В функциональном анализе вейвлет Шеннона (или sinc-вейвлеты ) — это разложение, определяемое анализом сигнала идеальными полосовыми фильтрами . Вейвлет Шеннона может быть как действительного , так и комплексного типа.
Вейвлет Шеннона не локализован (некомпактен) во временной области, но его преобразование Фурье ограничено по полосе пропускания (компактный носитель). Следовательно, вейвлет Шеннона имеет плохую локализацию по времени, но хорошую локализацию по частоте. Эти характеристики резко контрастируют с характеристиками вейвлета Хаара . Системы Хаара и sinc являются дуальными Фурье друг друга.
Определение Функция sinc является отправной точкой для определения вейвлета Шеннона.
Функция масштабирования Сначала мы определяем функцию масштабирования как функцию sinc.
ϕ (Ша) ( т ) := грех π т π т = синк ( т ) . {\displaystyle \phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}
И определить расширенные и переведенные экземпляры, которые будут
ϕ к н ( т ) := 2 н / 2 ϕ (Ша) ( 2 н т − к ) {\displaystyle \phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}tk)}
где параметр означает растяжение и смещение для вейвлета соответственно. н , к {\displaystyle n,k}
Затем мы можем вывести преобразование Фурье масштабирующей функции:
Ф (Ша) ( ω ) = 1 2 π П ( ω 2 π ) = { 1 2 π , если | ω | ≤ π , 0 если в противном случае . {\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{internally}}.\\\end{cases}}} функция ворот определяется как
П ( х ) := { 1 , если | х | ≤ 1 / 2 , 0 если в противном случае . {\displaystyle \Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{internally}}.\\\end{cases}}} Ф к н ( ω ) = 2 − н / 2 2 π е − я ω ( к + 1 ) / 2 н П ( ω 2 н + 1 π ) {\displaystyle \Phi _{k}^{n}(\omega)={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/ 2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})}
Материнский вейвлет Используя многомасштабное приближение, мы можем вывести преобразование Фурье материнского вейвлета: Ф (Ша) {\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}}
Ψ (Ша) ( ω ) = 1 2 π е − я ω ( П ( ω π − 3 2 ) + П ( ω π + 3 2 ) ) {\displaystyle \Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}}
И расширенные и переведенные примеры:
Ψ к н ( ω ) = 2 − н / 2 2 π е − я ω ( к + 1 ) / 2 н ( П ( ω 2 н π − 3 2 ) + П ( ω 2 н π + 3 2 ) ) {\displaystyle \Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}}
Тогда материнская вейвлет-функция Шеннона и семейство расширенных и переведенных экземпляров могут быть получены с помощью обратного преобразования Фурье:
ψ (Ша) ( т ) = грех π ( т − ( 1 / 2 ) ) − грех 2 π ( т − ( 1 / 2 ) ) π ( т − 1 / 2 ) = синк ( т − 1 2 ) − 2 синк ( 2 ( т − 1 2 ) ) {\displaystyle \psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}}
ψ к н ( т ) = 2 н / 2 ψ (Ша) ( 2 н т − к ) {\displaystyle \psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}tk)}
Свойство материнского вейвлета и масштабирующей функции Материнские вейвлеты являются ортонормальными, а именно, < ψ к н ( т ) , ψ час м ( т ) >= δ н м δ час к = { 1 , если час = к и н = м 0 , в противном случае {\displaystyle <\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{если }}h=k{\text{ и }}n=m\\0,&{\text{иначе}}\end{cases}}}
Переводимые экземпляры масштабирующей функции на уровне являются ортогональными н = 0 {\displaystyle n=0} < ϕ к 0 ( т ) , ϕ час 0 ( т ) >= δ к час {\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}}
Переводимые экземпляры масштабирующей функции на уровне ортогональны материнским вейвлетам н = 0 {\displaystyle n=0} < ϕ к 0 ( т ) , ψ час м ( т ) >= 0 {\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0}
Вейвлеты Шеннона имеют бесконечное число исчезающих моментов.
Реконструкция функции с помощью вейвлетов Шеннона Предположим, что и для любого расширения и параметра трансляции , f ( x ) ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle f(x)\in L_{2}(\mathbb {R} )} supp FT { f } ⊂ [ − π , π ] {\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {FT} \{f\}\subset [-\pi ,\pi ]} n , k {\displaystyle n,k}
| ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ϕ k 0 ( t ) d t | < ∞ {\displaystyle {\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\phi _{k}^{0}(t)dt{\Bigg |}<\infty } | ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ψ k n ( t ) d t | < ∞ {\displaystyle {\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{k}^{n}(t)dt{\Bigg |}<\infty }
Затем
f ( t ) = ∑ k = ∞ ∞ α k ϕ k 0 ( t ) {\displaystyle f(t)=\sum _{k=\infty }^{\infty }\alpha _{k}\phi _{k}^{0}(t)} α k = f ( k ) {\displaystyle \alpha _{k}=f(k)}
Настоящий вейвлет Шеннона Настоящий вейвлет Шеннона Преобразование Фурье материнского вейвлета Шеннона определяется по формуле:
Ψ ( Sha ) ( w ) = ∏ ( w − 3 π / 2 π ) + ∏ ( w + 3 π / 2 π ) . {\displaystyle \Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).} где (нормализованная) функция ворот определяется как
∏ ( x ) := { 1 , if | x | ≤ 1 / 2 , 0 if otherwise . {\displaystyle \prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}} Аналитическое выражение реального вейвлета Шеннона можно найти, выполнив обратное преобразование Фурье :
ψ ( Sha ) ( t ) = sinc ( t 2 ) ⋅ cos ( 3 π t 2 ) {\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)} или альтернативно как
ψ ( Sha ) ( t ) = 2 ⋅ sinc ( 2 t ) − sinc ( t ) , {\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t)-\operatorname {sinc} (t),} где
sinc ( t ) := sin π t π t {\displaystyle \operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}} — это обычная функция sinc , которая появляется в теореме выборки Шеннона .
Этот вейвлет принадлежит к -классу дифференцируемости , но он медленно убывает на бесконечности и не имеет ограниченной поддержки , поскольку сигналы с ограниченной полосой пропускания не могут быть ограниченными по времени. C ∞ {\displaystyle C^{\infty }}
Функция масштабирования для MRA Шеннона (или Sinc -MRA) задается функцией выборки:
ϕ ( S h a ) ( t ) = sin π t π t = sinc ( t ) . {\displaystyle \phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}
Комплексный вейвлет Шеннона В случае комплексного непрерывного вейвлета вейвлет Шеннона определяется как
ψ ( C S h a ) ( t ) = sinc ( t ) ⋅ e − 2 π i t {\displaystyle \psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t)\cdot e^{-2\pi it}}
Ссылки SG Mallat, Вейвлет-тур по обработке сигналов , Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X CS Burrus , RA Gopinath, H. Guo, Введение в вейвлеты и вейвлет-преобразования: учебник , Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9 . 
![{\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {FT} \{f\}\subset [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cf1d4d6967e51ee4a7b7fe795fbd4c1746f0ca)
