Числовой диапазон

В математической области линейной алгебры и выпуклого анализа числовой диапазон или поле значений комплексной матрицы A — это множество ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \not =0\right\}}$

где обозначает сопряженное транспонирование вектора . Числовой диапазон включает , в частности, диагональные элементы матрицы (полученные выбором x равным единичным векторам вдоль осей координат) и собственные значения матрицы (полученные выбором x равным собственным векторам). ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

В инженерии числовые диапазоны используются как грубая оценка собственных значений A. В последнее время обобщения числового диапазона используются для изучения квантовых вычислений .

Связанное понятие — числовой радиус , который представляет собой наибольшее абсолютное значение чисел в числовом диапазоне, т.е.

${\displaystyle r(A)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(A)\}=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |.}$

Характеристики

1. Числовой диапазон — это диапазон отношения Рэлея .
2. ( Теорема Хаусдорфа–Теплица ) Числовой диапазон выпуклый и компактный.
3. ${\displaystyle W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}}$для всех квадратных матриц и комплексных чисел и . Вот единичная матрица . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle I}$
4. ${\displaystyle W(A)}$является подмножеством замкнутой правой полуплоскости тогда и только тогда, когда является положительно полуопределенной. ${\displaystyle A+A^{*}}$
5. Числовой диапазон является единственной функцией на множестве квадратных матриц, которая удовлетворяет (2), (3) и (4). ${\displaystyle W(\cdot )}$
6. (Субаддитивный) , где сумма в правой части обозначает множество сумм . ${\displaystyle W(A+B)\subseteq W(A)+W(B)}$
7. ${\displaystyle W(A)}$содержит все собственные значения . ${\displaystyle A}$
8. Числовой диапазон матрицы представляет собой заполненный эллипс . ${\displaystyle 2\times 2}$
9. ${\displaystyle W(A)}$является действительным отрезком тогда и только тогда, когда является эрмитовой матрицей с наименьшим и наибольшим собственными значениями и . ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
10. Если — нормальная матрица , то — выпуклая оболочка ее собственных значений. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(A)}$
11. Если — острая точка на границе , то — нормальное собственное значение . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$
12. ${\displaystyle r(\cdot )}$является нормой на пространстве матриц. ${\displaystyle n\times n}$
13. ${\displaystyle r(A)\leq \|A\|\leq 2r(A)}$, где обозначает норму оператора . ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle \|\cdot \|}$
14. ${\displaystyle r(A^{n})\leq r(A)^{n}}$

Обобщения

• C-числовой диапазон
• Числовой диапазон более высокого ранга
• Совместный числовой диапазон
• Числовой диапазон продукта
• Полиномиальная числовая оболочка

Смотрите также

• Спектральная теория
• Коэффициент Рэлея
• Семинар по числовым диапазонам и числовым радиусам

Библиография

• Choi, MD; Kribs, DW; Życzkowski (2006), "Квантовые коды коррекции ошибок из формализма сжатия", Rep. Math. Phys. , 58 (1): 77–91, arXiv : quant-ph/0511101 , Bibcode : 2006RpMP...58...77C, doi : 10.1016/S0034-4877(06)80041-8, S2CID  119427312.
• Дирр, Г.; Хельмкель, У.; Кляйнштойбер, М.; Шульте-Хербрюгген, Т. (2006), «Новый тип C-числового диапазона, возникающий в квантовых вычислениях», Proc. Прил. Математика. Мех. , 6 : 711–712, doi : 10.1002/pamm.200610336.
• Бонсалл, Ф. Ф.; Дункан, Дж. (1971), Числовые диапазоны операторов в нормированных пространствах и элементов нормированных алгебр , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-07988-4.
• Бонсалл, Ф. Ф.; Дункан, Дж. (1971), Числовые диапазоны II , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20227-5.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1991), Темы анализа матриц , Cambridge University Press , Глава 1, ISBN 978-0-521-46713-1.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1990), Матричный анализ , Cambridge University Press , Гл. 5.7, пр. 21, ISBN 0-521-30586-1
• Ли, К. К. (1996), "Простое доказательство теоремы об эллиптическом диапазоне", Proc. Am. Math. Soc. , 124 (7): 1985, doi : 10.1090/S0002-9939-96-03307-2.
• Килер, Деннис С.; Родман, Лейба; Спитковский, Илья М. (1997), «Числовой диапазон матриц 3 × 3», Линейная алгебра и ее приложения , 252 (1–3): 115, doi : 10.1016/0024-3795(95)00674-5.
• «Функциональные характеристики поля значений и выпуклой оболочки спектра», Чарльз Р. Джонсон, Труды Американского математического общества , 61(2):201-204, декабрь 1976 г.

Ссылки

1. ""Известное" неравенство для числового радиуса оператора". StackExchange .
2. "Верхняя граница нормы оператора гильбертова пространства". StackExchange .
3. "Неравенства для числового радиуса оператора комплексного гильбертова пространства". StackExchange .
4. Хилари Пристли . "B4b hilbert spaces: extended synopses 9. Spectral theory" (PDF) . Фактически, ‖T‖ = max(−m _T , M _T ) = w _T . Это неверно для несамосопряженных операторов, но w _T ≤ ‖T‖ ≤ 2w _T в комплексном случае.