Шриниваса Рамануджан

Индийский математик (1887–1920)

Шриниваса Рамануджан Айянгар ^[a] (22 декабря 1887 г. — 26 апреля 1920 г.) — индийский математик . Его часто считают одним из величайших математиков всех времен, хотя у него почти не было формального образования в области чистой математики , он внес значительный вклад в математический анализ , теорию чисел , бесконечные ряды и непрерывные дроби , включая решения математических задач, которые тогда считались неразрешимыми.

Рамануджан изначально разрабатывал свои собственные математические исследования в изоляции. По словам Ганса Айзенка , «он пытался заинтересовать ведущих профессиональных математиков своей работой, но по большей части терпел неудачу. То, что он должен был показать им, было слишком новым, слишком незнакомым и, кроме того, представленным необычным образом; их это не беспокоило». ^[4] В поисках математиков, которые могли бы лучше понять его работу, в 1913 году он начал переписку по почте с английским математиком Г. Х. Харди из Кембриджского университета , Англия. Признав работу Рамануджана выдающейся, Харди организовал для него поездку в Кембридж. В своих заметках Харди прокомментировал, что Рамануджан создал новаторские новые теоремы , включая некоторые, которые «полностью меня поразили; я никогда не видел ничего подобного раньше», ^[5] и некоторые недавно доказанные, но весьма продвинутые результаты.

За свою короткую жизнь Рамануджан независимо составил около 3900 результатов (в основном тождества и уравнения ). ^[6] Многие из них были совершенно новыми; его оригинальные и весьма нетрадиционные результаты, такие как простое число Рамануджана , тета-функция Рамануджана , формулы разбиения и фиктивные тета-функции , открыли совершенно новые области работы и вдохновили на дальнейшие исследования. ^[7] Из его тысяч результатов большинство были признаны верными. ^[8] Ramanujan Journal , научный журнал , был создан для публикации работ во всех областях математики, на которые оказал влияние Рамануджан, ^[9] и его записные книжки, содержащие резюме его опубликованных и неопубликованных результатов, анализировались и изучались в течение десятилетий после его смерти как источник новых математических идей. Еще в 2012 году исследователи продолжали обнаруживать, что простые комментарии в его трудах о «простых свойствах» и «похожих выходах» для определенных результатов сами по себе были глубокими и тонкими результатами теории чисел, которые оставались незамеченными до почти столетия после его смерти. ^{[10] [11]} Он стал одним из самых молодых членов Королевского общества и всего лишь вторым индийским членом, а также первым индийцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже .

В 1919 году плохое самочувствие — как теперь полагают, вызванное гепатическим амебиазом (осложнение после перенесенной много лет назад дизентерии ) — заставило Рамануджана вернуться в Индию, где он умер в 1920 году в возрасте 32 лет. Его последние письма Харди, написанные в январе 1920 года, показывают, что он все еще продолжал генерировать новые математические идеи и теоремы. Его « потерянная тетрадь », содержащая открытия последнего года его жизни, вызвала большое волнение среди математиков, когда была вновь обнаружена в 1976 году.

Ранний период жизни

Место рождения Рамануджана на улице Алахири, 18, Эрод , сейчас в Тамил Наду

Дом Рамануджана на улице Сарангапани Саннидхи, Кумбаконам

Рамануджан (буквально «младший брат Рамы », индуистского божества) ^[12] родился 22 декабря 1887 года в семье тамильского брахмана Айенгара в Эроде , в современном Тамил Наду . ^[13] Его отец, Куппусвами Шриниваса Айенгар, родом из округа Танджавур , работал клерком в магазине сари . ^{[14] [2]} Его мать, Комалатаммал, была домохозяйкой и пела в местном храме. ^[15] Они жили в небольшом традиционном доме на улице Сарангапани Саннидхи в городе Кумбаконам . ^[16] Семейный дом сейчас является музеем. Когда Рамануджану было полтора года, его мать родила сына, Садагопана, который умер менее чем через три месяца. В декабре 1889 года Рамануджан заболел оспой , но выздоровел, в отличие от 4000 других, которые умерли в плохой год в округе Танджавур примерно в это же время. Он переехал со своей матерью в дом ее родителей в Канчипураме , недалеко от Мадраса (ныне Ченнаи ). Его мать родила еще двоих детей в 1891 и 1894 годах, оба из которых умерли до своего первого дня рождения. ^[12]

1 октября 1892 года Рамануджан был зачислен в местную школу. ^[17] После того, как его дед по материнской линии потерял работу в качестве судебного чиновника в Канчипураме, ^[18] Рамануджан и его мать вернулись в Кумбаконам , и он был зачислен в начальную школу Кангаян. ^[19] Когда его дед по отцовской линии умер, его отправили обратно к бабушке и дедушке по материнской линии, которые тогда жили в Мадрасе. Ему не нравилась школа в Мадрасе, и он старался ее не посещать. Его семья наняла местного констебля, чтобы убедиться, что он посещает школу. Через шесть месяцев Рамануджан вернулся в Кумбаконам. ^[19]

Поскольку отец Рамануджана большую часть дня был на работе, его мать заботилась о мальчике, и у них были близкие отношения. От нее он узнал о традициях и пуранах , о том, как петь религиозные песни, посещать пуджи в храме и соблюдать особые привычки в еде — все это часть культуры брахманов . ^[20] В начальной школе Кангаян Рамануджан хорошо учился. Незадолго до того, как ему исполнилось 10 лет, в ноябре 1897 года, он сдал начальные экзамены по английскому, тамильскому , географии и арифметике с лучшими баллами в округе. ^[21] В том же году Рамануджан поступил в среднюю школу города , где впервые столкнулся с формальной математикой. ^[21]

Будучи вундеркиндом к 11 годам, он исчерпал математические знания двух студентов колледжа, которые жили у него дома. Позже ему дали книгу, написанную С. Л. Лони , по продвинутой тригонометрии. ^{[22] [23]} Он овладел этим к 13 годам, самостоятельно открывая сложные теоремы. К 14 годам он получил сертификаты о заслугах и академические награды, которые продолжали присуждаться на протяжении всей его школьной карьеры, и он помогал школе в логистике распределения ее 1200 учеников (каждый с разными потребностями) к ее примерно 35 учителям. ^[24] Он сдал математические экзамены в два раза быстрее отведенного времени и показал знакомство с геометрией и бесконечными рядами . Рамануджану показали, как решать кубические уравнения в 1902 году. Позже он разработал свой собственный метод решения квартики . В 1903 году он попытался решить квинтику , не зная, что ее невозможно решить с радикалами. ^[25]

В 1903 году, когда ему было 16 лет, Рамануджан получил от друга библиотечную копию « Обзора элементарных результатов в чистой и прикладной математике» , собрания 5000 теорем GS Carr . ^{[26] [27]} Сообщается, что Рамануджан подробно изучил содержание книги. ^[28] В следующем году Рамануджан самостоятельно разработал и исследовал числа Бернулли и вычислил постоянную Эйлера-Маскерони с точностью до 15 знаков после запятой. ^[29] Его сверстники в то время говорили, что они «редко понимали его» и «испытали на себе почтительное благоговение» перед ним. ^[24]

Когда он окончил среднюю школу Town Higher Secondary School в 1904 году, Рамануджан был награжден премией имени К. Ранганатхи Рао по математике директором школы Кришнасвами Айером. Айер представил Рамануджана как выдающегося ученика, который заслуживал баллов выше максимального. ^[30] Он получил стипендию на обучение в правительственном колледже искусств в Кумбаконаме , ^{[31] [32]} но был так поглощен математикой, что не мог сосредоточиться ни на одном другом предмете и провалил большинство из них, потеряв в процессе стипендию. ^[33] В августе 1905 года Рамануджан сбежал из дома, направившись в Вишакхапатнам , и оставался в Раджамандри ^[34] около месяца. ^[33] Позже он поступил в колледж Пачайаппы в Мадрасе. Там он сдал по математике, выбрав только те вопросы, которые ему нравились, и оставив остальные без ответа, но показал плохие результаты по другим предметам, таким как английский язык, физиология и санскрит. ^[35] Рамануджан провалил экзамен на степень стипендиата по искусству в декабре 1906 года и еще раз год спустя. Не получив степени FA, он покинул колледж и продолжил заниматься независимыми исследованиями в области математики, живя в крайней нищете и часто на грани голода. ^[36]

В 1910 году, после встречи 23-летнего Рамануджана с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айером , Рамануджан начал получать признание в математических кругах Мадраса, что привело к его включению в качестве исследователя в Мадрасский университет . ^[37]

Взрослая жизнь в Индии

14 июля 1909 года Рамануджан женился на Джанаки (Джанакиаммал; 21 марта 1899 года – 13 апреля 1994 года), ^[38] девушке, которую его мать выбрала для него годом ранее, и которой было десять лет, когда они поженились. ^{[39] [40] [41]} В то время не было ничего необычного в том, чтобы браки заключались с девочками в юном возрасте. Джанаки была из Раджендрама, деревни недалеко от железнодорожной станции Марудур ( район Карур ). Отец Рамануджана не участвовал в церемонии бракосочетания. ^[42] Как было принято в то время, Джанаки продолжала оставаться в доме своей матери в течение трех лет после замужества, пока не достигла половой зрелости. В 1912 году она и мать Рамануджана присоединились к Рамануджану в Мадрасе. ^[43]

Рамануджан сидит один

После женитьбы у Рамануджана развилось гидроцеле яичка . ^[44] Это состояние можно было вылечить с помощью обычной хирургической операции, которая высвободила бы заблокированную жидкость в мошонке, но его семья не могла позволить себе операцию. В январе 1910 года врач вызвался провести операцию бесплатно. ^[45]

После успешной операции Рамануджан искал работу. Он остановился в доме друга, пока ходил от двери к двери в Мадрасе в поисках должности клерка. Чтобы заработать денег, он репетировал студентов в Presidency College, которые готовились к экзамену на стипендию Fellow of Arts. ^[46]

В конце 1910 года Рамануджан снова заболел. Он опасался за свое здоровье и сказал своему другу Р. Радакришне Айеру «передать [свои тетради] профессору Сингаравелу Мудальяру [профессору математики в колледже Пачайаппы] или британскому профессору Эдварду Б. Россу из Мадрасского христианского колледжа ». ^[47] После того, как Рамануджан выздоровел и забрал свои тетради у Айера, он сел на поезд из Кумбаконама в Виллупурам , город, находившийся под контролем Франции. ^{[48] [49]} В 1912 году Рамануджан переехал с женой и матерью в дом на улице Сайва Мутайя Мудали, Джорджтаун , Мадрас , где они прожили несколько месяцев. ^[50] В мае 1913 года, получив должность исследователя в Мадрасском университете, Рамануджан переехал с семьей в Трипликане . ^[51]

Стремление к карьере в области математики

В 1910 году Рамануджан встретил заместителя сборщика налогов В. Рамасвами Айера , который основал Индийское математическое общество. ^[52] Желая получить работу в налоговом отделе, где работал Айер, Рамануджан показал ему свои математические тетради. Как позже вспоминал Айер:

Я был поражен необычайными математическими результатами, содержащимися в [тетрадях]. Я не собирался подавлять его гений назначением на низшую ступень налогового управления. ^[53]

Айер отправил Рамануджана с рекомендательными письмами к своим друзьям-математикам в Мадрасе. ^[52] Некоторые из них посмотрели на его работу и дали ему рекомендательные письма к Р. Рамачандре Рао , окружному сборщику налогов в Неллоре и секретарю Индийского математического общества. ^{[54] [55] [56]} Рао был впечатлен исследованиями Рамануджана, но усомнился, что это была его собственная работа. Рамануджан упомянул о переписке, которую он имел с профессором Салдханой, известным бомбейским математиком, в которой Салдхана выразил непонимание его работы, но пришел к выводу, что он не был мошенником. ^[57] Друг Рамануджана Ч. В. Раджагопалачари попытался развеять сомнения Рао относительно академической честности Рамануджана. Рао согласился дать ему еще один шанс и слушал, как Рамануджан обсуждал эллиптические интегралы , гипергеометрические ряды и свою теорию расходящихся рядов , что, по словам Рао, в конечном итоге убедило его в гениальности Рамануджана. ^[57] Когда Рао спросил его, чего он хочет, Рамануджан ответил, что ему нужна работа и финансовая поддержка. Рао согласился и отправил его в Мадрас. Он продолжил свои исследования с финансовой помощью Рао. С помощью Айера Рамануджан опубликовал свою работу в журнале Индийского математического общества. ^[58]

К Ананда Рау сидит с Рамануджаном

Одной из первых задач, которую он поставил в журнале ^[30], было нахождение значения:

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

Он ждал решения в трех выпусках, более шести месяцев, но так и не получил ни одного. В конце Рамануджан сам предоставил неполное ^[59] решение проблемы. На странице 105 своей первой тетради он сформулировал уравнение, которое можно было использовать для решения проблемы бесконечно вложенных радикалов .

${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}}$

Используя это уравнение, ответ на вопрос, поставленный в журнале, был просто 3, полученный путем установки x = 2 , n = 1 и a = 0. [ ^60] Рамануджан написал свою первую официальную статью для журнала о свойствах чисел Бернулли . Одним из свойств, которое он открыл, было то, что знаменатели дробей чисел Бернулли (последовательность A027642 в OEIS ) всегда делятся на шесть. Он также разработал метод вычисления B _n на основе предыдущих чисел Бернулли. Один из этих методов следующий:

Будет замечено, что если n четное, но не равно нулю,

1. B _n — дробь, а числитель ⁠Б _н/н⁠ в низшей степени является простым числом,
2. знаменатель B _n содержит каждый из множителей 2 и 3 один и только один раз,
3. 2 ^н (2 ^н − 1) ⁠Б _н/н⁠ — целое число, и 2(2 ⁿ − 1) B _n , следовательно, — нечетное целое число.

В своей 17-страничной статье «Некоторые свойства чисел Бернулли» (1911) Рамануджан привел три доказательства, два следствия и три гипотезы. ^[61] Его работа изначально имела много недостатков. Как заметил редактор журнала МТ Нараяна Айенгар:

Методы г-на Рамануджана были настолько лаконичны и новы, а его изложение настолько лишено ясности и точности, что обычный [математический читатель], непривычный к такой интеллектуальной гимнастике, вряд ли мог его понять. ^[62]

Позже Рамануджан написал еще одну статью и также продолжил предоставлять проблемы в журнале . ^[63] В начале 1912 года он получил временную работу в офисе главного бухгалтера Мадраса с ежемесячной зарплатой в 20 рупий. Он продержался там всего несколько недель. ^[64] К концу этого назначения он подал заявку на должность главного бухгалтера траста порта Мадраса .

В письме от 9 февраля 1912 года Рамануджан писал:

Сэр,
 я знаю, что в вашем офисе есть вакантная должность клерка, и я прошу подать на нее заявку. Я сдал экзамен на аттестат зрелости и учился до FA, но мне не удалось продолжить обучение из-за нескольких неблагоприятных обстоятельств. Однако я посвящал все свое время математике и развитию этого предмета. Могу сказать, что я вполне уверен, что смогу достойно выполнить свою работу, если меня назначат на эту должность. Поэтому я прошу вас быть настолько любезным, чтобы назначить меня на эту должность. ^[65]

К его заявлению была приложена рекомендация от Э. У. Миддлмаста , профессора математики в Президентском колледже , который написал, что Рамануджан был «молодым человеком с совершенно исключительными способностями в математике». ^[66] Через три недели после подачи заявления, 1 марта, Рамануджан узнал, что его приняли в качестве бухгалтера класса III, класса IV, зарабатывая 30 рупий в месяц. ^[67] В своем офисе Рамануджан легко и быстро выполнил порученную ему работу и проводил свободное время, занимаясь математическими исследованиями. Начальник Рамануджана, сэр Фрэнсис Спринг , и С. Нараяна Айер, коллега, который также был казначеем Индийского математического общества, поощряли Рамануджана в его математических занятиях. ^[68]

Связаться с британскими математиками

Весной 1913 года Нараяна Айер, Рамачандра Рао и Э. У. Миддлмаст попытались представить работу Рамануджана британским математикам. М. Дж. М. Хилл из Лондонского университетского колледжа заметил, что работы Рамануджана были пронизаны дырами. ^[69] Он сказал, что хотя Рамануджан имел «вкус к математике и некоторые способности», ему не хватало необходимого образования и фундамента, чтобы быть принятым математиками. ^[70] Хотя Хилл не предлагал взять Рамануджана в качестве студента, он давал подробные и серьезные профессиональные советы по его работе. С помощью друзей Рамануджан составил письма ведущим математикам Кембриджского университета. ^[71]

Первые два профессора, Х. Ф. Бейкер и Э. У. Хобсон , вернули статьи Рамануджана без комментариев. ^[72] 16 января 1913 года Рамануджан написал Г. Х. Харди , которого он знал по работе «Порядки бесконечности» (1910). ^{[73] [74]} Девять страниц математики, написанные неизвестным математиком, заставили Харди изначально рассматривать рукописи Рамануджана как возможный обман. ^[75] Харди узнал некоторые формулы Рамануджана, но в другие «казалось, вряд ли можно поверить». ^{[76] : 494} Одна из теорем, которую Харди нашел удивительной, находилась внизу третьей страницы (справедливой для 0 < a < b + ⁠1/2⁠ ):

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \cdots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

Харди также был впечатлен некоторыми другими работами Рамануджана, связанными с бесконечными рядами:

${\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}}$

${\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}$

Первый результат уже был определен Г. Бауэром в 1859 году. Второй был новым для Харди и был выведен из класса функций, называемых гипергеометрическими рядами , которые впервые были исследованы Эйлером и Гауссом. Харди нашел эти результаты «гораздо более интригующими», чем работа Гаусса по интегралам. ^[77] Увидев теоремы Рамануджана о непрерывных дробях на последней странице рукописей, Харди сказал, что теоремы «полностью меня поразили; я никогда не видел ничего подобного раньше» ^[78] и что они «должны быть верны, потому что, если бы они не были верны, ни у кого не хватило бы воображения их придумать». ^[78] Харди попросил коллегу, Дж. Э. Литтлвуда , взглянуть на статьи. Литтлвуд был поражен гением Рамануджана. Обсудив документы с Литтлвудом, Харди пришел к выводу, что письма были «безусловно самыми замечательными из тех, что я получал», и что Рамануджан был «математиком высочайшего уровня, человеком исключительной оригинальности и силы». ^{[76] : 494–495} Один из его коллег, Э. Х. Невилл , позже заметил, что «никто из тех, кто в то время вращался в математических кругах Кембриджа, не может забыть сенсацию, вызванную этим письмом... ни одна [теорема] не могла быть установлена ​​на самом передовом математическом экзамене в мире». ^[63]

8 февраля 1913 года Харди написал Рамануджану письмо, в котором выразил интерес к его работе, добавив, что «мне было бы крайне важно увидеть доказательства некоторых из ваших утверждений». ^[79] До того, как его письмо прибыло в Мадрас в течение третьей недели февраля, Харди связался с Индийским офисом, чтобы спланировать поездку Рамануджана в Кембридж. Секретарь Артур Дэвис из Консультативного комитета индийских студентов встретился с Рамануджаном, чтобы обсудить зарубежную поездку. ^[80] В соответствии со своим брахманским воспитанием Рамануджан отказался покидать свою страну, чтобы « отправиться в чужую страну », и его родители также были против по той же причине. ^[81] Тем временем он отправил Харди письмо, полное теорем, написав: «Я нашел в тебе друга, который с сочувствием относится к моему труду». ^[82]

В дополнение к одобрению Харди, Гилберт Уокер , бывший преподаватель математики в Тринити-колледже в Кембридже , посмотрел на работу Рамануджана и выразил удивление, настоятельно рекомендовав молодому человеку провести время в Кембридже. ^[83] В результате одобрения Уокера, Б. Хануманта Рао, профессор математики в инженерном колледже, пригласил коллегу Рамануджана Нараяну Айера на заседание Совета по исследованиям в области математики, чтобы обсудить «что мы можем сделать для С. Рамануджана». ^[84] Совет согласился предоставить Рамануджану ежемесячную исследовательскую стипендию в размере 75 рупий на следующие два года в Мадрасском университете . ^[85]

Будучи студентом-исследователем, Рамануджан продолжал отправлять статьи в Журнал Индийского математического общества. В одном случае Айер отправил в журнал некоторые теоремы Рамануджана о суммировании рядов, добавив: «Следующая теорема принадлежит С. Рамануджану, студенту-математику Мадрасского университета». Позже в ноябре британский профессор Эдвард Б. Росс из Мадрасского христианского колледжа , с которым Рамануджан познакомился несколько лет назад, однажды ворвался в его класс с горящими глазами и спросил своих студентов: «Знает ли Рамануджан польский язык?» Причина заключалась в том, что в одной из статей Рамануджан предвосхитил работу польского математика, чья статья только что пришла по почте. ^[86] В своих квартальных статьях Рамануджан составил теоремы, чтобы сделать определенные интегралы более легко решаемыми. Разрабатывая интегральную теорему Джулиано Фруллани 1821 года, Рамануджан сформулировал обобщения, которые можно было бы использовать для оценки ранее невыполнимых интегралов. ^[87]

Переписка Харди с Рамануджаном испортилась после того, как Рамануджан отказался приехать в Англию. Харди привлек коллегу, читавшего лекции в Мадрасе, Э. Х. Невилла, в качестве наставника и привезшего Рамануджана в Англию. ^[88] Невилл спросил Рамануджана, почему он не хочет ехать в Кембридж. Рамануджан, по-видимому, теперь принял предложение; Невилл сказал: «Рамануджану не нужно было обращать в свою веру», и «противодействие его родителей было снято». ^[63] По-видимому, матери Рамануджана приснился яркий сон, в котором Рамануджан был окружен европейцами, а семейная богиня, божество Намагири , приказала ей «больше не стоять между ее сыном и выполнением его жизненного предназначения». ^[63] 17 марта 1914 года Рамануджан отправился в Англию на корабле, ^[89] оставив жену жить с родителями в Индии. ^[90]

Жизнь в Англии

Рамануджан (в центре) и его коллега Г. Х. Харди (крайний справа) с другими учеными у здания Сената в Кембридже , 1914–1919 гг.

Уэвеллс-Корт, Тринити-колледж, Кембридж

Рамануджан отплыл из Мадраса на борту парохода SS Nevasa 17 марта 1914 года. ^{[91] [92]} Когда он сошел в Лондоне 14 апреля, Невилл ждал его с машиной. Четыре дня спустя Невилл отвез его в свой дом на Честертон-роуд в Кембридже. Рамануджан немедленно начал работать с Литтлвудом и Харди. Через шесть недель Рамануджан съехал из дома Невилла и поселился на Уэвеллс-корт, в пяти минутах ходьбы от комнаты Харди. ^[93]

Страница Рамануджана «Главная теорема»

Харди и Литтлвуд начали просматривать тетради Рамануджана. Харди уже получил 120 теорем от Рамануджана в первых двух письмах, но в тетрадях было гораздо больше результатов и теорем. Харди увидел, что некоторые из них были неверны, другие уже были открыты, а остальные были новыми прорывами. ^[94] Рамануджан произвел глубокое впечатление на Харди и Литтлвуда. Литтлвуд прокомментировал: «Я могу поверить, что он, по крайней мере, Якоби » , ^[95] в то время как Харди сказал, что он «может сравнивать его только с Эйлером или Якоби». ^[96]

Рамануджан провел почти пять лет в Кембридже, сотрудничая с Харди и Литтлвудом, и опубликовал там часть своих открытий. Харди и Рамануджан были очень разными личностями. Их сотрудничество было столкновением разных культур, верований и стилей работы. В предыдущие несколько десятилетий основы математики были поставлены под сомнение, и была признана необходимость в математически строгих доказательствах. Харди был атеистом и апостолом доказательств и математической строгости, тогда как Рамануджан был глубоко религиозным человеком, который очень сильно полагался на свою интуицию и прозрения. Харди изо всех сил старался заполнить пробелы в образовании Рамануджана и наставлять его в необходимости формальных доказательств для поддержки его результатов, не мешая его вдохновению — конфликт, который ни один из них не нашел легким.

Рамануджану была присуждена степень бакалавра искусств по исследовательской работе ^{[97] [98]} (предшественница степени доктора философии) в марте 1916 года за его работу по высоко составным числам , разделы первой части которой были опубликованы годом ранее в Трудах Лондонского математического общества . Статья была длиной более 50 страниц и доказывала различные свойства таких чисел. Харди не любил эту область темы, но заметил, что хотя она и связана с тем, что он называл «захолустьем математики», в ней Рамануджан продемонстрировал «исключительное мастерство в алгебре неравенств». ^[99]

6 декабря 1917 года Рамануджан был избран в Лондонское математическое общество. 2 мая 1918 года он был избран членом Королевского общества ^[100] , вторым принятым индийцем после Ардасира Курсетджи в 1841 году. В возрасте 31 года Рамануджан был одним из самых молодых членов в истории Королевского общества. Он был избран «за свои исследования в области эллиптических функций и теории чисел». 13 октября 1918 года он стал первым индийцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже ^[101] .

Болезнь и смерть

У Рамануджана было множество проблем со здоровьем на протяжении всей его жизни. Его здоровье ухудшилось в Англии; возможно, он также был менее вынослив из-за трудностей соблюдения строгих диетических требований его религии там и из-за военного нормирования в 1914–18 годах . У него диагностировали туберкулез и острый дефицит витаминов , и он был помещен в санаторий . Он пытался покончить жизнь самоубийством в конце 1917 или начале 1918 года, прыгнув на рельсы станции лондонского метро. Скотланд-Ярд арестовал его за попытку самоубийства (что было преступлением), но освободил после вмешательства Харди. ^{[102] [103]} В 1919 году Рамануджан вернулся в Кумбаконам , Мадрасское президентство , где он умер в 1920 году в возрасте 32 лет. После его смерти его брат Тирунараянан составил оставшиеся рукописные заметки Рамануджана, состоящие из формул по особым модулям, гипергеометрическим рядам и непрерывным дробям. ^[43] В свои последние дни, несмотря на сильную боль, «он продолжал заниматься математикой, заполняя лист за листом числами», — рассказывает Джанаки Аммал. ^[104]

Вдова Рамануджана, г-жа Джанаки Аммал, переехала в Бомбей . В 1931 году она вернулась в Мадрас и поселилась в Трипликане , где она содержала себя на пенсию от Мадрасского университета и доход от пошива одежды. В 1950 году она усыновила сына, В. Нараянана, который в конечном итоге стал сотрудником Государственного банка Индии и вырастил семью. В последние годы жизни она получала пожизненную пенсию от бывшего работодателя Рамануджана, Madras Port Trust, и пенсии, среди прочего, от Индийской национальной академии наук и правительств штатов Тамилнад , Андхра-Прадеш и Западная Бенгалия . Она продолжала беречь память о Рамануджане и активно работала над повышением его общественного признания; выдающиеся математики, включая Джорджа Эндрюса, Брюса С. Берндта и Белу Боллобаша, навещали ее во время пребывания в Индии. Она умерла в своей резиденции в Трипликане в 1994 году. ^{[42] [43]}

Анализ медицинских записей и симптомов Рамануджана, проведенный в 1994 году Д. А. Б. Янгом ^[103], пришел к выводу, что его медицинские симптомы , включая его прошлые рецидивы, лихорадки и печеночные заболевания, были гораздо ближе к симптомам, вызванным гепатическим амебиазом , болезнью, которая тогда была широко распространена в Мадрасе, чем к туберкулезу. У него было два эпизода дизентерии до того, как он покинул Индию. При отсутствии надлежащего лечения амебная дизентерия может годами оставаться в состоянии покоя и приводить к гепатическому амебиазу, диагноз которого тогда не был установлен. ^[105] В то время, при правильной диагностике, амебиаз был поддающимся лечению и часто излечимым заболеванием; ^{[105] [106]} Британские солдаты, заразившиеся им во время Первой мировой войны, успешно излечивались от амебиаза примерно в то время, когда Рамануджан покинул Англию. ^[107]

Личность и духовная жизнь

Во время сна у меня был необычный опыт. Был красный экран, образованный как бы текущей кровью. Я наблюдал за ним. Внезапно рука начала писать на экране. Я стал всем вниманием. Эта рука написала несколько эллиптических интегралов. Они застряли в моем сознании. Как только я проснулся, я записал их.

— Шриниваса Рамануджан ^[108]

Рамануджана описывают как человека несколько застенчивого и тихого нрава, достойного человека с приятными манерами. ^[109] Он жил простой жизнью в Кембридже. ^[110] Первые индийские биографы Рамануджана описывают его как строго ортодоксального индуиста . Он приписывал свою проницательность своей семейной богине , Намагири Тхайяр (богине Махалакшми ) из Намаккала . Он обращался к ней за вдохновением в своей работе ^[111] и говорил, что ему снились капли крови, которые символизировали ее супруга, Нарасимху . Позже у него были видения свитков сложного математического содержания, разворачивающихся перед его глазами. ^[112] Он часто говорил: «Уравнение для меня не имеет смысла, если оно не выражает мысль Бога». ^[113]

Харди цитирует Рамануджана, который заметил, что все религии кажутся ему одинаково истинными. ^[114] Харди далее утверждал, что религиозные убеждения Рамануджана были романтизированы западными людьми и преувеличены — в отношении его убеждений, а не практики — индийскими биографами. В то же время он отметил строгое вегетарианство Рамануджана . ^[115]

Аналогичным образом, в интервью Frontline Берндт сказал: «Многие люди ошибочно приписывают мистические силы математическому мышлению Рамануджана. Это неправда. Он тщательно записывал каждый результат в своих трех блокнотах», далее предполагая, что Рамануджан обрабатывал промежуточные результаты на грифельной доске, поскольку он не мог позволить себе бумагу для более постоянной записи. ^[8]

Берндт сообщил, что Джанаки сказал в 1984 году, что Рамануджан тратил так много времени на математику, что не ходил в храм, что она и ее мать часто кормили его, потому что у него не было времени поесть, и что большинство религиозных историй, приписываемых ему, произошли от других. Однако его ортопраксия не вызывала сомнений. ^[116]

Математические достижения

В математике существует различие между пониманием и формулированием или проработкой доказательства. Рамануджан предложил множество формул, которые можно было бы исследовать позже более глубоко. Г. Х. Харди сказал, что открытия Рамануджана необычайно богаты и что в них часто есть больше, чем изначально кажется на первый взгляд. В качестве побочного продукта его работы были открыты новые направления исследований. Примеры самых интригующих из этих формул включают бесконечные ряды для π , один из которых приведен ниже:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.}$

Этот результат основан на отрицательном фундаментальном дискриминанте d = −4 × 58 = −232 с номером класса h ( d ) = 2. Далее, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 и 16 × 9801 = 396 ² , что связано с тем фактом, что

${\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\dots .}$

Это можно сравнить с числами Хегнера , которые имеют класс номер 1 и приводят к аналогичным формулам.

Ряд Рамануджана для π сходится необычайно быстро и составляет основу некоторых из самых быстрых алгоритмов, используемых для вычисления π . Усечение суммы до первого члена также дает приближение ⁠9801 √ 2/4412⁠ для π , что верно до шести знаков после запятой; усечение его до первых двух членов дает значение, верное до 14 знаков после запятой (см. также более общий ряд Рамануджана–Сато ) .

Одной из замечательных способностей Рамануджана было быстрое решение проблем, что иллюстрируется следующим анекдотом об инциденте, в котором ПК Махаланобис поставил проблему:

Представьте, что вы находитесь на улице с домами, обозначенными от 1 до n . Между ними есть дом ( x ), такой, что сумма номеров домов слева от него равна сумме номеров домов справа. Если n находится между 50 и 500, чему равны n и x ? Это двумерная задача с несколькими решениями. Рамануджан подумал об этом и дал ответ с изюминкой: он дал цепную дробь . Необычно было то, что это было решение всего класса задач. Махаланобис был поражен и спросил, как он это сделал. «Это просто. В ту минуту, когда я услышал задачу, я понял, что ответом была цепная дробь. Какая именно цепная дробь, спросил я себя. Затем ответ пришел мне в голову», — ответил Рамануджан». ^{[117] [118]}

Его интуиция также помогла ему вывести некоторые ранее неизвестные личности , такие как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{aligned}}}$

для всех θ таких, что и , где Γ( z ) — гамма-функция , и связанная со специальным значением эта-функции Дедекинда . Разложение в ряды по степеням и приравнивание коэффициентов при θ ⁰ , θ ⁴ и θ ⁸ дает некоторые глубокие тождества для гиперболического секанса . ${\displaystyle |\Re (\theta )|<\pi }$ ${\displaystyle |\Im (\theta )|<\pi }$

В 1918 году Харди и Рамануджан подробно изучили функцию распределения P ( n ) . Они дали несходящийся асимптотический ряд, который позволяет точно вычислить количество разбиений целого числа. В 1937 году Ганс Радемахер уточнил их формулу, чтобы найти точное решение этой проблемы в виде сходящегося ряда. Работа Рамануджана и Харди в этой области привела к появлению нового мощного метода нахождения асимптотических формул, называемого методом круга . ^[119]

В последний год своей жизни Рамануджан открыл фиктивные тета-функции . ^[120] В течение многих лет эти функции были загадкой, но теперь известно, что они являются голоморфными частями гармонических слабых форм Мааса .

Гипотеза Рамануджана

Хотя существует множество утверждений, которые могли бы носить название гипотезы Рамануджана, одно из них оказало большое влияние на более поздние работы. В частности, связь этой гипотезы с гипотезами Андре Вейля в алгебраической геометрии открыла новые области исследований. Эта гипотеза Рамануджана является утверждением о размере тау-функции , которая имеет производящую функцию как дискриминантную модулярную форму Δ( q ), типичную форму каспа в теории модулярных форм . Она была окончательно доказана в 1973 году как следствие доказательства Пьером Делинем гипотез Вейля . Вовлеченный шаг редукции сложен. Делинь получил медаль Филдса в 1978 году за эту работу. ^{[7] [121]}

В своей статье «О некоторых арифметических функциях» Рамануджан определил так называемую дельта-функцию, коэффициенты которой называются τ ( n ) ( тау-функция Рамануджана ). ^[122] Он доказал много сравнений для этих чисел, таких как τ ( p ) ≡ 1 + p ¹¹ mod 691 для простых чисел p . Это сравнение (и другие подобные ему, доказанные Рамануджаном) вдохновили Жана-Пьера Серра (лауреата Филдсовской премии 1954 года) на предположение о том, что существует теория представлений Галуа , которая «объясняет» эти сравнения и, в более общем смысле, все модулярные формы. Δ( z ) является первым примером модулярной формы, которая изучалась таким образом. Делинь (в своей работе, удостоенной Филдсовской премии) доказал гипотезу Серра. Доказательство Последней теоремы Ферма осуществляется путем переинтерпретации эллиптических кривых и модулярных форм в терминах этих представлений Галуа. Без этой теории не было бы доказательства Последней теоремы Ферма. ^[123]

Записные книжки Рамануджана

Еще в Мадрасе Рамануджан записал большую часть своих результатов в четырех тетрадях с отрывными листами бумаги. Они были в основном записаны без каких-либо выводов. Вероятно, это и есть источник заблуждения, что Рамануджан не смог доказать свои результаты и просто придумал окончательный результат напрямую. Математик Брюс К. Берндт в своем обзоре этих тетрадей и работы Рамануджана говорит, что Рамануджан, несомненно, смог доказать большую часть своих результатов, но решил не записывать доказательства в своих заметках.

Это могло произойти по ряду причин. Поскольку бумага была очень дорогой, Рамануджан выполнил большую часть своей работы и, возможно, свои доказательства на грифельной доске , после чего он перенес окончательные результаты на бумагу. В то время грифельные доски были обычным делом для студентов-математиков в Мадрасском президентстве . Он также, вполне вероятно, находился под влиянием стиля книги GS Carr , в которой излагались результаты без доказательств. Также возможно, что Рамануджан считал, что его работа была направлена ​​исключительно на его личные интересы, и поэтому записывал только результаты. ^[124]

Первая тетрадь содержит 351 страницу с 16 отчасти организованными главами и некоторым неорганизованным материалом. Вторая тетрадь содержит 256 страниц в 21 главе и 100 неорганизованных страниц, а третья — 33 неорганизованных страницы. Результаты в его тетрадях вдохновили многочисленные статьи более поздних математиков, пытавшихся доказать то, что он нашел. Сам Харди написал статьи, исследующие материал из работы Рамануджана, как и GN Watson , BM Wilson и Bruce Berndt. ^[124]

В 1976 году Джордж Эндрюс вновь обнаружил четвертую тетрадь с 87 неорганизованными страницами, так называемую «потерянную тетрадь» . ^[105]

Число Харди–Рамануджана 1729

Число 1729 известно как число Харди–Рамануджана после знаменитого визита Харди к Рамануджану в больницу. По словам Харди: ^[125]

Помню, как однажды я пошел к нему, когда он болел в Патни . Я ехал в такси номер 1729 и заметил, что это число показалось мне довольно скучным , и что я надеюсь, что это не неблагоприятное предзнаменование. «Нет», — ответил он, — «это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубов двумя различными способами».

Непосредственно перед этим анекдотом Харди процитировал Литтлвуда, который сказал: «Каждое положительное целое число было одним из личных друзей [Рамануджана]» ^{[126] .}

Существуют два различных способа:

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.}$

Обобщение этой идеи привело к появлению понятия « номера такси ».

Взгляды математиков на Рамануджана

«Конечно, мы всегда надеемся. Вот почему я всегда читаю письма, которые приходят из неизвестных мест и написаны неразборчивыми каракулями. Я всегда надеюсь, что это может быть от другого Рамануджана».

— Фримен Дайсон о том, как еще один такой гений может появиться где угодно ^[127]

В некрологе Рамануджану, написанном для журнала Nature в 1920 году, Харди отметил, что работа Рамануджана в основном касалась областей, менее известных даже среди других чистых математиков, и пришел к выводу:

Его понимание формул было совершенно поразительным и в целом превосходило все, что я встречал у европейских математиков. Возможно, бесполезно рассуждать о его истории, если бы он познакомился с современными идеями и методами в шестнадцать лет, а не в двадцать шесть. Не будет преувеличением предположить, что он мог бы стать величайшим математиком своего времени. То, что он на самом деле сделал, достаточно замечательно... когда исследования, предложенные его работой, будут завершены, это, вероятно, покажется гораздо более замечательным, чем сегодня. ^[76]

Харди далее сказал: ^[128]

Он сочетал в себе силу обобщения, чувство формы и способность быстро изменять свои гипотезы, которые часто были действительно поразительными и делали его, в его собственной особой области, не имеющим соперников в его время. Ограниченность его знаний была столь же поразительной, как и их глубина. Это был человек, который мог разрабатывать модульные уравнения и теоремы... до неслыханных порядков, чье мастерство в непрерывных дробях было... за пределами мастерства любого математика в мире, который нашел для себя функциональное уравнение дзета-функции и доминирующие члены многих из самых известных задач в аналитической теории чисел; и все же он никогда не слышал о двоякопериодической функции или о теореме Коши и действительно имел лишь смутное представление о том, что такое функция комплексной переменной ..."

В качестве примера Харди прокомментировал 15 теорем в первом письме. Из них первые 13 правильные и содержательные, 14-я неверная, но содержательная, а 15-я правильная, но вводящая в заблуждение.

(14): Коэффициент при — это ближайшее к нему целое число Это «было одним из самых плодотворных его трудов, поскольку в конечном итоге привело нас ко всей нашей совместной работе по разделам». ^[129] ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \left(1-2x+2x^{4}-2x^{9}+\cdots \right)^{-1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{4n}}\left(\cosh(\pi {\sqrt {n}})-{\frac {\sinh(\pi {\sqrt {n}})}{\pi {\sqrt {n}}}}\right).}$$

Когда Харди спросили о методах, которые Рамануджан использовал для получения своих решений, он сказал, что они были «получены в результате процесса смешанного аргумента, интуиции и индукции, о которых он был совершенно неспособен дать какой-либо связный отчет». ^[130] Он также сказал, что он «никогда не встречал себе равных и может сравнить его только с Эйлером или Якоби». ^[130] Харди считал, что Рамануджан работал в стиле 19-го века, где получение правильных формул было важнее систематических формальных теорий. Харди считал, что его достижения были наибольшими в алгебре, особенно в гипергеометрических рядах и непрерывных дробях. ^[129]

Возможно, что великие дни формул закончились, и Рамануджан должен был родиться 100 лет назад; но он был, безусловно, величайшим формалистом своего времени. За последние 50 лет было много более важных, и я полагаю, что нужно сказать, более великих математиков, чем Рамануджан, но не было ни одного, кто мог бы противостоять ему на его собственной территории. Играя в игру, правила которой он знал, он мог дать любому математику в мире пятнадцать. ^[129]

Он открыл меньше новых вещей в анализе, возможно, потому, что у него не было формального образования и он не нашел книг, по которым мог бы его изучить, но заново открыл много результатов, включая теорему о простых числах . В анализе он работал над эллиптическими функциями и аналитической теорией чисел. В аналитической теории чисел он был таким же изобретательным, как обычно, но многое из того, что он представлял, было неправильным. Харди винил в этом внутреннюю сложность аналитической теории чисел, где воображение сбило с пути многих великих математиков. В аналитической теории чисел строгое доказательство важнее воображения, что противоположно стилю Рамануджана. Его «одна большая ошибка» заключается в том, что он «вообще ничего не знал о теории аналитических функций ». ^[129]

Литтлвуд, как сообщается, сказал, что помогать Рамануджану догнать европейскую математику за пределами того, что было доступно в Индии, было очень трудно, потому что каждый новый момент, упомянутый Рамануджану, заставлял его выдвигать оригинальные идеи, которые мешали Литтлвуду продолжать урок. ^[131]

К. Шриниваса Рао сказал: ^[132] «Что касается его места в мире математики, мы цитируем Брюса К. Берндта: « Пол Эрдёш передал нам личные оценки математиков Харди. Предположим, что мы оцениваем математиков на основе чистого таланта по шкале от 0 до 100. Харди дал себе оценку 25, Дж. Э. Литтлвуд 30, Дэвид Гильберт 80 и Рамануджан 100 » . Во время лекции в мае 2011 года в Мадрасском технологическом институте Берндт сказал, что за последние 40 лет, поскольку почти все гипотезы Рамануджана были доказаны, возросло признание работы и гениальности Рамануджана, и что работа Рамануджана теперь проникает во многие области современной математики и физики. ^{[120] [133]}

Посмертное признание

Бюст Рамануджана в саду индустриально-технологического музея Бирла в Калькутте , Индия

Через год после его смерти журнал Nature включил Рамануджана в список выдающихся ученых и математиков в «Календарь научных первопроходцев», которые достигли известности. ^[134] Родной штат Рамануджана Тамилнад отмечает 22 декабря (день рождения Рамануджана) как «День ИТ штата». Правительство Индии выпускало марки с изображением Рамануджана в 1962, 2011, 2012 и 2016 годах. ^[135]

Начиная со столетнего юбилея Рамануджана, его день рождения, 22 декабря, ежегодно отмечается как День Рамануджана в Государственном колледже искусств Кумбаконама , где он учился, и в Мадрасском технологическом институте в Ченнаи . Международный центр теоретической физики (ICTP) учредил премию имени Рамануджана для молодых математиков из развивающихся стран в сотрудничестве с Международным математическим союзом , который назначает членов комитета по присуждению премии. Университет SASTRA , частный университет в Тамил Наду , учредил премию SASTRA Ramanujan Prize в размере 10 000 долларов США , которая ежегодно вручается математику в возрасте до 32 лет за выдающийся вклад в области математики, на которую оказал влияние Рамануджан. ^[136]

На основании рекомендаций комитета, назначенного Комиссией по университетским грантам (UGC) правительства Индии, Центр Шринивасы Рамануджана, созданный SASTRA, был объявлен внекампусным центром в рамках Университета SASTRA. Дом математики Рамануджана, музей жизни и работы Рамануджана, также находится в этом кампусе. SASTRA приобрела и отремонтировала дом, где Рамануджан жил в Кумабаконаме. ^[136]

В 2011 году, в 125-ю годовщину со дня его рождения, правительство Индии объявило, что 22 декабря будет ежегодно отмечаться как Национальный день математики . ^[137] Тогдашний премьер-министр Индии Манмохан Сингх также объявил, что 2012 год будет отмечаться как Национальный год математики , а 22 декабря — как Национальный день математики Индии. ^[138]

Ramanujan IT City — это особая экономическая зона (ОЭЗ ) информационных технологий (ИТ ) в Ченнаи , которая была построена в 2011 году. Расположенная рядом с парком Тидель , она включает в себя 25 акров (10 га) с двумя зонами, общей площадью 5,7 миллиона квадратных футов (530 000 м2 ⁾ , включая 4,5 миллиона квадратных футов (420 000 м2 ⁾ офисных помещений. ^[139]

Памятные почтовые марки

Памятные марки, выпущенные Почтой Индии (по годам):

В популярной культуре

• «Человек, который любил числа» — документальный фильм PBS NOVA 1988 года о Рамануджане (S15, E9). ^[140]
• «Человек, который познал бесконечность» — фильм 2015 года, снятый по одноименной книге Канигела . Британский актер Дев Патель играет Рамануджана. ^{[141] [142] [143]}
• Ramanujan , совместный индо-британский фильм о жизни Рамануджана, был выпущен в 2014 году независимой кинокомпанией Camphor Cinema . ^[144] В актерский состав и съемочную группу входят режиссер Гнана Раджасекаран , оператор Санни Джозеф и редактор Б. Ленин . ^{[145] [146]} Индийские и английские звезды Абхинай Вадди , Сухасини Маниратнам , Бхама , Кевин Макгоуэн и Майкл Либер играют главные роли. ^[147]
• Нандан Кудхьяди снял индийские документальные фильмы «Гений Шринивасы Рамануджана» (2013) и «Шриниваса Рамануджан: Математик и его наследие» (2016) о математике. ^[148]
• Рамануджан (Человек, который изменил математику XX века) — индийский документально-драматический фильм режиссёра Акашдипа, выпущенный в 2018 году. ^[149]
• В триллере М. Н. Криша «Стерадианский след» Рамануджан и его случайное открытие вплетены в сюжет, объединяющий религию, математику, финансы и экономику. ^{[150] [151]}
• «Раздел» , пьеса Айры Хауптмана о Харди и Рамануджане, была впервые поставлена ​​в 2013 году. ^{[152] [153] [154] [155]}
• Пьеса First Class Man производства Alter Ego Productions ^{[156] была основана на} First Class Man Дэвида Фримена . Пьеса сосредоточена вокруг Рамануджана и его сложных и дисфункциональных отношений с Харди. 16 октября 2011 года было объявлено, что Роджер Споттисвуд , наиболее известный по фильму о Джеймсе Бонде Tomorrow Never Dies , работает над киноверсией, в которой главную роль играет Сиддхарт . ^[157]
• «Исчезающее число» — британская постановка компании Complicite , исследующая отношения между Харди и Рамануджаном. ^[158]
• Роман Дэвида Ливитта «Индийский клерк» исследует события, последовавшие за письмом Рамануджана Харди. ^{[159] [160]}
• Google почтил память Рамануджана в его 125-ю годовщину со дня рождения, заменив свой логотип на рисунок на своей домашней странице. ^{[161] [162]}
• Рамануджан упоминается в фильме 1997 года « Умница Уилл Хантинг» , в сцене, где профессор Джеральд Ламбо ( Стеллан Скарсгард ) объясняет Шону Магуайру ( Робин Уильямс ) гениальность Уилла Хантинга ( Мэтт Дэймон ), сравнивая его с Рамануджаном. ^[163]

Избранные статьи

• Рамануджан, С. (1914). «Некоторые определенные интегралы». Messenger Math . 44 : 10–18.
• Рамануджан, С. (1914). «Некоторые определенные интегралы, связанные с суммами Гаусса». Messenger Math . 44 : 75–85.
• Рамануджан, С. (1915). «О некоторых бесконечных рядах». Messenger Math . 45 : 11–15.
• Рамануджан, С. (1915). «Высокосоставные числа». Труды Лондонского математического общества . 14 (1): 347–409. doi :10.1112/plms/s2_14.1.347.
• Рамануджан, С. (1915). «О числе делителей числа». Журнал Индийского математического общества . 7 (4): 131–133.
• Рамануджан, С. (1915). «Краткая заметка: о сумме квадратных корней первых n натуральных чисел». Журнал Индийского математического общества . 7 (5): 173–175.
• Рамануджан, С. (1916). «Некоторые формулы аналитической теории чисел». Messenger Math . 45 : 81–84.
• Рамануджан, С. (1916). «Ряд для постоянной Эйлера γ». Messenger Math . 46 : 73–80.
• Рамануджан, С. (1917). «О выражении чисел в форме ax2 + by2 + cz2 + du2». Математические труды Кембриджского философского общества . 19 : 11–21.
• Харди, ГХ; Рамануджан, С. (1917). «Асимптотические формулы для распределения целых чисел различных типов». Труды Лондонского математического общества . 16 (1): 112–132. doi :10.1112/plms/s2-16.1.112.
• Харди, ГХ ; Рамануджан, Шриниваса (1918). «Асимптотические формулы в комбинаторном анализе». Труды Лондонского математического общества . 17 (1): 75–115. doi :10.1112/plms/s2-17.1.75.
• Харди, GH; Рамануджан, Шриниваса (1918). «О коэффициентах в разложениях некоторых модулярных функций». Proc. R. Soc. A. 95 ( 667): 144–155. Bibcode :1918RSPSA..95..144H. doi : 10.1098/rspa.1918.0056 .
• Рамануджан, Шриниваса (1919). «Некоторые определенные интегралы». Журнал Индийского математического общества . 11 (2): 81–88.
• Рамануджан, С. (1919). «Доказательство постулата Бертрана». Журнал Индийского математического общества . 11 (5): 181–183.
• Рамануджан, С. (1920). «Класс определенных интегралов». Quart. J. Pure. Appl. Math . 48 : 294–309. hdl :2027/uc1.$b417568.
• Рамануджан, С. (1921). «Свойства конгруэнтности разбиений». Math. Z . 9 (1–2): 147–153. doi :10.1007/BF01378341. S2CID  121753215. Посмертно опубликованный отрывок из более длинной, неопубликованной рукописи.

Дальнейшие математические труды Рамануджана

• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт , Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X ) ^[164] 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть II , (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 ) 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть III , (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 ) 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть IV , (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 ) 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть V , (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7 ) 
• MP Chaudhary, Простое решение некоторых интегралов, данных Шринивасой Рамануджаном, (Resonance: J. Sci. Education – издание Индийской академии наук, 2008) ^[165]
• М. П. Чаудхари, Имитационные тета-функции для имитации тета-гипотез, SCIENTIA, Серия A: Математика, (22)(2012) 33–46.
• М. П. Чаудхари, О модулярных отношениях для тождеств типа Роджера-Рамануджана, Pacific J. Appl. Math., 7(3)(2016) 177–184.

Избранные публикации о Рамануджане и его творчестве

• Берндт, Брюс К. (1998). Бутцер, ПЛ; Обершельп, В.; Йонген, Х. Т. (ред.). Карл Великий и его наследие: 1200 лет цивилизации и науки в Европе (PDF) . Тюрнхаут, Бельгия: Brepols Verlag. стр. 119–146. ISBN 978-2-503-50673-9. Архивировано (PDF) из оригинала 9 сентября 2004 г.
• Берндт, Брюс С.; Рэнкин, Роберт А. (1995). Рамануджан: Письма и комментарии . Том 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0287-8.
• Берндт, Брюс С.; Рэнкин , Роберт А. (2001). Рамануджан: Эссе и обзоры . Том 22. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2624-9.
• Берндт, Брюс С. (2006). Теория чисел в духе Рамануджана . Том 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4178-5.
• Берндт, Брюс С. (1985). Записные книжки Рамануджана: Часть I. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-96110-1.
• Берндт, Брюс С. (1999). Записные книжки Рамануджана: Часть II . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-96794-3.
• Берндт, Брюс С. (2004). Записные книжки Рамануджана: Часть III . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-97503-0.
• Берндт, Брюс С. (1993). Записные книжки Рамануджана: Часть IV . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-94109-7.
• Берндт, Брюс С. (2005). Записные книжки Рамануджана: Часть V. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-94941-3.
• Hardy, GH (март 1937 г.). «Индийский математик Рамануджан». The American Mathematical Monthly . 44 (3): 137–155. doi :10.2307/2301659. JSTOR  2301659.
• Харди, GH (1978). Рамануджан . Нью-Йорк: Паб «Челси». ISBN компании 978-0-8284-0136-4.
• Харди, ГХ (1999). Рамануджан: Двенадцать лекций по темам, предложенным его жизнью и работой . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2023-0.
• Хендерсон, Гарри (1995). Современные математики . Нью-Йорк: Факты в файле Inc. ISBN 978-0-8160-3235-8.
• Канигел, Роберт (1991). Человек, который познал бесконечность: жизнь гения Рамануджана . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN 978-0-684-19259-8.
• Ливитт, Дэвид (2007). Индийский клерк (мягкая обложка). Лондон: Bloomsbury. ISBN 978-0-7475-9370-6.
• Нарликар, Джайант В. (2003). Scientific Edge: индийский ученый от ведических времен до современности . Нью-Дели, Индия: Penguin Books. ISBN 978-0-14-303028-7.
• Оно, Кен ; Ацель, Амир Д. (13 апреля 2016 г.). Мои поиски Рамануджана: как я научился считать . Springer . ISBN 978-3319255668.
• Шанкаран, ТМ (2005). Шриниваса Рамануджан- Ганитха локатиле Махапратибха (Отчет) (на малаялам). Кочи, Индия: Керала Састра Сахитья Паришад .

Избранные публикации о трудах Рамануджана

• Рамануджан, Шриниваса; Харди, GH; Сешу Айяр, PV; Уилсон, BM ; Берндт, Брюс C. (2000). Сборник статей Шринивасы Рамануджана . AMS. ISBN 978-0-8218-2076-6.

Эта книга была первоначально опубликована в 1927 году ^[166] после смерти Рамануджана. Она содержит 37 статей, опубликованных Рамануджаном в профессиональных журналах при его жизни. Третье переиздание содержит дополнительные комментарии Брюса К. Берндта.

• С. Рамануджан (1957). Тетради (2 тома) . Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата.

Эти книги содержат фотокопии оригинальных записных книжек, написанных Рамануджаном.

• С. Рамануджан (1988). Потерянная тетрадь и другие неопубликованные документы . Нью-Дели: Нароса. ISBN 978-3-540-18726-4.

В этой книге содержатся фотокопии страниц «Утерянной тетради».

• Проблемы, поставленные Рамануджаном, Журнал Индийского математического общества.
• S. Ramanujan (2012). Тетради (2 тома) . Бомбей: Tata Institute of Fundamental Research.

Он был создан на основе отсканированных и микрофильмированных изображений оригинальных рукописей экспертами-архивистами Научно-исследовательской библиотеки Роджи Мутиаха в Ченнаи.

Смотрите также

• Математический портал
• Биографический портал
• Портал Индии

• 1729 (число)
• Коричневые цифры
• Список математиков-любителей
• Список индийских математиков
• Граф Рамануджана
• Рамануджана суммирование
• постоянная Рамануджана
• Тройная квадратичная форма Рамануджана
• Ранг раздела

Сноски

1. ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​​​​​^​​​​​ ​sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ) ^{[2] [3]}

Ссылки

1. Олауссон, Лена; Сангстер, Кэтрин (2006). Oxford BBC Guide to Pronunciation . Oxford University Press. стр. 322. ISBN 978-0-19-280710-6.
2. Канигел, Роберт (2004). «Рамануджан, Шриниваса». Оксфордский национальный биографический словарь (онлайн-ред.). Oxford University Press. doi :10.1093/ref:odnb/51582. (Требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании.)
3. "Рамануджан Айянгар, Шриниваса (1887–1920)" . trove.nla.gov.au .
4. Ганс Айзенк (1995). Гений , стр. 197. Cambridge University Press, ISBN 0-521-48508-8 . 
5. Харди, Годфри Гарольд (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций по темам, предложенным его жизнью и работой . Cambridge University Press. стр. 9. ISBN 0-8218-2023-0.
6. Берндт, Брюс С. (12 декабря 1997 г.). Записные книжки Рамануджана . Том. Часть 5. Springer Science & Business. стр. 4. ISBN 978-0-38794941-3.
7. Ono, Ken (июнь–июль 2006 г.). «Чествование подарка из Кумбаконама» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (6): 640–51 [649–50]. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июня 2007 г. . Получено 23 июня 2007 г. .
8. "Rediscovering Ramanujan". Frontline . 16 (17): 650. Август 1999. Архивировано из оригинала 25 сентября 2013 года . Получено 20 декабря 2012 года .
9. Аллади, Кришнасвами; Эллиотт, PDTA; Грэнвилл, А. (30 сентября 1998 г.). Аналитическая и элементарная теория чисел: дань уважения легенде математики Полу Эрдосу . Springer Science & Business. стр. 6. ISBN 978-0-79238273-7.
10. Глубокий смысл в «простом» узоре Рамануджана Архивировано 3 августа 2017 г. на Wayback Machine
11. «Математическое доказательство раскрывает магию гения Рамануджана» Архивировано 9 июля 2017 г. в Wayback Machine . New Scientist .
12. Kanigel 1991, стр. 12
13. Канигель 1991, стр. 11
14. Канигель 1991, стр. 17–18.
15. Берндт и Ранкин 2001, стр. 89
16. Шринивасан, Панкаджа (19 октября 2012 г.). «Формула ностальгии». Индус . Проверено 7 сентября 2016 г.
17. Канигель 1991, стр. 13
18. Канигель 1991, стр. 19
19. Kanigel 1991, стр. 14
20. Канигель 1991, стр. 20
21. Kanigel 1991, стр. 25
22. Берндт и Ранкин 2001, стр. 9
23. Харди, ГХ (1999). Рамануджан: Двенадцать лекций по темам, предложенным его жизнью и работой . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 2. ISBN 978-0-8218-2023-0.
24. Kanigel 1991, стр. 27
25. "Шриниваса Рамануджан - Биография". История математики . Получено 29 октября 2022 г.
26. Канигель 1991, стр. 39
27. МакЭлрой, Такер (2005). Математики от А до Я. Факты в деле. стр. 221. ISBN 0-8160-5338-3- 
28. Рамануджан Айянгар, Шриниваса; Харди, Годфри Гарольд; Айяр, П. Венкатешвара Сешу (2000), «Сборник статей Шринивасы Рамануджана», Nature , 123 (3104): xii, Бибкод : 1929Natur.123..631L, doi : 10.1038/123631a0, ISBN 978-0-8218-2076-6, S2CID  44812911
29. Канигель 1991, стр. 90
30. Kanigel 1991, стр. ??
31. Канигель 1991, стр. 28
32. Канигель 1991, стр. 45
33. Kanigel 1991, стр. 47–48
34. "Рамануджан потерян и найден: письмо 1905 года от The Hindu". The Hindu . Ченнаи, Индия. 25 декабря 2011 г.
35. Кришнамачари, Суганти (27 июня 2013 г.). «Trevails of a Genius». The Hindu . Архивировано из оригинала 26 августа 2017 г. Получено 7 сентября 2016 г.
36. Канигель 1991, стр. 55–56
37. Кришнамурти, В. «Шриниваса Рамануджан – его жизнь и его гений». www.krishnamurthys.com . (Объяснительная речь, произнесенная 16 сентября 1987 года в Visvesvarayya Auditorium в рамках празднования столетия Рамануджана IISC, Бангалор). Архивировано из оригинала 21 сентября 2016 года . Получено 7 сентября 2016 года .
38. "Швея и математик". Live Mint . 20 апреля 2018 г.
39. >Канигель 1991, стр. 71
40. Буллоу, В. Л. (1990). "2. История сексуального поведения взрослых людей с детьми и подростками в западных обществах". Педофилия: биосоциальные измерения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 71. ISBN 978-1-46139684-0.
41. Колата, Джина (19 июня 1987 г.). «Вспоминая «магического гения»". Наука . Новая серия. 236 (4808): 1519–21. Bibcode :1987Sci...236.1519K. doi :10.1126/science.236.4808.1519. PMID  17835731.
42. "Жена Рамануджана: Джанакиаммал (Джанаки)" (PDF) . Ченнаи: Институт математических наук. Архивировано из оригинала (PDF) 24 декабря 2012 г. . Получено 10 ноября 2012 г. .
43. Janardhanan, Arun (6 декабря 2015 г.). «Проход в бесконечность». Indian Express . Архивировано из оригинала 5 сентября 2016 г. Получено 7 сентября 2016 г.
44. >Канигель 1991, стр. 72
45. Рамануджан, Шриниваса (1968). П. К. Шринивасан (ред.). Мемориальный номер Рамануджана: Письма и воспоминания . Том 1. Мадрас: Средняя школа Мутиалпет. 100.
46. Канигель 1991, стр. 73
47. Канигель 1991, стр. 74–75
48. Ранганатхан, Шияли Рамамрита (1967). Рамануджан: Человек и математик. Бомбей: Asia Publishing House. стр. 23. ISBN 9788185273372.
49. Шринивасан (1968), т. 1, стр. 99.
50. Рао, К. Шриниваса. «Жена Рамануджана Джанакиаммал (Джанаки)» (PDF) . IMSC . Институт математических наук, Ченнаи. Архивировано из оригинала (PDF) 10 января 2017 года . Получено 7 сентября 2016 года .
51. "О Рамануджане". Институт Рамануджана. Архивировано из оригинала 6 октября 2016 года . Получено 7 сентября 2016 года .
52. Kanigel 1991, стр. 77
53. Шринивасан (1968), т. 1, стр. 129.
54. Шринивасан (1968), т. 1, стр. 86.
55. Невилл, Эрик Гарольд (январь 1921 г.). «Покойный Шриниваса Рамануджан». Nature . 106 (2673): 661–662. Bibcode : 1921Natur.106..661N. doi : 10.1038/106661b0. S2CID  4185656.
56. Ранганатан 1967, стр. 24
57. Kanigel 1991, стр. 80
58. Канигель 1991, стр. 86
59. Herschfeld, Aaron (август 1935 г.). «О бесконечных радикалах». The American Mathematical Monthly . 42 (7): 419–429. doi :10.1080/00029890.1935.11987745. ISSN  0002-9890.
60. Канигель 1991, стр. 87
61. Канигель 1991, стр. 91
62. Seshu Iyer, PV (июнь 1920 г.). "The Late Mr. S. Ramanujan, BA, FRS". Журнал Индийского математического общества . 12 (3): 83.
63. Невилл, Эрик Гарольд (1942). «Шриниваса Рамануджан». Nature . 149 (3776): 292–293. Bibcode : 1942Natur.149..292N. doi : 10.1038/149292a0 .
64. Шринивасан (1968), стр. 176.
65. Шринивасан (1968), стр. 31.
66. Шринивасан (1968), стр. 49.
67. Канигель 1991, стр. 96
68. Берндт и Ранкин (2001), стр. 97.
69. Канигель 1991, стр. 105
70. Письмо от М. Дж. М. Хилла к Ч. Л. Т. Гриффиту (бывшему студенту, который отправил запрос Хиллу от имени Рамануджана), 28 ноября 1912 г.
71. Канигель 1991, стр. 106
72. Канигель 1991, стр. 170–171
73. Харди, Г. Х. (Годфри Гарольд) (1910). Порядки бесконечности: «Infinitärcalcül» Поля Дюбуа-Реймона.
74. Берндт, Брюс С.; Рэнкин, Роберт А. (август 2000 г.). «Книги, изученные Рамануджаном в Индии». The American Mathematical Monthly . 107 (7): 595–601. doi :10.1080/00029890.2000.12005244. ISSN  0002-9890.
75. Сноу, CP (1966). Разнообразие людей . Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons . С. 30–31.
76. Hardy, GH (1920). "Некролог, S. Ramanujan". Nature . 105 (7): 494–495. Bibcode : 1920Natur.105..494H. doi : 10.1038/105494a0 . S2CID  4174904.
77. Канигель 1991, стр. 167
78. Kanigel 1991, стр. 168
79. Письмо Харди Рамануджану, 8 февраля 1913 г.
80. Письмо Рамануджана Харди, 22 января 1914 г.
81. Канигель 1991, стр. 185
82. Письмо Рамануджана Харди, 27 февраля 1913 г., Библиотека Кембриджского университета .
83. Канигель 1991, стр. 175
84. Рам, Суреш (1972). Шриниваса Рамануджан . Нью-Дели: National Book Trust. стр. 29.
85. Ранганатан 1967, стр. 30–31.
86. Ранганатан 1967, стр. 12
87. Канигель 1991, стр. 183
88. Канигель 1991, стр. 184
89. "A (very) Brief History of Srinivasa Ramanujan". YouTube . 31 января 2021 г. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г.
90. Берндт и Ранкин (2001), стр. 83–84.
91. Канигель 1991, стр. 196
92. Lloyd's Register of Shipping 1930 (PDF) . 1930 . Получено 1 сентября 2020 . Неваса 1913
93. Канигель 1991, стр. 202
94. Харди, Г. Х. (1940). Рамануджан . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 10.
95. Письмо Литтлвуда Харди, начало марта 1913 г.
96. Харди, ГХ (1979). Сборник статей ГХ Харди . Том 7. Оксфорд, Англия: Clarendon Press . 720.
97. Cambridge University Reporter от 18 марта 1916 года сообщает: Бакалавр искусств, Шриниваса Рамануджан (студент-исследователь), Трин . Четкое фотографическое изображение указанного документа можно просмотреть на следующем видео YouTube по указанной временной метке: https://www.youtube.com/watch?v=uhNGCn_3hmc&t=1636
98. «Математическая докторская степень в Великобритании: заметки о ее истории». www.economics.soton.ac.uk . Получено 9 августа 2020 г. .
99. Жан-Луи Николя, Гай Робин (ред.), Высококомпозитные числа Шринивасы Рамануджана, The Ramanujan Journal 1997 1, 119–153, стр. 121
100. Эмблтон, Эллен (2 октября 2018 г.). «Возвращаясь к Рамануджану». Королевское общество . Архивировано из оригинала 16 февраля 2020 г. Получено 16 февраля 2020 г.
101. Канигель 1991, стр. 299–300
102. S. Chandrasekhar, Случай из жизни S. Ramanujan FRS Беседы с GH Hardy FRS и JE Littlewood FRS и их продолжение . Документы, депонированные в Королевском обществе (18/8/1977). Перепечатано в Berndt, Bruce C., and Robert Alexander Rankin. Ramanujan: essays and surveys . Providence: American Mathematical Society, 2001.
103. Young, DAB (1994). «Болезнь Рамануджана». Заметки и записи Лондонского королевского общества . 48 (1): 107–119. doi :10.1098/rsnr.1994.0009. PMID  11615274. S2CID  33416179.
104. Рамасешан, С. «Шриниваса Рамануджан». (1990). CURRENT SCIENCE, ТОМ 59, № 24, 25 ДЕКАБРЯ 1990 ГОДА Лекция, прочитанная на Международной конференции, посвященной столетию Рамануджана (15–18 декабря 1987 г.) в Кумбаконаме.
105. Peterson, Doug. "Raiders of the Lost Notebook". UIUC College of Liberal Arts and Sciences . Архивировано из оригинала 12 января 2014 года . Получено 11 января 2014 года .
106. Ганн, Дж. В. Ч.; Сэвидж, Б. (1919). «Отчет о лечении инфекций, вызванных Entamoeba histolytica ». Журнал Королевского армейского медицинского корпуса . 33 (5): 418–426.
107. Лэнгли, Джордж Дж. (24 декабря 1921 г.). «Трудности диагностики и лечения абсцесса печени». British Medical Journal . 2 (3182): 1073–1074. doi :10.1136/bmj.2.3182.1073. JSTOR 20429465.  PMC 2339657. PMID 20770524  . 
108. Baaquie, Belal E.; Willeboordse, Frederick H. (1 декабря 2009 г.). Exploring Integrated Science. CRC Press. стр. 38. ISBN 978-1-4200-8794-9.
109. "Личность Рамануджана". Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 года . Получено 23 июня 2018 года .
110. Канигель 1991, стр. 234, 241
111. Канигель 1991, стр. 36
112. Канигель 1991, стр. 281
113. Чайтин, Грегори (28 июля 2007 г.). «Меньше доказательств, больше правды». New Scientist (2614): 49. doi :10.1016/S0262-4079(07)61908-3.
114. Канигель 1991, стр. 283
115. Берндт и Ранкин 2001, стр. 47
116. Берндт, Брюс С. (1989). «Шриниваса Рамануджан». The American Scholar . 58 (2): 234–244. ISSN  0003-0937. JSTOR  41211668.
117. Ранганатан 1967, стр. 82
118. Calyampudi Radhakrishna Rao (1997). Статистика и правда: использование шанса в работе. World Scientific. стр. 185. ISBN 978-981-02-3111-8. Получено 7 июня 2010 г.
119. Iwaniec, Henryk (1989). «Метод круга и коэффициенты Фурье модулярных форм». Теория чисел и смежные темы (Бомбей, 1988) . Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. Vol. 12. Tata Inst. Fund. Res., Бомбей. стр. 47–55. MR  1441326.
120. "100-летние предсмертные сны математика оказались правдой". Fox News . 28 декабря 2012 г. Архивировано из оригинала 7 января 2013 г.
121. Винни, Вэнь-Чин (9 декабря 2019 г.). «Гипотеза Рамануджана и ее приложения». Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 378 (2163). doi :10.1098/rsta.2018.0441. PMC 6939229. PMID 31813366  . 
122. Рамануджан, Шриниваса (1916). "О некоторых арифметических функциях" (PDF) . Труды Кембриджского философского общества . XXII (9). Архивировано из оригинала (PDF) 11 июня 2016 года . Получено 15 мая 2016 года .Функция тау обсуждается на страницах 194–197.
123. Оно, Кен ; Ацель, Амир Д. (13 апреля 2016 г.). Мои поиски Рамануджана: как я научился считать. Springer . стр. 236–237. ISBN 978-3319255668. идеи, которые имели решающее значение для доказательства последней теоремы Ферма
124. Berndt, Bruce C. (12 декабря 1997 г.). Записные книжки Рамануджана . ISBN 978-0387949413.
125. "Quotations by Hardy". Gap.dcs.st-and.ac.uk. Архивировано из оригинала 16 июля 2012 года . Получено 20 ноября 2012 года .
126. Hardy, GH "Некрологи: Шриниваса Рамануджан". Труды Лондонского математического общества . 19 : lvii. Архивировано из оригинала 5 марта 2016 г.
127. Росс, Грег (6 февраля 2017 г.). «Подкаст Эпизод 140: Рамануджан». Futility Closet . Получено 24 декабря 2023 г. .
128. Джеймс Р. Ньюман, ред. (2000). Мир математики . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 373–4. ISBN 978-0-486-41153-8. OCLC  43555029.
129. Харди, GH (март 1937). «Индийский математик Рамануджан». The American Mathematical Monthly . 44 (3): 137–155. doi :10.1080/00029890.1937.11987940. ISSN  0002-9890.
130. Srinivasa Ramanujan Архивировано 25 марта 2005 г. на Wayback Machine . Получено 2 декабря 2010 г.
131. Альянгар, Шриниваса Рамануджан (1995). Берндт, Брюс С.; Ранкин, Роберт Александр (ред.). Рамануджан: Письма и комментарии. История математики. Т. 9. Американское математическое общество. стр. 51. ISBN 0821891251. Получено 22 февраля 2023 г. .
132. Рао, К Шриниваса. "Шриниваса Рамануджан (22 декабря 1887 г. – 26 апреля 1920 г.)". Архивировано из оригинала 16 апреля 2012 г. Получено 23 июня 2018 г.
133. "Брюс Берндт о "Потерянной тетради Рамануджана", IIT Madras, 24 мая 2011 г.". youtube.com . 30 мая 2011 г. Архивировано из оригинала 6 декабря 2015 г.
134. «Календарь научных пионеров». Nature . 107 (2686): 252–254. 21 апреля 1921 г. Bibcode : 1921Natur.107..252.. doi : 10.1038/107252b0 .
135. Шриниваса Рамануджан на марках. commons.wikimedia.org
136. "Университет Шастра – Центр Шринивасы Рамануджана – О нас". Архивировано из оригинала 15 июня 2017 г. Получено 23 июня 2018 г.
137. "Первый визит Сингха в штат". CNN IBN . Индия. 26 декабря 2011 г. Архивировано из оригинала 15 июля 2012 г. Получено 12 апреля 2016 г.
138. «Welcome 2012 – The National Mathematical Year in India». Индия. 28 декабря 2011 г. Архивировано из оригинала 6 декабря 2017 г. Получено 6 декабря 2017 г.
139. "Ramanujan IT City - Hardy Tower". JLL Property India .
140. "Человек, который любил цифры". IMDB . 22 марта 1988 г. Получено 24 сентября 2021 г.
141. "Канны: Дев Патель сыграет роль знаменитого индийского математика". hollywoodreporter.com. Архивировано из оригинала 9 января 2014 года.
142. Барраклоу, Лео (5 декабря 2013 г.). "Джереми Айронс сыграет одну из главных ролей в фильме "Человек, который познал бесконечность"". variation.com . Архивировано из оригинала 12 октября 2017 г.
143. МакНэри, Дэйв (15 июля 2014 г.). «Фильм Дева Пателя «Человек, который познал бесконечность» отправляется в производство после 8 лет разработки». variation.com . Архивировано из оригинала 4 июля 2017 г.
144. "'Ramanujan' Makers Shoot in His House". Indiatimes . Times Internet Limited. Архивировано из оригинала 11 июля 2013 года . Получено 12 июля 2013 года .
145. "Camphor Cinema Presents Their First Film Ramanujan". Box Office India . Select Publishing Company. 11 июня 2013 г. Архивировано из оригинала 20 августа 2013 г. Получено 12 июля 2013 г.
146. "Создатели „Рамануджана“ снимаются в доме гения". Z News . Zee Media Corporation Ltd. Архивировано из оригинала 8 июля 2013 года . Получено 12 июля 2013 года .
147. Кришнамачари, Суганти (27 июня 2013 г.). «Трудности гения». The Hindu . Ченнаи, Индия. Архивировано из оригинала 1 июля 2013 г. Получено 12 июля 2013 г.
148. "Режиссер из Пуны завоевал 3 награды на Национальном фестивале научного кино". The Indian Express . 27 февраля 2017 г.
149. "Рамануджан (Человек, который изменил математику 20 века) (2018)". Indiancine.ma .
150. Basu, Kankana (7 декабря 2014 г.). "Racy read". The Hindu . Получено 30 апреля 2016 г. .
151. "Преступление в мире высокой науки". 16 сентября 2014 г. Архивировано из оригинала 15 апреля 2016 г. Получено 30 апреля 2016 г.
152. Рибет, Кеннет А. (декабрь 2003 г.). «Theater Review. Partition» (PDF) . Notices of the AMS . 50 (1): 1407–1408. Архивировано (PDF) из оригинала 6 октября 2016 г. . Получено 27 сентября 2016 г. .
153. Харви, Деннис (18 мая 2003 г.). «Обзор: 'Partition'». Архивировано из оригинала 6 октября 2016 г. Получено 23 марта 2017 г.
154. "Partitions – a play on Ramanujan". The Hindu . 26 мая 2003 г. Архивировано из оригинала 20 июля 2008 г.
155. ДАТТА, ШРАВАСТИ (19 декабря 2014 г.). «Ода гению». The Hindu . Получено 23 марта 2017 г. .
156. "First Class Man". Alteregoproductions.org. Архивировано из оригинала 29 июня 2007 года . Получено 20 ноября 2012 года .
157. "Новости / Национальные: Режиссер Джеймса Бонда снимет фильм о Рамануджане". The Hindu . Индия. 16 октября 2011 г. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 г. Получено 18 октября 2011 г.
158. Ланден, Джефф (15 июля 2010 г.). «Исчезающее число»: яркое театральное уравнение. Утренний выпуск . Национальное общественное радио . Получено 24 апреля 2018 г.
159. Фройденбергер, Нелл (16 сентября 2007 г.). «Жажда чисел». The New York Times . Архивировано из оригинала 10 января 2012 г. Получено 4 сентября 2011 г.
160. Тейлор, DJ (26 января 2008 г.). «Adding up to a life» (Добавление к жизни). The Guardian . Великобритания. Архивировано из оригинала 6 октября 2014 г. Получено 4 сентября 2011 г.
161. "Google doodles к 125-летию Рамануджана". Times of India . 22 декабря 2012 г. Архивировано из оригинала 22 декабря 2012 г. Получено 22 декабря 2012 г.
162. "125-летие Шринивасы Рамануджана". www.google.com . Архивировано из оригинала 10 мая 2016 года . Получено 30 апреля 2016 года .
163. Кумар, В. Кришна (2 февраля 2018 г.). «Легендарный творческий гений математики: Шриниваса Рамануджан». Psychology Today . Получено 24 апреля 2018 г.
164. Bressoud, David (2006). "Review: Ramanujan's Lost Notebook, Part I, by George Andrews and Bruce C. Berndt" (PDF) . Bulletin of the American Mathematical Society . New Series. 43 (4): 585–591. doi : 10.1090/s0273-0979-06-01110-4 . Архивировано (PDF) из оригинала 23 июня 2015 г.
165. "Простое решение некоторых интегралов, данное Шринивасой Рамануджаном" (PDF) . Резонанс . 13 (9): 882–884. Архивировано (PDF) из оригинала 6 октября 2018 г.
166. Белл, ET (1928). «Собрание трудов Шринивасы Рамануджана под редакцией GH Hardy, PV Seshu Aiyar и BM Wilson». Бюллетень Американского математического общества . 34 (6): 783–784. doi : 10.1090/S0002-9904-1928-04651-7 .

Внешние ссылки

Ссылки на медиа

• Бисвас, Соутик (16 марта 2006 г.). «Фильм в честь гениальности математики». BBC . Получено 24 августа 2006 г.
• Художественный фильм о гении математики Рамануджане, снятый Девом Бенегалом и Стивеном Фраем
• Радиопрограмма BBC о Рамануджане – выпуск 5
• Биографическая песня о жизни Рамануджана
• «Почему уравнения этого математика так всех разозлили?». Youtube.com . Thoughty2. 11 апреля 2022 г. . Получено 29 июня 2022 г. .

Биографические ссылки

• Шриниваса Рамануджан в проекте «Генеалогия математики»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Шриниваса Рамануджан», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Рамануджан, Шриниваса (1887–1920)». Мир Науки .
• Краткая биография Рамануджана
• «Наш преданный сайт великому математическому гению»

Другие ссылки

• Вольфрам, Стивен (27 апреля 2016 г.). «Кем был Рамануджан?».
• Группа по изучению математики: Шриниваса Рамануджан Айенгар
• Ramanujan Journal – Международный журнал, посвященный Рамануджану
• Премии Международного математического союза, включая премию Рамануджана
• Hindu.com: Норвежские и индийские математические гении, Рамануджан – Эссе и обзоры, архивировано 6 ноября 2012 г. на Wayback Machine , Растущее влияние Рамануджана, Наставник Рамануджана
• Hindu.com: Спонсор Рамануджана
• Брюс К. Берндт; Роберт А. Ранкин (2000). «Книги, изученные Рамануджаном в Индии». American Mathematical Monthly . 107 (7): 595–601. doi :10.2307/2589114. JSTOR  2589114. MR  1786233.
• «Загадка Рамануджана с фиктивной тета-функцией решена»
• Документы и записные книжки Рамануджана
• Образец страницы из второй тетради
• Рамануджан на Fried Eye
• Кларк, Алекс. "163 и константа Рамануджана". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 4 февраля 2018 г. . Получено 23 июня 2018 г. .