Число Эйзенштейна–Кронекера

Специальные числа в математике

В математике числа Эйзенштейна–Кронекера являются аналогом мнимых квадратичных полей обобщенных чисел Бернулли . ^{[1] [2] [3]} Они определяются в терминах классических рядов Эйзенштейна–Кронекера , которые изучались Кеничи Баннаи и Шиничи Кобаяши с использованием расслоения Пуанкаре . ^{[3] [4]}

Числа Эйзенштейна–Кронекера являются алгебраическими и удовлетворяют сравнениям , которые можно использовать при построении двухпеременных p -адических L -функций . ^{[3] [5]} Они связаны с критическими L -значениями характеров Гекке . ^{[1] [5]}

Определение

Когда A — площадь фундаментальной области, деленная на , где — решетка в : ^[5] когда , где и — комплексно сопряженное число z . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle e_{a,b}^{*}(z_{0},w_{0}):=\sum _{\gamma \in \Gamma \setminus \{-z_{0}\}}{\frac {({\bar {z_{0}}}+{\bar {\gamma }})^{a}}{(z_{0}+\gamma )^{b}}}\langle \gamma ,w_{0}\rangle _{\Gamma },}$$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}:=\mathbb {N} \cup \{0\},\,\{a,b\in \mathbb {N} _{0}:b>a+2\},\,z_{0},w_{0}\in \mathbb {C} ,}$
${\displaystyle \langle z,w\rangle _{\Gamma }:=e^{\frac {z{\overline {w}}-w{\overline {z}}}{A}}}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

Ссылки

1. Баннаи, Кеничи; Кобаяши, Шиничи (2007), «Алгебраические тета-функции и числа Эйзенштейна-Кронекера», в Хасимото, Киичиро (ред.), Труды симпозиума по алгебраической теории чисел и смежным темам , RIMS Kôkyuroku Bessatsu, B4, Res. Инст. Математика. наук. (RIMS), Киото , стр. 63–77, arXiv : 0709.0640 , Bibcode : 2007arXiv0709.0640B, MR  2402003
2. Баннаи, Кенити; Кобаяси, Шиничи; Цудзи, Такеши (2009), «Реализации эллиптического полилогарифма для эллиптических кривых CM», в Асада, Мамору; Накамура, Хироаки; Такахаси, Хироки (ред.), Алгебраическая теория чисел и смежные темы 2007 , RIMS Kôkyuroku Bessatsu, B12, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Киото , стр. 33–50, MR  2605771
3. Шароллуа, Пьер; Шех, Роберт (2016). «Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру: обновление». EMS Newsletter . 2016–9 (101): 8–14. doi : 10.4171/NEWS/101/4 . ISSN  1027-488X.
4. Sprang, Johannes (2019). «Ряд Эйзенштейна–Кронекера через расслоение Пуанкаре». Форум математики, Sigma . 7 : e34. arXiv : 1801.05677 . doi : 10.1017/fms.2019.29 . ISSN  2050-5094.
5. Баннаи, Кеничи; Кобаяши, Шиничи (2010). «Алгебраические тета-функции и p-адическая интерполяция чисел Эйзенштейна-Кронекера». Математический журнал Дьюка . 153 (2). arXiv : математика/0610163 . дои : 10.1215/00127094-2010-024. ISSN  0012-7094.