stringtranslate.com

Шарнирное рассечение

Циклическая анимация шарнирных разрезов от треугольника к квадрату , затем к шестиугольнику , затем снова к треугольнику. Обратите внимание, что цепочка частей может быть полностью соединена в кольцо во время перестановки от квадрата к шестиугольнику.

В геометрии шарнирное рассечение , также известное как качательно-шарнирное рассечение или рассечение Дьюдени , [1] является разновидностью геометрического рассечения , в котором все части соединены в цепь «шарнирными» точками, так что перестановка из одной фигуры в другую может быть выполнена путем непрерывного качания цепи, без разрыва каких-либо связей. [2] Обычно предполагается, что части могут перекрываться в процессе складывания и разворачивания; [3] это иногда называют «шатко-шарнирной» моделью шарнирного рассечения. [4]

История

Шарнирное разбиение треугольника на квадрат по Дьюдени.
Анимация шарнирного разреза от гексаграммы до треугольника и квадрата
Анимация шарнирного разреза от гексаграммы до треугольника и квадрата

Концепция шарнирных разрезов была популяризирована автором математических головоломок Генри Дьюдени . Он представил знаменитое шарнирное разрезание квадрата на треугольник (на фото) в своей книге 1907 года «Кентерберийские головоломки» . [5] Теорема Уоллеса–Бойяи–Гервина , впервые доказанная в 1807 году, утверждает, что любые два равновеликих многоугольника должны иметь общее разрезание. Однако вопрос о том, должны ли два таких многоугольника также иметь шарнирное разрезание, оставался открытым до 2007 года, когда Эрик Демейн и др. доказали, что всегда должно существовать такое шарнирное разрезание, и предоставили конструктивный алгоритм для их создания. [4] [6] [7] Это доказательство справедливо даже при предположении, что части не могут перекрываться во время качания, и может быть обобщено на любую пару трехмерных фигур, которые имеют общее разрезание (см. третью проблему Гильберта ). [6] [8] Однако в трех измерениях нет гарантии, что части будут качаться без перекрытия. [9]

Другие петли

Шарнирный квадрат в пятиугольник
Шарнирный квадрат в пятиугольник

Другие типы «шарниров» рассматривались в контексте рассечений. Рассечение с поворотным шарниром — это такое рассечение, которое использует трехмерный «шарнир», который размещается на краях частей, а не на их вершинах, что позволяет «переворачивать» их в трехмерном пространстве. [10] [11] По состоянию на 2002 год вопрос о том, должны ли любые два многоугольника иметь общее поворотное шарнирное рассечение, остается нерешенным. [12]

Ссылки

  1. ^ Акияма, Джин ; Накамура, Гисаку (2000). «Дисекция Дьюдени многоугольников». Дискретная и вычислительная геометрия . Конспект лекций по информатике. Том 1763. С. 14–29. doi :10.1007/978-3-540-46515-7_2. ISBN 978-3-540-67181-7.
  2. ^ Pitici, Mircea (сентябрь 2008 г.). «Hinged Dissections». Math Explorers Club . Cornell University . Получено 19 декабря 2013 г.
  3. ^ О'Рурк, Джозеф (2003). «Вычислительная геометрия, столбец 44». arXiv : cs/0304025v1 .
  4. ^ ab "Problem 47: Hinged Dissections". The Open Problems Project . Smith College. 8 декабря 2012 г. Получено 19 декабря 2013 г.
  5. ^ Фредериксон 2002, стр.1
  6. ^ ab Эббот, Тимоти Г.; Абель, Закари; Чарльтон, Дэвид; Демейн, Эрик Д.; Демейн , Мартин Л .; Коминерс, Скотт Д. (2008). "Шарнирные диссекции существуют". Труды двадцать четвертого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии - SCG '08 . стр. 110. arXiv : 0712.2094 . doi : 10.1145/1377676.1377695. ISBN 9781605580715. S2CID  3264789.
  7. ^ Беллос, Алекс (30 мая 2008 г.). «Наука веселья». The Guardian . Получено 20 декабря 2013 г.
  8. ^ Филлипс, Тони (ноябрь 2008 г.). «Взгляд Тони Филлипса на математику в СМИ». Математика в СМИ . Получено 20 декабря 2013 г.
  9. ^ О'Рурк, Джозеф (март 2008 г.). "Computational Geometry Column 50" (PDF) . Новости ACM SIGACT . 39 (1) . Получено 20 декабря 2013 г. .
  10. ^ Фредериксон 2002, стр. 6
  11. ^ Фредериксон, Грег Н. (2007). Симметрия и структура в шарнирно-скрученных диссекциях полигональных колец и полигональных антиколец (PDF) . Bridges 2007. Организация Bridges . Получено 20 декабря 2013 г. .
  12. ^ Фредериксон 2002, стр. 7

Библиография

Внешние ссылки