Шизофренический номер

Иррациональные числа, которые кажутся рациональными

Шизофреническое число или ложное рациональное число — это иррациональное число , которое демонстрирует определенные характеристики рациональных чисел .

Определение

Универсальная книга математики определяет «шизофреническое число» как:

Неофициальное название иррационального числа, которое демонстрирует настолько устойчивые закономерности в десятичном разложении , что выглядит как рациональное число. Шизофренический номер можно получить следующим образом. Для любого положительного целого числа n пусть f  ( n ) обозначает целое число, заданное рекуррентностью f  ( n ) = 10 f  ( n − 1) + n с начальным значением f (0) = 0. Таким образом, f  (1) = 1, f  (2) = 12, f  (3) = 123 и так далее. Квадратные корни из f  ( n ) для нечетных целых чисел n порождают любопытную смесь, которая кажется рациональной для периодов, а затем распадается на иррациональность. Это иллюстрируется первыми 500 цифрами √ f  (49) :

11111111111111111111111111.11111111111111111111111 0860555555555555555555555555555555555555555555555 273054166666666666666666666666666666666666666666 02962603472222222222222222222222222222222222222 042656394092881944444444444444444444444444444444 38775551250401171874999999999999999999999999999999 80824968771148630533854166666666666666666666666 598718573862144063865559895833333333333333333333 084346040762760820694027709960937499999999999999 0642227587555983066639430321587456597222222222 1863492016791180833081844 ...

Повторяющиеся строки становятся все короче, а зашифрованные строки становятся больше, пока в конечном итоге повторяющиеся строки не исчезнут. Однако, увеличивая n , мы можем предотвратить исчезновение повторяющихся строк столько, сколько захотим. Повторяющиеся цифры всегда 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ... . ^[1]

Последовательность чисел, порожденная рекуррентным соотношением f  ( n ) = 10 f  ( n - 1) + n , описанным выше:

0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, ... (последовательность A014824 в OEIS ).

ж (49) = 1234567901234567901234567901234567901234567901229

Целые части их квадратных корней,

1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, ... (последовательность A068995 в OEIS ),

чередовать числа с неправильными цифрами и числами с повторяющимися цифрами, аналогично чередованиям, появляющимся в десятичной части каждого квадратного корня.

Характеристики

Показанное выше шизофреническое число является частным случаем более общего явления, которое появляется в -арных разложениях квадратных корней решений рекуррентного уравнения для всех , с начальным значением, взятым при нечетных положительных целых числах . Случай и соответствует приведенному выше примеру. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f_{b}(n)=bf_{b}(n-1)+n}$ ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle n=49}$

Действительно, Тот показал, что эти иррациональные числа представляют собой шизофренические паттерны в своем -арном разложении, ^[2] состоящем из блоков, которые начинаются с блока неповторяющихся цифр, за которым следует блок повторяющихся цифр. Собранные вместе в базе эти блоки образуют шизофренический паттерн. Например, в системе счисления 8 число начинается: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle {\sqrt {f_{8}(49)}}}$

1111111111111111111111111.11111111111111111111111 06004444444444444444444444444444444444444444444444 02144333333333333333333333333333333333333333333 175124422666666666666666666666666666666666666666 ....

Эта закономерность обусловлена ​​разложением Тейлора квадратного корня решения рекуррентного уравнения, взятого для нечетных положительных целых чисел. Различные цифры в расширении Тейлора образуют неповторяющиеся и повторяющиеся блоки цифр, которые формируют шизофренический паттерн.

Другие объекты недвижимости

В некоторых случаях вместо повторяющихся последовательностей цифр мы обнаруживаем повторяющиеся комбинации цифр . Например, число : ${\textstyle {\sqrt {f_{3}(49)}}}$

11111111111111111111111111.11111111111111111111111111111111 01200202020202020202020202020202020202020202020 1101010200120012000012001200120012001200120012 001021120020211210002112100021121000211210 ...

показывает повторяющиеся комбинации цифр в базе . ${\displaystyle 3}$

Числа, которые являются шизофреническими по основанию, также являются шизофреническими по основанию , до определенного предела (см. Тот). Пример выше, который по своей сути все еще шизофренический : ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{m}}$ ${\textstyle {\sqrt {f_{3}(49)}}}$ ${\displaystyle 9}$

1444444444444.4444444444 350666666666666666666666 41120505050505050505050 33750675307530753075307 40552382 ...

История

Клиффорд А. Пиковер сказал, что числа шизофреников были открыты Кевином Брауном.

В книге Пиковера « Чудеса чисел» он так описал историю шизофренических чисел:

Построение и открытие шизофренических чисел было вызвано утверждением (размещенным в группе новостей Usenet sci.math) о том, что не следует ожидать, что цифры иррационального числа, выбранного наугад, будут отображать очевидные закономерности в первых 100 цифрах. Говорили, что если бы такая закономерность была найдена, это стало бы неопровержимым доказательством существования либо Бога, либо внеземного разума. (Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Трансцендентные числа, такие как e и π , и нецелые числа , такие как квадратный корень из 2, иррациональны.) ^[3]

Смотрите также

• Почти целое число
• Нормальный номер
• Шесть девяток в числе Пи

Рекомендации

1. Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 12, ISBN 9780471667001
2. Тот, Ласло (2020), «О шизофренических закономерностях в b-арных разложениях некоторых иррациональных чисел», Proceedings of the American Mathematical Society , 148 (1): 461–469, arXiv : 2002.06584 , Bibcode : 2020arXiv200206584T, doi : 10. 1090 /proc/14863, S2CID  211133029
3. Пиковер, Клиффорд А. (2003), «Шизофренические числа», Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и значении, Oxford University Press, стр. 210–211, ISBN 9780195157994

Внешние ссылки

• Мок-рациональные числа, К.С. Браун, mathpages.