Погружение (математика)

Дифференцируемая функция, производная которой всюду инъективна

Бутылка Клейна , погруженная в трехмерное пространство.

В математике погружение — это дифференцируемая функция между дифференцируемыми многообразиями, дифференциальный прямой образ которых всюду инъективен . ^[1] Явно, f  : M → N является погружением, если

${\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

является инъективной функцией в каждой точке p множества M (где T _p X обозначает касательное пространство многообразия X в точке p множества X , а D _p f является производной (продвижкой вперед) отображения f в точке p ). Эквивалентно, f является погружением, если ее производная имеет постоянный ранг, равный размерности M : ^[2]

${\displaystyle \operatorname {rank} \,D_{p}f=\dim M.}$

Сама функция f не обязательно должна быть инъективной, инъективной должна быть только ее производная.

Против встраивания

Связанное понятие — это вложение . Гладкое вложение — это инъективное погружение f  : M → N , которое также является топологическим вложением , так что M диффеоморфно своему образу в N . Погружение — это в точности локальное вложение , то есть для любой точки x ∈ M существует окрестность , U ⊆ M , точки x такая, что f  : U → N является вложением , и наоборот, локальное вложение является погружением. ^[3] Для бесконечномерных многообразий это иногда принимается за определение погружения. ^[4]

Инъективно погруженное подмногообразие , не являющееся вложением.

Если M компактно , то инъективное погружение является вложением, но если M не компактно, то инъективные погружения не обязательно являются вложениями; сравните это с непрерывными биекциями и гомеоморфизмами .

Регулярная гомотопия

Регулярная гомотопия между двумя погружениями f и g из многообразия M в многообразие N определяется как дифференцируемая функция H  : M × [0,1] → N такая, что для всех t из [0, 1] функция H _t  : M → N, определенная соотношением H _t ( x ) = H ( x , t ) для всех x ∈ M , является погружением, причем H ₀ = f , H ₁ = g . Таким образом, регулярная гомотопия является гомотопией посредством погружений.

Классификация

Хасслер Уитни инициировал систематическое изучение погружений и регулярных гомотопий в 1940-х годах, доказав, что при 2 m < n + 1 каждое отображение f  : M ^m → N ⁿ m -мерного многообразия в n -мерное многообразие гомотопно погружению и, фактически, вложению при 2 m < n ; это теорема Уитни о погружении и теорема Уитни о вложении .

Стивен Смейл выразил регулярные гомотопические классы погружений ⁠ ⁠ как ${\displaystyle f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ гомотопические группы определенного многообразия Штифеля . Выворачивание сферы было особенно ярким следствием.

Моррис Хирш обобщил выражение Смейла до описания гомотопической теории регулярных гомотопических классов погружений любого m -мерного многообразия M ^m в любое n- мерное многообразие N ⁿ .

Классификация погружений Хирша-Смейла была обобщена Михаилом Громовым .

Существование

Лента Мёбиуса не погружается в коразмерность 0, поскольку ее касательное расслоение нетривиально.

Основным препятствием к существованию погружения ⁠ ⁠ ${\displaystyle i:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ является стабильное нормальное расслоение M , обнаруживаемое его характеристическими классами , в частности, его классами Штифеля–Уитни . То есть, поскольку ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является параллелизуемым , обратный путь его касательного расслоения к M тривиален; поскольку этот обратный путь является прямой суммой (внутренне определенного) касательного расслоения на M , TM , имеющего размерность m , и нормального расслоения ν погружения i , имеющего размерность n − m , для того, чтобы существовало погружение коразмерности k M , должно существовать векторное расслоение размерности k , ξ ^k , заменяющее нормальное расслоение ν , такое, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle TM\oplus \zeta ^{k}}$ является тривиальным. Наоборот, при наличии такого расслоения погружение M в это нормальное расслоение эквивалентно погружению коразмерности 0 всего пространства этого расслоения, которое является открытым многообразием.

Стабильное нормальное расслоение — это класс нормальных расслоений плюс тривиальные расслоения, и, таким образом, если стабильное нормальное расслоение имеет когомологическую размерность k , оно не может происходить из (нестабильного) нормального расслоения размерности меньше k . Таким образом, когомологическая размерность стабильного нормального расслоения, определяемая его наивысшим неисчезающим характеристическим классом, является препятствием для погружений.

Поскольку характеристические классы умножаются под действием прямой суммы векторных расслоений, это препятствие может быть установлено внутренне в терминах пространства M и его касательного расслоения и алгебры когомологий. Это препятствие было установлено (в терминах касательного расслоения, а не стабильного нормального расслоения) Уитни.

Например, лента Мёбиуса имеет нетривиальное касательное расслоение, поэтому она не может быть погружена в коразмерность 0 (в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ), хотя она вкладывается в коразмерность 1 (в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ).

Уильям С. Мэсси  (1960) показал, что эти характеристические классы (классы Штифеля–Уитни стабильного нормального расслоения) исчезают выше степени n − α ( n ) , где α ( n ) — количество цифр «1», когда n записано в двоичной системе; эта граница является точной, как это реализовано в вещественном проективном пространстве . Это дало доказательство гипотезы погружения , а именно, что каждое n -многообразие может быть погружено в коразмерность n − α ( n ) , т. е. в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-\alpha (n)}.}$ Эта гипотеза была доказана Ральфом Коэном  (1985).

Коразмерность 0

Погружения коразмерности 0 эквивалентны относительным погружениям размерности 0 и лучше рассматривать их как погружения. Погружение коразмерности 0 замкнутого многообразия — это в точности накрывающее отображение , т. е. расслоение с 0-мерным (дискретным) слоем. По теореме Эресмана и теореме Филлипса о погружениях, собственное погружение многообразий является расслоением, поэтому погружения/погружения коразмерности/относительной размерности 0 ведут себя как погружения.

Кроме того, погружения коразмерности 0 ведут себя не так, как другие погружения, которые в значительной степени определяются стабильным нормальным расслоением: в коразмерности 0 возникают проблемы фундаментального класса и пространств покрытия. Например, не существует погружения коразмерности 0 ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1},}$ несмотря на то, что окружность является параллелизуемой, что можно доказать, поскольку у прямой нет фундаментального класса, поэтому мы не получаем требуемую карту на верхних когомологиях. Альтернативно, это происходит из-за инвариантности области определения . Аналогично, хотя ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ и 3-тор ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$ оба параллелизуемы, не существует погружения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}}$ — любое такое покрытие должно быть разветвлено в некоторых точках, поскольку сфера односвязна.

Другой способ понимания этого состоит в том, что погружение многообразия коразмерности k соответствует погружению коразмерности 0 k -мерного векторного расслоения, которое является открытым многообразием , если коразмерность больше 0, но замкнутым многообразием в коразмерности 0 (если исходное многообразие замкнуто).

Несколько точек

Точка k -кортежа (двойная, тройная и т. д.) погружения f  : M → N — это неупорядоченный набор { x ₁ , ..., x _k } различных точек x _i ∈ M с одним и тем же образом f ( x _i ) ∈ N . Если M — m -мерное многообразие, а N — n -мерное многообразие, то для погружения f  : M → N в общем положении набор точек k -кортежа является ( n − k ( n − m )) -мерным многообразием. Каждое вложение является погружением без кратных точек (где k > 1 ). Заметим, однако, что обратное неверно: существуют инъективные погружения, которые не являются вложениями.

Природа кратных точек классифицирует погружения; например, погружения окружности в плоскость классифицируются с точностью до регулярной гомотопии по числу двойных точек.

В ключевом пункте теории хирургии необходимо решить, является ли погружение ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{m}\to N^{2m}}$ m -сферы в 2 m -мерное многообразие регулярным гомотопом вложению, в этом случае его можно убить хирургией. Стена, связанная с f, является инвариантом μ ( f ) в факторе фундаментального группового кольца ⁠ ⁠, которое подсчитывает двойные точки f в универсальном покрытии N . Для m > 2 f является регулярным гомотопом вложению тогда и только тогда, когда μ ( f ) = 0 по трюку Уитни . ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(N)]}$

Можно изучать вложения как «погружения без кратных точек», поскольку погружения легче классифицировать. Таким образом, можно начать с погружений и попытаться устранить кратные точки, посмотрев, можно ли это сделать без введения других особенностей – изучая «кратные дизъюнкции». Это впервые сделал Андре Хефлигер , и этот подход плодотворен в коразмерности 3 или более – с точки зрения теории хирургии, это «высокая (ко)размерность», в отличие от коразмерности 2, которая является размерностью завязывания, как в теории узлов . Он изучается категориально с помощью « исчисления функторов » Томаса Гудвилли Архивировано 28.11.2009 в Wayback Machine , Джоном Кляйном и Майклом С. Вайсом.

Примеры и свойства

Квадрифолий — роза с четырьмя лепестками.

• Математическая роза с k лепестками представляет собой погружение круга в плоскость с одной k -ной точкой; k может быть любым нечетным числом, но четное должно быть кратно 4, поэтому цифра 8, при k = 2 , не является розой.
• Бутылка Клейна и все другие неориентируемые замкнутые поверхности могут быть погружены в трехмерное пространство, но не вложены в него.
• По теореме Уитни–Граустейна регулярные гомотопические классы погружений окружности в плоскость классифицируются по числу вращения , которое также является числом двойных точек, подсчитанным алгебраически (т.е. со знаками).
• Сферу можно вывернуть наизнанку : стандартное вложение ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ связано с регулярной гомотопией погружений ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{1}=-f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f_{t}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• Поверхность Боя является погружением действительной проективной плоскости в трехмерное пространство; таким образом, она также является погружением сферы в соотношении 2 к 1.
• Поверхность Морена представляет собой погружение сферы; и она, и поверхность Боя возникают как срединные модели при выворачивании сферы.

• Поверхность мальчика
• Поверхность Морина

Погруженные плоские кривые

Эта кривая имеет общую кривизну  6π и число витков 3, хотя число витков вокруг p  у нее всего  2  .

Погруженные плоские кривые имеют четко определенное число поворота , которое можно определить как полную кривизну, деленную на 2 π . Это инвариант относительно регулярной гомотопии, по теореме Уитни–Граустейна – топологически это степень отображения Гаусса или, что эквивалентно, число поворота единичной касательной (которая не обращается в нуль) вокруг начала координат. Более того, это полный набор инвариантов – любые две плоские кривые с одинаковым числом поворота являются регулярно гомотопными.

Каждая погруженная плоская кривая поднимается до вложенной пространственной кривой путем разделения точек пересечения, что неверно в более высоких измерениях. С добавлением данных (какая нить находится сверху) погруженные плоские кривые дают диаграммы узлов , которые представляют центральный интерес в теории узлов . В то время как погруженные плоские кривые, с точностью до регулярной гомотопии, определяются их числом поворотов, узлы имеют очень богатую и сложную структуру.

Погруженные поверхности в 3-х измерениях

Изучение погруженных поверхностей в 3-пространство тесно связано с изучением заузленных (вложенных) поверхностей в 4-пространстве по аналогии с теорией диаграмм узлов (погруженные плоские кривые (2-пространство) как проекции заузленных кривых в 3-пространство): если задана заузленная поверхность в 4-пространстве, можно спроецировать ее на погруженную поверхность в 3-пространстве, и наоборот, если задана погруженная поверхность в 3-пространстве, можно спросить, поднимается ли она в 4-пространство – является ли она проекцией заузленной поверхности в 4-пространстве? Это позволяет связать вопросы об этих объектах.

Основной результат, в отличие от случая плоских кривых, заключается в том, что не каждая погруженная поверхность поднимается до узловатой поверхности. ^[5] В некоторых случаях препятствием является 2-кручение, например, в примере Кошорке , ^[6] которое является погруженной поверхностью (образованной из 3 лент Мёбиуса с тройной точкой ), которая не поднимается до узловатой поверхности, но имеет двойное покрытие, которое поднимается. Подробный анализ дан в Carter & Saito (1998a), в то время как более недавний обзор дан в Carter, Kamada & Saito (2004).

Обобщения

Далеко идущим обобщением теории погружения является принцип гомотопии : можно рассматривать условие погружения (ранг производной всегда равен k ) как частное дифференциальное отношение (PDR), как это можно сформулировать в терминах частных производных функции. Тогда теория погружения Смейла–Хирша является результатом того, что это сводится к теории гомотопии, а принцип гомотопии дает общие условия и причины для PDR, чтобы свести их к теории гомотопии.

Смотрите также

• Погруженное подмногообразие
• Изометрическое погружение
• Погружение

Примечания

1. Это определение дано Бишопом и Криттенденом, 1964, с. 185, Дарлинг 1994, с. 53, до Карму 1994, с. 11, Франкель 1997, с. 169, Галло, Хулин и Лафонтен 2004, с. 12, Кобаяши и Номидзу 1963, с. 9, Косински 2007, с. 27, Секерес 2004, с. 429.
2. Это определение дано Крампином и Пирани 1994, стр. 243, Спивак 1999, стр. 46.
3. Этот тип определения, основанный на локальных диффеоморфизмах, дан Бишопом и Голдбергом (1968, стр. 40), Лангом (1999, стр. 26).
4. Этот тип бесконечномерного определения дан Лэнгом (Lang) в 1999 г., стр. 26.
5. Картер и Сайто 1998; Картер, Камада и Сайто 2004, Примечание 1.23, стр. 17
6. Кошорке 1979

Ссылки

• Адачи, Масахиса (1993), Вложения и погружения, перевод Кики Хадсон, ISBN 978-0-8218-4612-4
• Арнольд, VI ; Варченко А.Н.; Гусейн-Заде, С.М. (1985), Особенности дифференцируемых отображений: Том 1 , Биркхойзер, ISBN 0-8176-3187-9
• Бишоп, Ричард Лоуренс ; Криттенден, Ричард Дж. (1964), Геометрия многообразий , Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 978-0-8218-2923-3
• Бишоп, Р. Л .; Голдберг, С. И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание, Дувр, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Брюс, Дж. В.; Гиблин, П. Дж. (1984), Кривые и особенности , Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4
• Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико (1998a), «Поверхности в 3-пространстве, которые не поднимаются до вложений в 4-пространстве», Теория узлов (Варшава, 1995) , Banach Center Publ., т. 42, Polish Acad. Sci., Варшава, стр. 29–47, CiteSeerX  10.1.1.44.1505 , MR  1634445.
• Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико (1998), Узловые поверхности и их диаграммы , Математические обзоры и монографии, т. 55, стр. 258, ISBN 978-0-8218-0593-0
• Картер, Скотт; Камада, Сейичи; Сайто, Масахико (2004), Поверхности в 4-мерном пространстве , Энциклопедия математических наук, том. 142, Берлин: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-662-10162-9, ISBN. 3-540-21040-7, МР  2060067.
• Коэн, Ральф Л. (1985), «Гипотеза погружения для дифференцируемых многообразий», Annals of Mathematics , вторая серия, 122 (2): 237–328, doi :10.2307/1971304, JSTOR  1971304, MR  0808220.
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994), Прикладная дифференциальная геометрия , Кембридж, Англия: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23190-9
• Дарлинг, Ричард Уильям Рэмзи (1994), Дифференциальные формы и связи , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, Bibcode : 1994dfc..book.....D, ISBN 978-0-521-46800-8.
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1994), Риманова геометрия , ISBN 978-0-8176-3490-2
• Франкель, Теодор (1997), Геометрия физики , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-38753-1
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20493-0
• Громов, М. (1986), Частные дифференциальные отношения , Springer, ISBN 3-540-12177-3
• Хирш, Моррис В. (1959), «Погружения многообразий», Труды Американского математического общества , 93 (2): 242–276, doi : 10.2307/1993453 , JSTOR  1993453, MR  0119214.
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, том 1 , Нью-Йорк: Wiley-Interscience
• Кошорке, Ульрих (1979), «Множественные точки погружения и теорема Кана-Придди», Mathematische Zeitschrift , 169 (3): 223–236, doi : 10.1007/BF01214837, MR  0554526, S2CID  121273182.
• Косински, Антони Альберт (2007) [1993], Дифференциальные многообразия , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46244-8
• Ланг, Серж (1999), Основы дифференциальной геометрии , Graduate Texts in Mathematics, Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-98593-0
• Massey, WS (1960), «О классах Штифеля-Уитни многообразия», American Journal of Mathematics , 82 (1): 92–102, doi :10.2307/2372878, JSTOR  2372878, MR  0111053.
• Смейл, Стивен (1958), «Классификация погружений двухсфер», Труды Американского математического общества , 90 (2): 281–290, doi : 10.2307/1993205 , JSTOR  1993205, MR  0104227.
• Смейл, Стивен (1959), «Классификация погружений сфер в евклидовы пространства», Annals of Mathematics , вторая серия, 69 (2): 327–344, doi :10.2307/1970186, JSTOR  1970186, MR  0105117.
• Спивак, Майкл (1999) [1970], Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (Том 1) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-70-5
• Спринг, Дэвид (2005), «Золотой век теории погружения в топологии: 1959–1973: математический обзор с исторической точки зрения», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 42 (2): 163–180, CiteSeerX  10.1.1.363.913 , doi :10.1090/S0273-0979-05-01048-7, MR  2133309, S2CID  9237068.
• Секереш, Питер (2004), Курс современной математической физики: группы, гильбертово пространство и дифференциальная геометрия , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82960-1
• Wall, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях (PDF) , Математические обзоры и монографии, т. 69 (второе издание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, doi : 10.1090/surv/069, ISBN 0-8218-0942-3, г-н  1687388.

Внешние ссылки

• Погружение в Manifold Atlas
• Погружение многообразия в Энциклопедии математики