stringtranslate.com

Квантовый шрам

Квантовый скачок, вызванный возмущением, в неупорядоченной квантовой яме с внешним магнитным полем. [1]

В квантовой механике квантовое рубцевание — это явление, при котором собственные состояния классически хаотической квантовой системы имеют повышенную плотность вероятности вокруг путей нестабильных классических периодических орбит. [2] [3] Нестабильность периодической орбиты — это решающий момент, который отличает квантовые рубцы от более тривиального наблюдения, что плотность вероятности увеличивается в окрестности стабильных периодических орбит. Последнее можно понимать как чисто классическое явление, проявление принципа соответствия Бора , тогда как в первом случае существенна квантовая интерференция. Таким образом, рубцевание является как наглядным примером квантово-классического соответствия, так и одновременно примером (локального) квантового подавления хаоса.

Классически хаотическая система также является эргодической , и поэтому (почти) все ее траектории в конечном итоге равномерно исследуют все доступное фазовое пространство. Таким образом, было бы естественно ожидать, что собственные состояния квантового аналога заполнят квантовое фазовое пространство равномерно вплоть до случайных флуктуаций в полуклассическом пределе. Однако шрамы являются существенной поправкой к этому предположению. Поэтому шрамы можно рассматривать как собственный аналог того, как короткие периодические орбиты обеспечивают поправки к универсальной спектральной статистике теории случайных матриц . Существуют строгие математические теоремы о квантовой природе эргодичности, [4] [5] [6] доказывающие, что математическое ожидание оператора сходится в полуклассическом пределе к соответствующему микроканоническому классическому среднему. Тем не менее, теоремы о квантовой эргодичности не исключают образование шрамов, если объем квантового фазового пространства шрамов постепенно исчезает в полуклассическом пределе.

С классической стороны, нет прямого аналога шрамов. С квантовой стороны, их можно интерпретировать как аналогию собственного состояния тому, как короткие периодические орбиты корректируют статистику собственных значений универсальной случайной матричной теории. Шрамы соответствуют неэргодическим состояниям, которые разрешены теоремами квантовой эргодичности. В частности, состояния со шрамами представляют собой яркий визуальный контрпример к предположению, что собственные состояния классически хаотической системы не имели бы структуры. В дополнение к обычным квантовым шрамам, область квантового рубцевания пережила период возрождения, вызванный открытиями шрамов, вызванных возмущениями , и многочастичных шрамов (см. ниже).

Теория шрамов

Типичные шрамированные собственные состояния стадиона (Бунимовича). На рисунке показана плотность вероятности для трех различных собственных состояний. Шрамы, относящиеся к областям концентрированной плотности вероятности, генерируются (нестабильными) периодическими орбитами, две из которых проиллюстрированы.

Существование шрамированных состояний довольно неожиданно, исходя из формулы следа Гуцвиллера [7] [8] , которая связывает квантово-механическую плотность состояний с периодическими орбитами в соответствующей классической системе. Согласно формуле следа, квантовый спектр не является результатом следа по всем положениям, но он определяется следом только по всем периодическим орбитам. Более того, каждая периодическая орбита вносит вклад в собственное значение, хотя и не совсем одинаково. Еще более маловероятно, что конкретная периодическая орбита будет выделяться, внося вклад в конкретное собственное состояние в полностью хаотической системе, поскольку в целом периодические орбиты занимают часть нулевого объема общего объема фазового пространства. Следовательно, ничто, по-видимому, не подразумевает, что какая-либо конкретная периодическая орбита для данного собственного значения может играть значительную роль по сравнению с другими периодическими орбитами. Тем не менее, квантовое рубцевание доказывает, что это предположение неверно. Рубцевание было впервые обнаружено в 1983 году С. В. Макдональдом в его диссертации о стадионном бильярде как интересное численное наблюдение. [9] Они не были хорошо видны на его рисунке, поскольку представляли собой довольно грубые «водопадные» графики. Это открытие не было подробно изложено в обсуждении статьи о волновых функциях и спектрах расстояния между уровнями ближайших соседей для бильярда стадиона. [10] Год спустя Эрик Дж. Хеллер опубликовал первые примеры собственных функций со шрамами вместе с теоретическим объяснением их существования. [2] Результаты выявили большие следы отдельных периодических орбит, влияющих на некоторые собственные состояния классически хаотического стадиона Бунимовича, названные Хеллером шрамами.

Анализ волновых пакетов был ключом к доказательству существования рубцов, и он по-прежнему является ценным инструментом для их понимания. В оригинальной работе Хеллера [2] квантовый спектр извлекается путем распространения гауссова волнового пакета по периодической орбите. В настоящее время эта основополагающая идея известна как линейная теория рубцевания. [2] [3] [11] [12] Рубцы выделяются на глаз в некоторых собственных состояниях классически хаотических систем, но количественно определяются путем проекции собственных состояний на определенные тестовые состояния, часто гауссовы, имеющие как среднее положение, так и средний импульс вдоль периодической орбиты. Эти тестовые состояния дают доказуемо структурированный спектр, который показывает необходимость рубцов. [13] Однако не существует универсальной меры рубцевания; точное соотношение показателя устойчивости к прочности рубцов является вопросом определения. Тем не менее, существует эмпирическое правило: [3] [7] квантовое рубцевание значимо, когда , а прочность масштабируется как . Таким образом, сильные квантовые шрамы, в общем, связаны с периодическими орбитами, которые умеренно нестабильны и относительно коротки. Теория предсказывает усиление шрамов вдоль классической периодической орбиты, но она не может точно определить, какие именно состояния шрамируются и насколько сильно. Скорее, можно только утверждать, что некоторые состояния шрамируются в определенных энергетических зонах, и по крайней мере в определенной степени.

Линейная теория рубцевания, изложенная выше, была позднее расширена для включения нелинейных эффектов, имеющих место после того, как волновой пакет покидает область линейной динамики вокруг периодической орбиты. [12] На больших временах нелинейный эффект может способствовать рубцеванию. Это происходит из-за нелинейных рецидивов, связанных с гомоклиническими орбитами. Дальнейшее понимание рубцевания было получено с помощью подхода реального пространства Э. Б. Богомольным [14] и альтернативы фазового пространства Майклом В. Берри [15], дополняющих методы волнового пакета и пространства Хуссими, используемые Хеллером и Л. Капланом. [2] [3] [12]

Первые экспериментальные подтверждения рубцов были получены в микроволновых бильярдах в начале 1990-х годов. [16] [17] Дальнейшие экспериментальные доказательства рубцевания были позже получены в ходе наблюдений, например, в квантовых ямах, [18] [19] [20] оптических полостях [21] [22] и атоме водорода. [23] В начале 2000-х годов первые наблюдения были получены в эллиптическом бильярде. [24] Многие классические траектории сходятся в этой системе и приводят к выраженным рубцам в фокусах, обычно называемых квантовыми миражами. [25] Кроме того, недавние численные результаты указали на существование квантовых рубцов в ультрахолодных атомарных газах. [26]

Помимо отсутствия универсальной меры для уровня рубцевания, также не существует и общепринятого его определения. Первоначально было заявлено [2] , что некоторые нестабильные периодические орбиты, как показано, постоянно рубцуют некоторые квантовые собственные функции как , в том смысле, что дополнительная плотность окружает область периодической орбиты. Однако более формальное определение рубцевания будет следующим: [3] Квантовое собственное состояние классически хаотической системы рубцуется периодической системой, если ее плотность на классических инвариантных многообразиях вблизи и вдоль этой периодической системы систематически увеличивается по сравнению с классической, статистически ожидаемой плотностью вдоль этой орбиты. Увлекательным следствием этого усиления является антирубцевание. [3] [27] Поскольку среди собственных состояний могут быть сильно рубцовые состояния, необходимость равномерного усреднения по большому числу состояний требует существования антирубцов с низкой вероятностью в области «регулярных» рубцов. Более того, было установлено [27] , что некоторые процессы распада имеют антишрамовые состояния с аномально долгим временем выхода.

Большинство исследований квантовых шрамов были ограничены нерелятивистскими квантовыми системами, описываемыми уравнением Шредингера , где зависимость энергии частицы от импульса является квадратичной. Однако рубцевание может происходить в релятивистских квантовых системах, описываемых уравнением Дирака, где соотношение энергии и импульса является линейным. [28] [29] [30] Эвристически, эти релятивистские шрамы являются следствием того факта, что оба спинорных компонента удовлетворяют уравнению Гельмгольца, аналогичному независимому от времени уравнению Шредингера. Следовательно, релятивистские шрамы имеют то же происхождение, что и обычные шрамы [2], введенные Э. Дж. Хеллером. Тем не менее, есть разница в терминах повторяемости относительно изменения энергии. Кроме того, было показано, что состояния шрамов могут приводить к сильным флуктуациям проводимости в соответствующих открытых квантовых точках через механизм резонансной передачи. [28]

В дополнение к рубцеванию, описанному выше, существует несколько похожих явлений, связанных либо теорией, либо внешним видом. Прежде всего, когда рубцы визуально идентифицируются, некоторые из состояний могут напоминать классическое движение «прыгающего мяча», исключенное из квантовых рубцов в его собственную категорию. Например, бильярд стадиона поддерживает эти высоко неэргодические собственные состояния, которые отражают захваченное прыгающее движение между прямыми стенками. [3] Было показано, что прыгающие состояния сохраняются на пределе , но в то же время этот результат предполагает уменьшающийся процент всех состояний в соответствии с теоремами квантовой эргодичности Александра Шнирельмана, Ива Колина де Вердьера и Стивена Зелдича . [4] [5] [6] Во-вторых, рубцы не следует путать со статистическими флуктуациями. Подобные структуры повышенной плотности вероятности возникают даже как случайные суперпозиции плоских волн, [31] в смысле гипотезы Берри. [32] [33] Кроме того, существует род шрамов, вызванных не реальными периодическими орбитами, а их остатками, известными как призраки . Они относятся к периодическим орбитам, которые находятся в близлежащей системе в смысле некоторого настраиваемого внешнего системного параметра. [34] [35] Рубцы такого рода были связаны с почти периодическими орбитами. [36] Другой подкласс призраков происходит от сложных периодических орбит, которые существуют вблизи точек бифуркации. [37] [38]

Квантовые шрамы, вызванные возмущениями

Пример рубцевания в неупорядоченных квантовых точках. Невозмущенный потенциал имеет форму , и он возмущен хаотично разбросанными гауссовыми выпуклостями (красные маркеры обозначают местоположение и размер выпуклостей). На рисунке показано одно из собственных состояний возмущенной квантовой ямы, которое сильно испорчено периодической орбитой невозмущенной системы (сплошная синяя линия).

Новый класс квантовых шрамов был обнаружен в неупорядоченных двумерных наноструктурах. [39] [40] [1] [41] [42] Несмотря на то, что они внешне похожи на обычные квантовые шрамы, описанные ранее, эти шрамы имеют принципиально иное происхождение. В этом случае беспорядок, возникающий из-за малых возмущений (см. красные точки на рисунке), достаточен для разрушения классической долговременной стабильности. Следовательно, в классическом аналоге нет умеренно нестабильного периодического, которому соответствовал бы шрам в обычной теории шрамов. Вместо этого шрамы образуются вокруг периодических орбит соответствующей невозмущенной системы. Обычная теория шрамов далее исключается поведением шрамов как функции силы беспорядка. Когда потенциальные выпуклости становятся сильнее, сохраняя их в остальном неизменными, шрамы становятся сильнее, а затем исчезают, не меняя своей ориентации. Напротив, шрам, вызванный обычной теорией, должен быстро ослабевать из-за увеличения показателя устойчивости периодической орбиты с увеличением беспорядка. Более того, сравнение рубцов при разных энергиях показывает, что они возникают только в нескольких различных ориентациях. Это также противоречит предсказаниям обычной теории рубцов.

Многочастичное квантовое рубцевание

Область квантовых многочастичных шрамов является предметом активных исследований. [43] [44]

Шрамы возникли в исследованиях потенциальных приложений состояний Ридберга к квантовым вычислениям , в частности, выступая в качестве кубитов для квантового моделирования . [45] [46] Частицы системы в чередующейся конфигурации основное состояние - состояние Ридберга постоянно запутывались и распутывались, а не оставались запутанными и подвергались термализации . [45] [46] [47] Системы тех же атомов, приготовленные с другими начальными состояниями, термализовались, как и ожидалось. [46] [47] Исследователи окрестили это явление «квантовым многочастичным рубцеванием». [48] [49]

Причины квантового рубцевания не до конца понятны. [45] Одно из возможных предложенных объяснений состоит в том, что квантовые рубцы представляют собой интегрируемые системы или почти таковые, и это может предотвратить возникновение термализации . [50] Это вызвало критику, утверждающую, что в основе теории лежит неинтегрируемый гамильтониан . [51] Недавно серия работ [52] [53] связала существование квантового рубцевания с алгебраической структурой, известной как динамические симметрии. [54] [55]

Желательны отказоустойчивые квантовые компьютеры , поскольку любые возмущения состояний кубитов могут привести к термализации состояний, что приведет к потере квантовой информации . [45] Рубцевание состояний кубитов рассматривается как потенциальный способ защиты состояний кубитов от внешних возмущений, приводящих к декогеренции и потере информации.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ аб Кески-Рахконен, Дж.; Луукко, PJJ; Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (20 сентября 2017 г.). «Управляемые квантовые шрамы в полупроводниковых квантовых точках». Физический обзор B . 96 (9): 094204. arXiv : 1710.00585 . Бибкод : 2017PhRvB..96i4204K. doi : 10.1103/PhysRevB.96.094204. S2CID  119083672.
  2. ^ abcdefg Хеллер, Эрик Дж. (1984-10-15). "Собственные функции связанного состояния классически хаотических гамильтоновых систем: шрамы периодических орбит". Physical Review Letters . 53 (16): 1515–1518. Bibcode :1984PhRvL..53.1515H. doi :10.1103/PhysRevLett.53.1515.
  3. ^ abcdefg Хеллер, Эрик Джонсон (2018). Полуклассический путь к динамике и спектроскопии. Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-9029-3. OCLC  1034625177.
  4. ^ ab Zelditch, Steven (1987-12-01). "Равномерное распределение собственных функций на компактных гиперболических поверхностях". Duke Mathematical Journal . 55 (4). doi :10.1215/S0012-7094-87-05546-3. ISSN  0012-7094.
  5. ^ аб Шнирельман, Александр (1974). «Эргодические свойства собственных функций». Успехи математических наук . 29 : 181–182.
  6. ^ ab Колен де Вердьер, Ив (1985). «Эргодичность и собственные функции лапплации». Связь в математической физике . 102 (3): 497–502. Бибкод : 1985CMaPh.102..497D. дои : 10.1007/BF01209296. S2CID  189832724.
  7. ^ ab Gutzwiller, MC (1990). Хаос в классической и квантовой механике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97173-4. OCLC  22754223.
  8. ^ Гуцвиллер, Мартин К. (1971-03-01). «Периодические орбиты и условия классического квантования». Журнал математической физики . 12 (3): 343–358. Bibcode : 1971JMP....12..343G. doi : 10.1063/1.1665596. ISSN  0022-2488.
  9. ^ Макдональд, SW (1983-09-01). «Волновая динамика регулярных и хаотических лучей»: LBL–14837, 5373229. doi :10.2172/5373229. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  10. ^ Макдональд, Стивен В.; Кауфман, Аллан Н. (1979-04-30). «Спектр и собственные функции для гамильтониана со стохастическими траекториями». Physical Review Letters . 42 (18): 1189–1191. Bibcode : 1979PhRvL..42.1189M. doi : 10.1103/PhysRevLett.42.1189. S2CID  119956707.
  11. ^ Каплан, Л. (1999-01-01). "Шрамы в квантовых хаотических волновых функциях". Нелинейность . 12 (2): R1–R40. doi :10.1088/0951-7715/12/2/009. ISSN  0951-7715. S2CID  250793219.
  12. ^ abc Каплан, Л.; Хеллер, Э.Дж. (1998-04-10). "Линейная и нелинейная теория шрамов собственных функций". Annals of Physics . 264 (2): 171–206. Bibcode : 1998AnPhy.264..171K. doi : 10.1006/aphy.1997.5773. ISSN  0003-4916. S2CID  120635994.
  13. ^ Антонсен, TM; Отт, E.; Чен, Q.; Эртер, RN (1 января 1995 г.). «Статистика шрамов волновой функции». Physical Review E . 51 (1): 111–121. Bibcode :1995PhRvE..51..111A. doi :10.1103/PhysRevE.51.111. PMID  9962623.
  14. ^ Богомольный, ЭБ (1988-06-01). "Сглаженные волновые функции хаотических квантовых систем". Physica D: Nonlinear Phenomena . 31 (2): 169–189. Bibcode :1988PhyD...31..169B. doi :10.1016/0167-2789(88)90075-9. ISSN  0167-2789.
  15. ^ Берри, Майкл Виктор (1989-05-08). «Квантовые шрамы классических замкнутых орбит в фазовом пространстве». Труды Лондонского королевского общества. A. Математические и физические науки . 423 (1864): 219–231. Bibcode : 1989RSPSA.423..219B. doi : 10.1098/rspa.1989.0052. S2CID  121292996.
  16. ^ Шридхар, С. (1991-08-12). "Экспериментальное наблюдение зарубцованных собственных функций хаотических микроволновых полостей". Physical Review Letters . 67 (7): 785–788. Bibcode : 1991PhRvL..67..785S. doi : 10.1103/PhysRevLett.67.785. PMID  10044988.
  17. ^ Stein, J.; Stöckmann, H.-J. (1992-05-11). "Экспериментальное определение бильярдных волновых функций". Physical Review Letters . 68 (19): 2867–2870. Bibcode :1992PhRvL..68.2867S. doi :10.1103/PhysRevLett.68.2867. PMID  10045515.
  18. ^ Fromhold, TM; Wilkinson, PB; Sheard, FW; Eaves, L.; Miao, J.; Edwards, G. (1995-08-07). "Проявления классического хаоса в спектре энергетических уровней квантовой ямы". Physical Review Letters . 75 (6): 1142–1145. Bibcode :1995PhRvL..75.1142F. doi :10.1103/PhysRevLett.75.1142. PMID  10060216.
  19. ^ Wilkinson, PB; Fromhold, TM; Eaves, L.; Sheard, FW; Miura, N.; Takamasu, T. (апрель 1996 г.). «Наблюдение „шрамированных“ волновых функций в квантовой яме с хаотической динамикой электронов». Nature . 380 (6575): 608–610. Bibcode :1996Natur.380..608W. doi :10.1038/380608a0. ISSN  1476-4687. S2CID  4266044.
  20. ^ Нариманов, EE; Стоун, А. Дуглас (1998-01-05). "Происхождение сильных рубцов волновых функций в квантовых ямах в наклонном магнитном поле". Physical Review Letters . 80 (1): 49–52. arXiv : cond-mat/9705167 . Bibcode : 1998PhRvL..80...49N. doi : 10.1103/PhysRevLett.80.49. S2CID  119540313.
  21. ^ Ли, Сан-Бом; Ли, Джай-Хён; Чан, Джун-Сон; Мун, Хи-Джон; Ким, Сан-Вук; Ан, Кёнвон (2002-01-02). "Наблюдение за шрамированными модами в асимметрично деформированных микроцилиндрических лазерах". Physical Review Letters . 88 (3): 033903. arXiv : physics/0106031 . Bibcode : 2002PhRvL..88c3903L. doi : 10.1103/PhysRevLett.88.033903. PMID  11801060. S2CID  34110794.
  22. ^ Хараяма, Такахиса; Фукусима, Текехиро; Дэвис, Питер; Ваккаро, Пабло О.; Миясака, Томохиро; Нисимура, Такехиро; Айда, Тахито (31.01.2003). "Лазерная генерация на режимах рубцов в полностью хаотических микрополостях". Physical Review E. 67 ( 1): 015207. Bibcode : 2003PhRvE..67a5207H. doi : 10.1103/PhysRevE.67.015207. PMID  12636553.
  23. ^ Хёниг, А.; Винтген, Д. (1989-06-01). «Спектральные свойства сильно возмущенных кулоновских систем: свойства флуктуаций». Physical Review A. 39 ( 11): 5642–5657. Bibcode :1989PhRvA..39.5642H. doi :10.1103/PhysRevA.39.5642. PMID  9901147.
  24. ^ Manoharan, HC; Lutz, CP; Eigler, DM (февраль 2000 г.). «Квантовые миражи, образованные когерентной проекцией электронной структуры». Nature . 403 (6769): 512–515. Bibcode :2000Natur.403..512M. doi :10.1038/35000508. ISSN  1476-4687. PMID  10676952. S2CID  4387604.
  25. ^ Crommie, MF; Lutz, CP; Eigler, DM; Heller, EJ (1995-05-15). "Квантовые загоны". Physica D: Нелинейные явления . Квантовая сложность в мезоскопических системах. 83 (1): 98–108. Bibcode :1995PhyD...83...98C. doi : 10.1016/0167-2789(94)00254-N . ISSN  0167-2789.
  26. ^ Ларсон, Джонас; Андерсон, Брэндон М.; Альтланд, Александр (2013-01-22). "Динамика, управляемая хаосом, в атомных газах со спин-орбитальной связью". Physical Review A. 87 ( 1): 013624. arXiv : 1208.2923 . Bibcode : 2013PhRvA..87a3624L. doi : 10.1103/PhysRevA.87.013624 . S2CID  1031266.
  27. ^ ab Каплан, Л. (1999-05-01). "Квантовые эффекты рубцов и антирубцов в открытых хаотических системах". Physical Review E. 59 ( 5): 5325–5337. arXiv : chao-dyn/9809013 . Bibcode : 1999PhRvE..59.5325K. doi : 10.1103/PhysRevE.59.5325. PMID  11969492. S2CID  46298049.
  28. ^ ab Хуан, Лян; Лай, Ин-Чэн; Ферри, Дэвид К.; Гудник, Стивен М.; Акис, Ричард (2009-07-27). "Релятивистские квантовые шрамы". Physical Review Letters . 103 (5): 054101. Bibcode : 2009PhRvL.103e4101H. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.054101. PMID  19792502.
  29. ^ Ni, Xuan; Huang, Liang; Lai, Ying-Cheng; Grebogi, Celso (2012-07-11). "Scarring of Dirac fermions in chaotic billiards". Physical Review E. 86 ( 1): 016702. Bibcode : 2012PhRvE..86a6702N. doi : 10.1103/PhysRevE.86.016702. PMID  23005558.
  30. ^ Song, Min-Yue; Li, Zi-Yuan; Xu, Hong-Ya; Huang, Liang; Lai, Ying-Cheng (2019-10-03). "Квантование массивных дираковских бильярдов и объединение нерелятивистских и релятивистских хиральных квантовых шрамов". Physical Review Research . 1 (3): 033008. Bibcode : 2019PhRvR...1c3008S. doi : 10.1103/PhysRevResearch.1.033008 . S2CID  208330818.
  31. ^ О'Коннор, П.; Гелен, Дж.; Хеллер, Э.Дж. (1987-03-30). «Свойства случайных суперпозиций плоских волн». Physical Review Letters . 58 (13): 1296–1299. Bibcode :1987PhRvL..58.1296O. doi :10.1103/PhysRevLett.58.1296. PMID  10034395.
  32. ^ Берри, Майкл Виктор; Персиваль, Ян Колин; Вайс, Найджел Оскар (1987-09-08). «Бейкерианская лекция, 1987. Квантовая хаосология». Труды Лондонского королевского общества. A. Математические и физические науки . 413 (1844): 183–198. Bibcode : 1987RSPSA.413..183B. doi : 10.1098/rspa.1987.0109. S2CID  120770075.
  33. ^ Берри, М. В. (декабрь 1977 г.). «Регулярные и нерегулярные полуклассические волновые функции». Журнал физики A: Mathematical and General . 10 (12): 2083–2091. Bibcode : 1977JPhA...10.2083B. doi : 10.1088/0305-4470/10/12/016. ISSN  0305-4470.
  34. ^ Белломо, Паоло; Узер, Т. (1994-09-01). «Шрамы состояния призраками периодических орбит». Physical Review E. 50 ( 3): 1886–1893. Bibcode : 1994PhRvE..50.1886B. doi : 10.1103/PhysRevE.50.1886. PMID  9962190.
  35. ^ Белломо, Паоло; Узер, Т. (1995-02-01). «Квантовые шрамы и классические призраки». Physical Review A. 51 ( 2): 1669–1672. Bibcode : 1995PhRvA..51.1669B. doi : 10.1103/PhysRevA.51.1669. PMID  9911757.
  36. ^ Бисвас, Дебабрата (2000-05-01). «Замкнутые почти периодические орбиты в полуклассическом квантовании общих многоугольников». Physical Review E. 61 ( 5): 5129–5133. arXiv : chao-dyn/9909010 . Bibcode : 2000PhRvE..61.5129B. doi : 10.1103/PhysRevE.61.5129. PMID  11031557. S2CID  9959329.
  37. ^ Кусь, Марек; Хааке, Фриц; Деланд, Доминик (1993-10-04). «Предбифуркационные периодические призрачные орбиты в полуклассическом квантовании». Physical Review Letters . 71 (14): 2167–2171. Bibcode : 1993PhRvL..71.2167K. doi : 10.1103/PhysRevLett.71.2167. PMID  10054605.
  38. ^ Сундарам, Бала; Шарф, Райнер (1995-05-15). «Стандартный взгляд на призраков». Physica D: Нелинейные явления . Квантовая сложность в мезоскопических системах. 83 (1): 257–270. Bibcode :1995PhyD...83..257S. doi :10.1016/0167-2789(94)00267-T. ISSN  0167-2789.
  39. ^ Кески-Рахконен, Дж.; Руханен, А.; Хеллер, Э.Дж.; Рясянен, Э. (21 ноября 2019 г.). «Квантовые шрамы Лиссажу». Письма о физических отзывах . 123 (21): 214101. arXiv : 1911.09729 . Бибкод : 2019PhRvL.123u4101K. doi : 10.1103/PhysRevLett.123.214101. PMID  31809168. S2CID  208248295.
  40. ^ Луукко, Пертту Дж. Дж.; Друри, Байрон; Клалес, Анна; Каплан, Лев; Хеллер, Эрик Дж.; Рясянен, Эса (28 ноября 2016 г.). «Сильное квантовое рубцевание местными примесями». Научные отчеты . 6 (1): 37656. Бибкод : 2016NatSR...637656L. дои : 10.1038/srep37656. ISSN  2045-2322. ПМК 5124902 . ПМИД  27892510. 
  41. ^ Кески-Рахконен, Дж; Луукко, PJJ; Оберг, С; Рясянен, Э (21 января 2019 г.). «Влияние рубцевания на квантовый хаос в неупорядоченных квантовых ямах». Физический журнал: конденсированное вещество . 31 (10): 105301. arXiv : 1806.02598 . Бибкод : 2019JPCM...31j5301K. дои : 10.1088/1361-648x/aaf9fb. ISSN  0953-8984. PMID  30566927. S2CID  51693305.
  42. ^ Кески-Рахконен, Йоонас (2020). Квантовый хаос в неупорядоченных двумерных наноструктурах. Университет Тампере. ISBN 978-952-03-1699-0.
  43. ^ Lin, Cheng-Ju; Motrunich, Olexei I. (2019). «Точные квантовые состояния многочастичных шрамов в цепочке атомов, заблокированных Ридбергом». Physical Review Letters . 122 (17): 173401. arXiv : 1810.00888 . Bibcode : 2019PhRvL.122q3401L. doi : 10.1103/PhysRevLett.122.173401. PMID  31107057. S2CID  85459805.
  44. ^ Moudgalya, Sanjay; Regnault, Nicolas; Bernevig, B. Andrei (2018-12-27). «Запутывание точных возбужденных состояний моделей AKLT: точные результаты, многочастичные шрамы и нарушение сильного ETH». Physical Review B. 98 ( 23): 235156. arXiv : 1806.09624 . doi : 10.1103/PhysRevB.98.235156. ISSN  2469-9950. S2CID  128268697.
  45. ^ abcd "Квантовое рубцевание, по-видимому, бросает вызов стремлению Вселенной к беспорядку". Журнал Quanta . 20 марта 2019 г. Получено 24 марта 2019 г.
  46. ^ abc Берниен, Ханнес; Шварц, Сильвен; Кислинг, Александр; Левин, Гарри; Омран, Ахмед; Пихлер, Ханнес; Чой, Сунвон; Зибров, Александр С.; Эндрес, Мануэль; Грейнер, Маркус; Вулетич, Владан; Лукин, Михаил Д. (30 ноября 2017 г.). «Исследование динамики многих тел на квантовом симуляторе с 51 атомом». Nature . 551 (7682): 579–584. arXiv : 1707.04344 . Bibcode :2017Natur.551..579B. doi :10.1038/nature24622. ISSN  1476-4687. PMID  29189778. S2CID  205261845.
  47. ^ ab Turner, CJ; Michailidis, AA; Abanin, DA; Serbyn, M.; Papić, Z. (22 октября 2018 г.). «Квантовые шрамированные собственные состояния в цепочке атомов Ридберга: запутывание, разрушение термализации и устойчивость к возмущениям». Physical Review B . 98 (15): 155134. arXiv : 1806.10933 . Bibcode :2018PhRvB..98o5134T. doi :10.1103/PhysRevB.98.155134. S2CID  51746325.
  48. ^ Papić, Z.; Serbyn, M.; Abanin, DA; Michailidis, AA; Turner, CJ (14 мая 2018 г.). «Нарушение слабой эргодичности из-за квантовых многотельных шрамов» (PDF) . Nature Physics . 14 (7): 745–749. Bibcode :2018NatPh..14..745T. doi :10.1038/s41567-018-0137-5. ISSN  1745-2481. S2CID  51681793.
  49. ^ Хо, Вэнь Вэй; Чой, Сунвон; Пихлер, Ханнес; Лукин, Михаил Д. (29 января 2019 г.). «Периодические орбиты, запутанность и квантовые многочастичные шрамы в ограниченных моделях: подход на основе матричного продукта». Physical Review Letters . 122 (4): 040603. arXiv : 1807.01815 . Bibcode :2019PhRvL.122d0603H. doi :10.1103/PhysRevLett.122.040603. PMID  30768339. S2CID  73441462.
  50. ^ Кемани, Ведика; Лауманн, Крис Р.; Чандран, Анушья (2019). «Признаки интегрируемости в динамике цепей, блокированных Ридбергом». Physical Review B. 99 ( 16): 161101. arXiv : 1807.02108 . Bibcode : 2019PhRvB..99p1101K. doi : 10.1103/PhysRevB.99.161101. S2CID  119404679.
  51. ^ Чой, Сунвон; Тернер, Кристофер Дж.; Пихлер, Ханнес; Хо, Вэнь Вэй; Михайлидис, Алексиос А.; Папич, Златко; Сербин, Максим; Лукин, Михаил Д.; Абанин, Дмитрий А. (2019). "Emergent SU(2) dynamics and perfect quantum many-body scars". Physical Review Letters . 122 (22): 220603. arXiv : 1812.05561 . Bibcode :2019PhRvL.122v0603C. doi :10.1103/PhysRevLett.122.220603. PMID  31283292. S2CID  119494477.
  52. ^ Moudgalya, Sanjay; Regnault, Nicolas; Bernevig, B. Andrei (2020-08-20). " η {\displaystyle \eta } -спаривание в моделях Хаббарда: от спектральных генерирующих алгебр до квантовых многочастичных шрамов". Physical Review B . 102 (8): 085140. arXiv : 2004.13727 . Bibcode :2020PhRvB.102h5140M. doi :10.1103/PhysRevB.102.085140. S2CID  216641904.
  53. ^ Булл, Киран; Десолес, Жан-Ив; Папич, Златко (2020-04-27). «Квантовые шрамы как вложения слабо нарушенных представлений алгебры Ли». Physical Review B. 101 ( 16): 165139. arXiv : 2001.08232 . Bibcode : 2020PhRvB.101p5139B. doi : 10.1103/PhysRevB.101.165139. S2CID  210861174.
  54. ^ Буча, Берислав; Тиндалл, Джозеф; Якш, Дитер (2019-04-15). "Нестационарная когерентная квантовая динамика многих тел через диссипацию". Nature Communications . 10 (1): 1730. arXiv : 1804.06744 . Bibcode :2019NatCo..10.1730B. doi :10.1038/s41467-019-09757-y. ISSN  2041-1723. PMC 6465298 . PMID  30988312. 
  55. ^ Меденьяк, Марко; Буча, Берислав; Якш, Дитер (2020-07-20). «Изолированный магнит Гейзенберга как квантовый кристалл времени». Physical Review B. 102 ( 4): 041117. arXiv : 1905.08266 . Bibcode : 2020PhRvB.102d1117M. doi : 10.1103/PhysRevB.102.041117. S2CID  160009779.