Уравнение Эйлера–Лагранжа

Уравнение в частных производных второго порядка, описывающее движение механической системы

В вариационном исчислении и классической механике уравнения Эйлера –Лагранжа ^[1] представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка , решениями которой являются стационарные точки заданного функционала действия . Уравнения были открыты в 1750-х годах швейцарским математиком Леонардом Эйлером и итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем .

Поскольку дифференцируемый функционал стационарен в своих локальных экстремумах , уравнение Эйлера-Лагранжа полезно для решения задач оптимизации , в которых, имея некоторый функционал, ищут функцию, минимизирующую или максимизирующую его. Это аналогично теореме Ферма в исчислении , утверждающей, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равна нулю. В механике Лагранжа , согласно принципу стационарного действия Гамильтона , эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действия системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называются уравнениями Лагранжа . В классической механике [ ^2] это эквивалентно законам движения Ньютона ; действительно, уравнения Эйлера-Лагранжа будут давать те же уравнения, что и законы Ньютона. Это особенно полезно при анализе систем, векторы сил которых особенно сложны. Оно имеет то преимущество, что принимает ту же форму в любой системе обобщенных координат , и оно лучше подходит для обобщений. В классической теории поля существует аналогичное уравнение для расчета динамики поля .

История

Уравнение Эйлера–Лагранжа было разработано в связи с исследованиями проблемы таутохроны .

Уравнение Эйлера–Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохроны . Это проблема определения кривой, по которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке механики Лагранжа . Их переписка в конечном итоге привела к вариационному исчислению , термину, введенному самим Эйлером в 1766 году. ^[3]

Заявление

Пусть — действительная динамическая система со степенями свободы. Здесь — конфигурационное пространство и лагранжиан , т.е. гладкая вещественная функция такая, что и — -мерный «вектор скорости». (Для тех, кто знаком с дифференциальной геометрией , — гладкое многообразие , а где — касательное расслоение ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t)\in X,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X).}$

Пусть будет множеством гладких путей, для которых и ${\displaystyle {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$

Функционал действия определяется через ${\displaystyle S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.}$$

Путь является стационарной точкой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.}$

Здесь — производная по времени от Когда мы говорим о стационарной точке, мы имеем в виду стационарную точку относительно любого малого возмущения в . Более строгие доказательства см. ниже. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

Вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа

Вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа является одним из классических доказательств в математике . Он опирается на фундаментальную лемму вариационного исчисления .

Мы хотим найти функцию , которая удовлетворяет граничным условиям , и которая экстремизирует функционал ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)=A}$ ${\displaystyle f(b)=B}$ $${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

Мы предполагаем, что дважды непрерывно дифференцируемо. ^[4] Можно использовать и более слабое предположение, но тогда доказательство станет сложнее. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle L}$

Если экстремально влияет на функционал при соблюдении граничных условий, то любое небольшое возмущение , сохраняющее граничные значения, должно либо увеличиваться (если экстремально), либо уменьшаться (если экстремально). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$

Пусть будет результатом такого возмущения , где мало и является дифференцируемой функцией, удовлетворяющей . Тогда определим ${\displaystyle f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ $${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

Теперь мы хотим вычислить полную производную по ε . ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}}$$

Третья строка следует из того, что не зависит от , т.е. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0}$

Когда , имеет экстремальное значение, так что ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}$$

Следующий шаг — применить интегрирование по частям ко второму члену подынтегрального выражения, что дает $${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .}$$

Используя граничные условия , ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}$$

Применение фундаментальной леммы вариационного исчисления теперь приводит к уравнению Эйлера–Лагранжа $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.}$$

Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа

Задав функционал на с граничными условиями и , приступим к аппроксимации экстремальной кривой ломаной с отрезками и переходу к пределу при произвольном увеличении числа отрезков. $${\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t}$$ ${\displaystyle C^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle y(a)=A}$ ${\displaystyle y(b)=B}$ ${\displaystyle n}$

Разделим интервал на равные отрезки с концами и пусть . Вместо гладкой функции рассмотрим ломаную с вершинами , где и . Соответственно, наш функционал становится действительной функцией переменных, заданных выражением ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b}$ ${\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle y_{0}=A}$ ${\displaystyle y_{n}=B}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}$$

Экстремали этого нового функционала, определенного на дискретных точках, соответствуют точкам, где ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}$$

Обратите внимание, что изменение влияет на L не только при m, но и при m-1 для производной 3-го аргумента. ${\displaystyle y_{m}}$ $${\displaystyle L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}$$ $${\displaystyle L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}$$

Оценка частной производной дает $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}$$

Разделив приведенное выше уравнение на и взяв предел от правой части этого выражения, получаем ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}$$ ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ $${\displaystyle L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.}$$

Левая часть предыдущего уравнения — это функциональная производная функционала . Необходимым условием для того, чтобы дифференцируемый функционал имел экстремум на некоторой функции, является то, что его функциональная производная на этой функции обращается в нуль, что обеспечивается последним уравнением. ${\displaystyle \delta J/\delta y}$ ${\displaystyle J}$

Пример

Стандартный пример ^{[ требуется ссылка ]} — нахождение действительной функции y ( x ) на интервале [ a , b ], такой, что y ( a ) = c и y ( b ) = d , для которой длина пути вдоль кривой, описываемой y , является минимально возможной.

${\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}$

подынтегральная функция равна . ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$

Частные производные L равны:

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$

Подставляя их в уравнение Эйлера–Лагранжа, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$

то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и, следовательно, ее график представляет собой прямую линию .

Обобщения

Одна функция одной переменной с высшими производными

Стационарные значения функционала

${\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}$

можно получить из уравнения Эйлера–Лагранжа ^[5]

${\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}$

при фиксированных граничных условиях для самой функции, а также для первых производных (т.е. для всех ). Конечные значения высшей производной остаются гибкими. ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

Несколько функций одной переменной с одной производной

Если задача заключается в нахождении нескольких функций ( ) одной независимой переменной ( ), определяющих экстремум функционала ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

тогда соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}}$

Одна функция нескольких переменных с одной производной

Многомерное обобщение происходит из рассмотрения функции от n переменных. Если — некоторая поверхность, то ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

экстремально только если f удовлетворяет частному дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}$

Когда n = 2 и функционал является функционалом энергии , это приводит к задаче о минимальной поверхности мыльной пленки . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Несколько функций нескольких переменных с одной производной

Если необходимо определить несколько неизвестных функций и несколько переменных, таких что

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}$

Одна функция двух переменных с высшими производными

Если необходимо определить одну неизвестную функцию f , зависящую от двух переменных x ₁ и x _2, и если функционал зависит от высших производных f до n -го порядка, таких что

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}$

что можно кратко представить как:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

где — индексы, охватывающие ряд переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по индексам производится только для того, чтобы избежать многократного подсчета одной и той же частной производной, например, в предыдущем уравнении она появляется только один раз. ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{12}=f_{21}}$

Несколько функций нескольких переменных с высшими производными

Если необходимо определить p неизвестных функций f _i , зависящих от m переменных x ₁ ... x _m , и если функционал зависит от высших производных f i _до n -го порядка, таких что

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

где — индексы, охватывающие число переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

где суммирование по избегает подсчета одной и той же производной несколько раз, как и в предыдущем подразделе. Это можно выразить более компактно как ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

Обобщение на многообразия

Пусть — гладкое многообразие , а обозначим пространство гладких функций . Тогда для функционалов вида ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle f\colon [a,b]\to M}$ ${\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}$

где — лагранжиан, утверждение эквивалентно утверждению, что для всех каждая тривиализация системы координат окрестности дает следующие уравнения: ${\displaystyle L\colon TM\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0}$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$ ${\displaystyle (x^{i},X^{i})}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)}$ ${\displaystyle \dim M}$

${\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}$

Уравнения Эйлера-Лагранжа можно также записать в бескоординатной форме как ^[7]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL}$

где — каноническая 1-форма импульсов , соответствующая лагранжиану . Векторные поля, генерирующие временные трансляции, обозначаются как , а производная Ли обозначается как . Можно использовать локальные карты , в которых и и использовать координатные выражения для производной Ли, чтобы увидеть эквивалентность с координатными выражениями уравнения Эйлера-Лагранжа. Координатная свободная форма особенно подходит для геометрической интерпретации уравнений Эйлера-Лагранжа. ${\displaystyle \theta _{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })}$ ${\displaystyle \theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}}$

Смотрите также

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика
• Аналитическая механика
• Идентификация Бельтрами
• Функциональная производная

Примечания

1. Фокс, Чарльз (1987). Введение в вариационное исчисление . Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.
2. Голдштейн, Х.; Пул, К. П.; Сафко, Дж. (2014). Классическая механика (3-е изд.). Эддисон Уэсли.
3. Краткая биография Лагранжа. Архивировано 14 июля 2007 г. на Wayback Machine.
4. Курант и Гильберт 1953, стр. 184
5. Курант, Р .; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики . Том I (Первое английское издание). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
6. Вайншток, Р. (1952). Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
7. Хосе; Салетан (1998). «Классическая динамика: современный подход». Cambridge University Press . ISBN 9780521636360. Получено 2023-09-12 .

Ссылки

• «Уравнения Лагранжа (в механике)», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа». Математический мир .
• Вариационное исчисление на PlanetMath .
• Гельфанд, Израиль Моисеевич (1963). Вариационное исчисление . Дувр. ISBN 0-486-41448-5.
• Рубичек, Т.: Вариационное исчисление. Гл. 17 в: Математические инструменты для физиков. (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , стр. 551–588.