В классических теориях поля лагранжева спецификация поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, при котором наблюдатель следует за отдельным пакетом жидкости , когда он движется в пространстве и времени. [1] [2] Нанесение на график положения отдельной посылки во времени дает путь посылки. Это можно представить себе как сидящего в лодке и плывущего по реке.
Эйлерова спецификация поля потока — это способ рассмотрения движения жидкости, который фокусируется на определенных местах в пространстве, через которые жидкость течет с течением времени. [1] [2] Это можно визуализировать, сидя на берегу реки и наблюдая, как вода течет в фиксированном месте.
Лагранжевы и эйлеровы характеристики поля потока иногда условно обозначаются как лагранжева и эйлерова система отсчета . Однако в целом как лагранжева, так и эйлерова спецификация поля потока может применяться в любой системе отсчета наблюдателя и в любой системе координат , используемой в выбранной системе отсчета.
Эти спецификации отражены в вычислительной гидродинамике , где в «эйлеровом» моделировании используется фиксированная сетка , а в «лагранжевом» моделировании (например, в моделировании без сетки ) используются узлы моделирования, которые могут перемещаться в соответствии с полем скоростей .
В эйлеровой спецификации поля поле представлено как функция позиции x и времени t . Например, скорость потока представляется функцией
С другой стороны, в лагранжевой спецификации отдельные порции жидкости отслеживаются во времени. Жидкие пакеты помечены некоторым (независимым от времени) векторным полем x 0 . (Часто x 0 выбирается как положение центра масс посылок в некоторый начальный момент времени t 0 . Он выбирается таким образом, чтобы учесть возможные изменения формы с течением времени. Поэтому центр масс является хорошей параметризацией скорости потока u посылки.) [1] В лагранжевом описании поток описывается функцией
Эти две спецификации связаны следующим образом: [2]
В выбранной системе координат x 0 и x называются лагранжевыми координатами и эйлеровыми координатами потока соответственно.
Лагранжевы и эйлеровы характеристики кинематики и динамики поля потока связаны материальной производной (также называемой производной Лагранжа, конвективной производной, существенной производной или производной частицы). [1]
Предположим, у нас есть поле потока u , и нам также дано общее поле с эйлеровой спецификацией F ( x , t ). Теперь можно задаться вопросом об общей скорости изменения F , испытываемой конкретным участком потока. Это можно вычислить как
Законы сохранения единицы массы имеют лагранжеву форму, что вместе с сохранением массы приводит к сохранению Эйлера; наоборот, когда жидкие частицы могут обмениваться величиной (например, энергией или импульсом), существуют только эйлеровы законы сохранения. [3]
[1] Объективность в классической механике сплошных сред: движения, функции Эйлера и Лагранжа; Градиент деформации; Производные Лиги; Формула сложения скоростей, Кориолиса; Объективность.