Integers occurring in the coefficients of the Taylor series of 1/cosh t
В математике числа Эйлера представляют собой последовательность целых чисел En (последовательность A122045 в OEIS ) , определяемую разложением в ряд Тейлора.
- ,
где – гиперболический косинус . Числа Эйлера связаны со специальным значением полиномов Эйлера , а именно:
Числа Эйлера появляются в разложении секущей и гиперболической секущей функций в ряд Тейлора . Последняя является функцией в определении. Они также встречаются в комбинаторике , в частности при подсчете количества попеременных перестановок множества с четным числом элементов.
Примеры
Все числа Эйлера с нечетным индексом равны нулю . Чётные индексы (последовательность A028296 в OEIS ) имеют чередующиеся знаки. Некоторые значения:
Некоторые авторы переиндексируют последовательность, чтобы опустить нечетные числа Эйлера со значением ноль или изменить все знаки на положительные (последовательность A000364 в OEIS ). Данная статья соответствует принятой выше конвенции.
Явные формулы
В терминах чисел Стирлинга второго рода
Следующие две формулы выражают числа Эйлера через числа Стирлинга второго рода [1] [2]
где обозначает числа Стирлинга второго рода , а обозначает возрастающий факториал .
В виде двойной суммы
Следующие две формулы выражают числа Эйлера в виде двойных сумм [3]
Как повторная сумма
Явная формула для чисел Эйлера: [4]
где i обозначает мнимую единицу с i 2 = −1 .
Как сумма по разделам
Число Эйлера E 2 n можно выразить как сумму по четным разбиениям 2 n , [ 5]
а также сумма по нечетным разбиениям 2 n − 1 , [6]
где в обоих случаях K = k 1 + ··· + k n и
является полиномиальным коэффициентом . Дельты Кронекера в приведенных выше формулах ограничивают суммы по k s до 2 k 1 + 4 k 2 + ··· + 2 nk n = 2 n и до k 1 + 3 k 2 + ··· + (2 n − 1) k n = 2 n − 1 соответственно.
В качестве примера,
В качестве определяющего фактора
E 2 n определяется определителем
Как интеграл
E 2 n также определяется следующими интегралами:
Сравнения
В. Чжан [7] получил следующие комбинационные тождества относительно чисел Эйлера: для любого простого числа имеем
В. Чжан и З. Сюй [8] доказали, что для любого простого и целого числа мы имеем
где – функция Эйлера .
Асимптотическое приближение
Числа Эйлера растут довольно быстро для больших индексов, поскольку они имеют следующую нижнюю границу
Зигзагообразные числа Эйлера
Ряд Тейлора _ _
где An — зигзагообразные числа Эйлера , начиная с
- 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (последовательность A000111 в OEIS )
Для всех четных n ,
где Е н — число Эйлера; и для всех нечетных n
где B n — число Бернулли .
Для каждого n
- [ нужна цитата ]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Джа, Сумит Кумар (2019). «Новая явная формула для чисел Бернулли, включающая число Эйлера». Московский журнал комбинаторики и теории чисел . 8 (4): 385–387. дои :10.2140/москва.2019.8.389. S2CID 209973489.
- ↑ Джа, Сумит Кумар (15 ноября 2019 г.). «Новая явная формула чисел Эйлера через числа Стирлинга второго рода».
- ^ Вэй, Чун-Фу; Ци, Фэн (2015). «Несколько замкнутых выражений для чисел Эйлера». Журнал неравенств и приложений . 219 (2015). дои : 10.1186/s13660-015-0738-9 .
- ^ Тан, Росс (11 мая 2012 г.). «Явная формула для зигзагообразных чисел Эйлера (числа вверх/вниз) из степенного ряда» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 апреля 2014 г.
- ^ Велла, Дэвид К. (2008). «Явные формулы для чисел Бернулли и Эйлера». Целые числа . 8 (1): А1.
- ^ Маленфант, Дж. (2011). «Конечные выражения в замкнутой форме для статистической суммы и чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга». arXiv : 1103.1585 [math.NT].
- ^ Чжан, WP (1998). «Некоторые тождества, включающие Эйлера и центральные факториалы» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 36 (4): 154–157. Архивировано (PDF) из оригинала 23 ноября 2019 г.
- ^ Чжан, WP; Сюй, ZF (2007). «К гипотезе о числах Эйлера». Журнал теории чисел . 127 (2): 283–291. дои : 10.1016/j.jnt.2007.04.004 .
Внешние ссылки