образом, предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле) примечателен и может быть изучен с помощью теории возмущений .

Уравнение количества движения несжимаемой жидкости Навье – Стокса

Уравнение количества движения несжимаемой жидкости Навье – Стокса представляет собой уравнение количества движения Коши, в котором закон Паскаля и закон Стокса являются определяющими соотношениями напряжений:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$

^[7]

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Reчисло Рейнольдсадиссипативными

Другие приложения

Судовая гидродинамика

Волновая картина в зависимости от скорости, иллюстрирующая различные числа Фруда.

В морских гидродинамических приложениях число Фруда обычно обозначается обозначением Fn и определяется как: ^[8]

$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$

ugускорение свободного паденияLL _wlлобового сопротивлениясопротивления образованию волн

В случае глиссирующих судов, где длина ватерлинии слишком зависит от скорости, чтобы иметь значение, число Фруда лучше всего определять как число Фруда водоизмещения , а базовую длину принимают как кубический корень из объемного водоизмещения корпуса:

$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

Волны на мелководье

Для волн на мелководье, таких как цунами и гидравлические скачки , характерная скорость U представляет собой среднюю скорость потока, усредненную по поперечному сечению, перпендикулярному направлению потока. Скорость волны, называемая скоростью c , равна квадратному корню из гравитационного ускорения g , умноженному на площадь поперечного сечения A , деленному на ширину свободной поверхности B :

$${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$

d

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$

Fr < 1докритическимFr > 1сверхкритическоеFr ≈ 1,критическим

Ветротехника

При рассмотрении воздействия ветра на динамически чувствительные конструкции, такие как подвесные мосты, иногда необходимо смоделировать совместное воздействие вибрирующей массы конструкции с колебательной силой ветра. В таких случаях следует соблюдать число Фруда. Аналогично, при моделировании шлейфов горячего дыма в сочетании с естественным ветром масштабирование числа Фруда необходимо для поддержания правильного баланса между силами плавучести и импульсом ветра.

Аллометрия

Число Фруда также применялось в аллометрии для изучения передвижения наземных животных, ^[9] включая антилоп ^[10] и динозавров. ^[11]

Расширенное число Фруда

Геофизические массовые потоки, такие как лавины и селевые потоки, происходят на наклонных склонах, которые затем сливаются в пологие и плоские зоны схода. ^[12]

Таким образом, эти потоки связаны с поднятием топографических склонов, которые индуцируют потенциальную энергию силы тяжести вместе с потенциальной энергией давления во время течения. Следовательно, классическое число Фруда должно включать этот дополнительный эффект. В такой ситуации число Фруда необходимо переопределить. Расширенное число Фруда определяется как соотношение кинетической и потенциальной энергии:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$$

uβ = gK cos ζKкоэффициент давления грунтаζs _g = g sin ζxЭ ${\displaystyle x_{d}}$^п
_горшок= βhE^г
_горшок= s _g ( x _d − x )E^г
_горшокβhβh ≪ 1us _g ( x _d − x )βhFr

Танки с перемешиванием

При исследовании резервуаров с перемешиванием число Фруда определяет образование поверхностных вихрей. Поскольку скорость вершины крыльчатки равна ωr ( круговое движение ), где ω — частота крыльчатки (обычно в об/мин ), а r — радиус крыльчатки (в технике гораздо чаще используется диаметр), то число Фруда принимает следующий вид:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$

^[13]

Денсиметрическое число Фруда

При использовании в контексте приближения Буссинеска денсиметрическое число Фруда определяется как

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$

g ′

$${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

Разработчики моделей, которые хотят обезразмерить предпочтение скорости, обычно отдают предпочтение денсиметрическому числу Фруда, а не числу Ричардсона , которое чаще встречается при рассмотрении стратифицированных слоев сдвига. Например, передняя кромка гравитационного течения движется с передним числом Фруда около единицы.

Ходячее число Фруда

Число Фруда можно использовать для изучения тенденций в моделях походки животных. При анализе динамики передвижения ног ходячую конечность часто моделируют как перевернутый маятник , где центр массы проходит через дугу окружности с центром в стопе. ^[14] Число Фруда — это отношение центростремительной силы вокруг центра движения, стопы и веса идущего животного:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$

mlgускорение свободного паденияvскоростьl^{[15][14] [16]}

Число Фруда также можно рассчитать по частоте шагов f следующим образом: ^[15]

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

Если в качестве характеристической длины используется общая длина ноги, то теоретическая максимальная скорость ходьбы имеет число Фруда, равное 1,0, поскольку любое большее значение приведет к отталкиванию и отрыву стопы от земли. Типичная скорость перехода от прямоходящей ходьбы к бегу происходит при Fr ≈ 0,5 . ^[17] Р. М. Александер обнаружил, что животные разных размеров и масс, движущиеся с разной скоростью, но с одним и тем же числом Фруда, последовательно демонстрируют сходную походку. Это исследование показало, что животные обычно переходят с иноходи на симметричную беговую походку (например, рысь или темп) около числа Фруда, равного 1,0. Предпочтение асимметричной походке (например, галопу, поперечному галопу, вращающемуся галопу, скачку или прогулке) наблюдалось при числах Фруда от 2,0 до 3,0. ^[15]

Применение

Число Фруда используется для сравнения волнового сопротивления тел различных размеров и форм.

При течении со свободной поверхностью характер течения ( сверхкритический или докритический) зависит от того, больше или меньше единицы число Фруда.

Линию «критического» потока легко увидеть в раковине на кухне или в ванной. Оставьте его отключенным и дайте крану поработать. Вблизи места попадания потока воды в раковину течение становится сверхкритическим. Он «обнимает» поверхность и быстро движется. На внешней границе схемы течения течение докритическое. Этот поток толще и движется медленнее. Граница между двумя областями называется «гидравлическим прыжком». Скачок начинается там, где поток становится критическим и число Фруда равно 1,0.

Число Фруда использовалось для изучения тенденций в передвижении животных, чтобы лучше понять, почему животные используют разные модели походки ^[15] , а также для формирования гипотез о походках вымерших видов. ^[16]

Кроме того, поведение слоя частиц можно оценить количественно с помощью числа Фруда (Fr), чтобы установить оптимальное рабочее окно. ^[18]

Смотрите также

• Скорость потока  - векторное поле, которое используется для математического описания движения сплошной среды.
• Сила тела  - Сила, действующая по всему объему тела.
• Уравнение импульса Коши
• Уравнение Бюргерса  - Уравнение в частных производных
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)  - набор квазилинейных гиперболических уравнений, управляющих адиабатическим и невязким течением.
• Число Рейнольдса  - соотношение инерционных и вязких сил, действующих на жидкость.

Примечания

1. Merriam Webster Online (для брата Джеймса Энтони Фруда ) [1]
2. Ши 2009, с. 7.
3. Уайт 1999, с. 294.
4. Шансон 2009, стр. 159–163.
5. Норманд 1888, стр. 257–261.
6. Шансон 2004, с. xxvii.
7. Ши 2009.
8. Ньюман 1977, с. 28.
9. Александр, Р. Макнил (1 октября 2013 г.). «Глава 2. Поддержка тела, масштабирование и аллометрия». Функциональная морфология позвоночных . Издательство Гарвардского университета. стр. 26–37. doi : 10.4159/harvard.9780674184404.c2. ISBN 978-0-674-18440-4.
10. Александр, Р. МакН. (1977). «Аллометрия конечностей антилоп (Bovidae)». Журнал зоологии . 183 (1): 125–146. doi :10.1111/j.1469-7998.1977.tb04177.x. ISSN  0952-8369.
11. Александр, Р. Макнил (1991). «Как бегали динозавры». Научный американец . 264 (4): 130–137. Бибкод : 1991SciAm.264d.130A. doi : 10.1038/scientificamerican0491-130. ISSN  0036-8733. JSTOR  24936872.
12. Такахаши 2007, с. 6.
13. «Смешивание порошков — Конструкция порошковых смесителей — Ленточный блендер, Лопастной смеситель, Барабанный блендер, Число Фруда» . Powderprocess.net . нд . Проверено 31 мая 2019 г.
14. Vaughan & O'Malley 2005, стр. 350–362.
15. Александр 1984.
16. Селлерс и Мэннинг 2007.
17. Александр 1989.
18. Джикар, Дхоки и Шинде, 2021.

Рекомендации

• Александр, Р. МакН. (1984). «Походки двуногих и четвероногих животных». Международный журнал исследований робототехники . 3 (2): 49–59. дои : 10.1177/027836498400300205. S2CID  120138903.
• Александр, РМ (1989). «Оптимизация и походка в передвижении позвоночных». Физиологические обзоры . 69 (4): 1199–227. doi :10.1152/physrev.1989.69.4.1199. ПМИД  2678167.
• Беланжер, Жан Батист (1828). Essai sur la Solution numerique de quelques Issues Relatifs au Mouvement Permanent des Eaux Courantes [ Эссе о численном решении некоторых задач, связанных с устойчивым движением проточной воды ] (на французском языке). Париж: Карильян-Гёри.
• Шансон, Юбер (2004). Гидравлика потока в открытом канале: Введение (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 650. ИСБН 978-0-7506-5978-9.
• Шансон, Юбер (2009). «Разработка уравнения Беланжера и уравнения подпора Жаном-Батистом Беланже (1828 г.)» (PDF) . Журнал гидротехники . 135 (3): 159–63. дои : 10.1061/(ASCE) 0733-9429 (2009) 135: 3 (159).
• Джикар, ПК; Дхоки, Северная Каролина; Шинде, СС (2021). «Численное моделирование и экспериментальное исследование противоточного реактора с динамическим слоем частиц и его влияние на реакцию восстановления твердого газа и газа». Горное дело, металлургия и геологоразведка . Спрингер. 39 : 139–152. дои : 10.1007/s42461-021-00516-6. ISSN  2524-3462. S2CID  244507908.
• Ньюман, Джон Николас (1977). Морская гидродинамика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . ISBN 978-0-262-14026-3.
• Норманд, Дж. А. (1888). «О тонкости судов по размеру и скорости». Труды Учреждения корабельных архитекторов . 29 : 257–261.
• Селлерс, Уильям Ирвин; Мэннинг, Филип Ларс (2007). «Оценка максимальной скорости бега динозавров с помощью эволюционной робототехники». Труды Королевского общества B: Биологические науки . 274 (1626): 2711–6. дои :10.1098/rspb.2007.0846. JSTOR  25249388. PMC  2279215 . ПМИД  17711833.
• Ши, Ю.К. (весна 2009 г.), «Глава 6. Несжимаемое невязкое течение» (PDF) , Механика жидкости.
• Такахаси, Тамоцу (2007). Селевой поток: механика, прогноз и меры противодействия. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-203-94628-2.
• Воган, Кристофер Л.; О'Мэлли, Марк Дж. (2005). «Фруд и вклад военно-морской архитектуры в наше понимание двуногого передвижения». Походка и осанка . 21 (3): 350–62. дои : 10.1016/j.gaitpost.2004.01.011. ПМИД  15760752.
• Уайт, Фрэнк М. (1999). Механика жидкости (4-е изд.). WCB/МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-116848-9.

Внешние ссылки

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf