Число Штёрмера

В математике число Штёрмера или арккотангенс неприводимое число — это положительное целое число , наибольший простой множитель которого больше или равен . Они названы в честь Карла Штёрмера . $n$ $n^{2}+1$ $2n$

Последовательность

Первые несколько чисел Штёрмера:

1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 11 , 12 , 14 , 15 , 16 , 19 , 20 , ... (последовательность A005528 в OEIS ).

Плотность

Джон Тодд доказал, что эта последовательность не является ни конечной , ни коконечной . ^[1]

Нерешенная задача по математике :

Какова естественная плотность чисел Штёрмера?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Точнее, естественная плотность чисел Штермера лежит между 0,5324 и 0,905. Было высказано предположение, что их естественная плотность равна натуральному логарифму 2 , приблизительно 0,693, но это остается недоказанным. ^[2] Поскольку числа Штермера имеют положительную плотность, числа Штермера образуют большой набор .

Приложение

Числа Штермера возникают в связи с проблемой представления чисел Грегори ( арктангенсов рациональных чисел ) в виде сумм чисел Грегори для целых чисел (арктангенсов дробей единиц ). Число Грегори можно разложить, многократно умножая целое число Гаусса на числа вида , чтобы сократить простые множители из мнимой части; здесь выбирается число Штермера таким образом, чтобы делилось на . ^[3] $G_{a/b}=\arctan {\frac {b}{a}}$ $G_{a/b}$ $а+би$ $n\pm i$ $p$ $n$ $n^{2}+1$ $p$

Ссылки

↑ Тодд, Джон (1949), «Проблема отношений арктангенса», American Mathematical Monthly , 56 (8): 517–528, doi :10.2307/2305526, JSTOR 2305526, MR 0031496.
^ Эверест, Грэм; Харман, Глин (2008), "О примитивных делителях ", Теория чисел и многочлены , London Math. Soc. Lecture Note Ser., т. 352, Cambridge Univ. Press, Кембридж, стр. 142–154, arXiv : math/0701234 , doi :10.1017/CBO9780511721274.011, MR 2428520 $n^{2}+b$ . См. в частности теорему 1.4 и гипотезу 1.5.
^ Конвей, Джон Х.; Гай , Р.К. (1996), Книга чисел , Нью-Йорк: Copernicus Press, стр. 245–248. См. в частности стр. 245, п. 3.