Эксекант

Тригонометрическая функция определяется как секанс минус один.

Эксеканс ( exsec , exs ) и экссеканс ( excosec , excsc , exc ) являются тригонометрическими функциями , определенными в терминах секанса и косеканса . Раньше они были важны в таких областях, как геодезия , железнодорожное строительство , гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия , и могли помочь повысить точность, но сегодня используются редко, за исключением упрощения некоторых вычислений.

Единичный круг с тригонометрическими функциями . ^[1]

Эксекант

Тригонометрические функции, включая эксеканс, могут быть построены геометрически в терминах единичного круга с центром в точке O. Эксеканс — это часть DE секущей, внешняя по отношению к окружности.

Экссеканс  , ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [ 8] [9]} (лат. secans external [ ^{10] [11] [12] [13]} ), также известный как внешний , внешний , ^{[14] [15] [16] [17]} внешний или внешний секанс и сокращенно exsec ^{[18] [19] [20] [21]} или exs , ^[22] представляет собой тригонометрическую функцию , определенную через секанс функция сек( θ ): ^[23]

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.}$$

Название экссеканс можно понять из графического построения различных тригонометрических функций из единичного круга , которое использовалось исторически. sec( θ ) — это секущая линия OE , а экссеканс — это часть DE этой секущей, лежащая снаружи круга ( ex — это латинское слово out of ).

Экзосеканс

экссеканс (синий) и экссеканс (зеленый)

Связанной функцией является экзосеканс ^{[5] [24]} или соэксеканс , ^{[25] [18] [26],} также известный как внешний , внешний , ^[17] внешний или внешний косеканс и сокращенно excosec , coexsec , ^{[14] [18 ] ] [26]} excsc ^{[5] [24]} или exc , ^[22] экссеканс дополнительного угла: ^[24]

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}$$

Применение

Вплоть до 1980-х годов эксекансная функция была важна в таких областях, как геодезия , ^[8] железнодорожное строительство ^[5] (например, для прокладки кривых железных дорог и виражей ), гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия . ^{[8] [23]} Главным образом, это связано с тем, что широкая доступность калькуляторов и компьютеров устранила необходимость в тригонометрических таблицах специализированных функций, таких как эта. ^[8]

Причина определения специальной функции для экссеканса аналогична обоснованию версины : для малых углов θ функция sec( θ ) приближается к единице , и поэтому использование приведенной выше формулы для эксеканса будет включать вычитание двух почти равных количествах, что приводит к катастрофической отмене . Таким образом, таблица секущей функции потребует очень высокой точности, чтобы ее можно было использовать в качестве секущей, что делает полезной специализированную таблицу секущей. Даже при использовании компьютера ошибки с плавающей запятой могут быть проблематичными для экссекансов малых углов, если использовать определение на основе косинуса. Более точной формулой в этом пределе было бы использование тождества: ^{[3] [4] [17]}

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\cos(\theta )}}=\operatorname {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\sec(\theta )}$$

^[17]

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta ).}$$

До появления компьютеров это требовало бы трудоемких умножений.

Функция exsecant использовалась Галилео Галилеем уже в 1632 году, хотя он все еще называл ее segante (что означает секанс ). ^{[27] [28] [29] [30]} Латинский термин secans внешний использовался по крайней мере примерно с 1745 года. ^{[10] [11] [12] [13]} Использование английского термина «внешний секанс» и аббревиатуры ex. сек. можно отнести по меньшей мере к 1855 году, когда Чарльз Хаслетт опубликовал первую известную таблицу экссекантов. ^{[1] [31]} Такие вариации, как ex secant и exsec, использовались в 1880 году, ^[14] и exsecant использовался с 1894 года меньше всего. ^[2]

Термины соексеканс ^[25] и соэксеканс ^[2] можно встретить также в 1880 году, а также ^{[2] [25]} , за которыми следовал экскосеканс с 1909 года. ^[5] Эта функция также использовалась Альбертом Эйнштейном для описания кинетической энергии фермионы . ^{[29] [30]}

Математические тождества

Производные

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}$^[21]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}$

Интегралы

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$^[21]

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

Обратные функции

Обратные функции arcexsecant ^[26] ( arcexsec , ^{[5] [26]} aexsec , ^{[32] [33]} aexs , exsec ⁻¹ ) и arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , ^[5] aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc ^{− 1} ) существуют также:

${\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}$^{[26] [32] [33]} (при y  ≤ −2 или y  ≥ 0) ^[26]

$${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)}$$

Другие объекты недвижимости

Получено из единичного круга:

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}$$

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}$$

Эксекансная функция связана с касательной функцией соотношением ^[23]

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$$

Аналогично, экзосекансная функция связана с котангенсом соотношением

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$$

Эксекансная функция связана с функцией синуса соотношением

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}$$

По аналогии, экзосекансная функция связана с косинусной функцией соотношением ^[30]

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}$$

Эксеканс и экссеканс могут быть продолжены в комплексную плоскость . ^[21]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}$^[5]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}$^[5]

Смотрите также

• Тригонометрические тождества  - равенства, в которых участвуют тригонометрические функции.
• Версинус  – 1 минус косинус угла.
• Хорда  – отрезок геометрической линии, обе конечные точки которого лежат на кривой.
• Вписанная и вписанная окружности треугольника  - окружности, касающиеся всех трех сторон треугольника.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Экспонента минус 1  — математическая функция, обозначаемая exp(x) или e^x.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Натуральный логарифм плюс 1  – логарифм по основанию математической константы e.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Рекомендации

1. Хаслетт, Чарльз (сентябрь 1855 г.). Хакли, Чарльз В. (ред.). Практический справочник механика, машиниста, инженера: содержит таблицы и формулы для использования при поверхностных и твердых измерениях; прочность и вес материалов; механика; техника; гидравлика, гидродинамика; судовые двигатели, химия; и разные рецепты. Адаптирован для использования всеми классами практической механики. Вместе с полевой книгой инженера: содержит формулы для различных операций движения и смены линий, определения местоположения боковых путей и стрелок и т. д. и т. д. Таблицы радиусов и их логарифмов, натуральных и логарифмических синусов и внешних секущих, натуральных синусов и тангенсов для каждой степени и минуты квадранта, а также логарифмов из натуральных чисел от 1 до 10 000. Нью-Йорк, США: Джеймс Г. Грегори, преемник WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Проверено 13 августа 2017 г. […] Тем не менее, можно было бы сэкономить много вычислительного труда, используя таблицы внешних секущих и инверсных синусов , которые недавно с большим успехом применялись инженерами на железной дороге Огайо и Миссисипи и которые, с формулы и правила, необходимые для их применения при построении кривых, составленные г-ном Хаслеттом, одним из инженеров этой дороги, теперь впервые представлены публике. […] Представляя эту работу публике, Автор утверждает, что она представляет собой адаптацию нового принципа тригонометрического анализа формул, обычно используемых в полевых расчетах. Опыт показал, что сопоставляемые синусы и внешние секущие так же часто входят в расчеты кривых, как синусы и тангенсы; и благодаря их использованию, как показано в примерах, приведенных в этой работе, считается, что многие из общепринятых правил значительно упрощаются, а многие вычисления, касающиеся кривых и бегущих линий, становятся менее сложными, а результаты получаются с большей точностью и дальностью. меньше хлопот, чем при использовании любых методов, изложенных в работах такого рода. Все приведенные примеры были подсказаны реальной практикой и поясняются сами собой. […] Будучи книгой для практического использования в полевых работах, можно с уверенностью полагать, что она более прямолинейно применяет правила и облегчает расчеты, чем любая другая работа, используемая сейчас. В дополнение к таблицам, обычно встречающимся в книгах такого рода, автор с большим трудом подготовил таблицу натуральных и логарифмических вертикальных синусов и внешних секущих, рассчитанных в градусах для каждой минуты; также Таблица радиусов и их логарифмов от 1° до 60°. […]издание 1856 года
2. Аллен, Кэлвин Франк (1894) [1889]. Кривые железных дорог и земляные работы. Нью-Йорк, США; Лондон, Великобритания: Spon & Chamberlain; Э. и Ф. Спон, ООО . Проверено 16 ноября 2015 г.
3. Нэгл, Джеймс К. (1897). «IV.138.-165.: Кривые перехода; Таблица XIII.: Природные версины и эксеканты». Полевое руководство для инженеров железнодорожного транспорта (1-е изд.). Нью-Йорк, США: John Wiley and Sons , Chapman and Hall, Limited . стр. 110–142, 332–354 . Проверено 16 ноября 2015 г.
4. «Полевое руководство для инженеров железнодорожного транспорта» (PDF) . Инженер (обзор): 540. 3 декабря 1897 г. Архивировано (PDF) из оригинала 17 ноября 2015 г. Проверено 17 ноября 2015 г.
5. Hall, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Обзор упражнений [100] Вторичные тригонометрические функции». Написано в Анн-Арборе, штат Мичиган, США. Тригонометрия. Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. п. 125 . Проверено 12 августа 2017 г.
6. Бойер, Карл Бенджамин (1969) [1959]. «5: Комментарий к статье Э. Дж. Дейкстерхейса (Происхождение классической механики от Аристотеля до Ньютона)». В Кладжетте, Маршалл (ред.). Критические проблемы истории науки (3-е изд.). Мэдисон, Милуоки и Лондон: University of Wisconsin Press, Ltd., стр. 185–190. ISBN 0-299-01874-1. LCCN  59-5304. 9780299018740 . Проверено 16 ноября 2015 г.
7. Цукер, Рут (1983) [июнь 1964]. «Глава 4.3.147: Элементарные трансцендентные функции — Круговые функции». В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 78. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
8. Калверт, Джеймс Б. (14 сентября 2007 г.) [10 января 2004 г.]. «Тригонометрия». Архивировано из оригинала 2 октября 2007 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
9. Тэпсон, Фрэнк (2004). «Справочные сведения о мерах: углы». 1.4. Расколоть книги. Архивировано из оригинала 9 февраля 2007 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
10. Пату, Андреа-Клаудио (Андре Клод); Ле Торт, Варфоломей (февраль 1745 г.). Ривар, Франциск (Доминик-Франсуа) [на французском языке] (ред.). Тезисы Mathematicæ De Mathesi Generatim (на латыни). Collegio Dormano-Bellovaco ( Collège de Dormans-Beauvais ), Париж: Ph. Н. Лоттен. п. 6 . Проверено 6 августа 2017 г.
11. Лемонье, Петр (Пьер) (1750). Женно, Людовикум (Людовико); Роллен, Якобум (Жак) (ред.). Physica Generalis (на латыни). Том. 3. Collegio Harcuriano ( Коллеж д'Аркур ), Париж. стр. 303– . Проверено 6 августа 2017 г. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
12. Тисберт, Ян-Франс (1774). «Статья II: De situ lineæ rectæ ad Circularem; & de mensura angulorum, quorum vertex non est in circuli centro. §1. De situ lineæ rectæ ad Circularem. Definitio II: [102]». Geometria elementaria et practica (на латыни). Лования, и академическая типография. п. 30, расклад . Проверено 6 августа 2017 г.
13. ван Хехт, Джоаннес (1784). «Articulus III: De secantibus circuli: Corollarium III: [109]». Geometria elementaria et practica: quam in usum Auditum (на латыни). Лования, и академическая типография. п. 24, расклад . Проверено 6 августа 2017 г.
14. Сирлз, Уильям Генри (1 марта 1880 г.). Полевая инженерия - Справочник по теории и практике геодезии, местоположения и строительства железных дорог, предназначенный для аудиторий, полевых и офисных помещений и содержащий большое количество полезных таблиц, оригинальных и избранных (PDF) . Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons . Архивировано (PDF) из оригинала 13 августа 2017 г. Проверено 13 августа 2017 г.8-е исправленное издание, 1887 г. 16-е издание, 1910 г.
15. Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений. Том. 2 (2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г.) изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . п. 173. ИСБН 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 г.(Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
16. Суонсон, Тодд; Андерсен, Джанет; Кили, Роберт (1999). «5 (Тригонометрические функции)» (PDF) . Предварительное исчисление: исследование функций и их приложений . Харкорт Брейс и компания . п. 344. Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2003 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
17. Gottschalk, Уолтер Хельбиг (2002). Некоторые причудливые, любопытные и почти забытые триггерные функции (PDF) . Том. 80. Провиденс, Род-Айленд, США: Infinite Vistas Press. ПВД РИ, ГГ80. Архивировано (PDF) из оригинала 25 сентября 2013 г. Проверено 17 ноября 2015 г. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
18. Фрай, Альберт I. (1918) [1913]. Карманник инженера-строителя: справочник для инженеров, подрядчиков и студентов, содержащий правила, данные, методы, формулы и таблицы (2-е (исправленное) изд.). Нью-Йорк, США; Лондон, Великобритания: Компания Д. Ван Ностранда ; Констебль и компания, ООО. Проверено 16 ноября 2015 г.
19. Кеньон, Альфред Монро; Ингольд, Луи (1913). Тригонометрия. Нью-Йорк, США: Компания Macmillan . п. 5 . Проверено 8 декабря 2015 г.
20. Хадсон, Ральф Гортон; Липка, Иосиф (1917). Руководство по математике. Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons . п. 68 . Проверено 8 декабря 2015 г.
21. Вайсштейн, Эрик Вольфганг (2015) [2005]. «Эксекант». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 ноября 2005 г. Проверено 5 ноября 2015 г.
22. Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковекозин?». Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
23. Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спанье, Джером (2009) [1987]. «33.13. Функции Secant sec(x) и Cocecant csc(x) — Родственные функции». Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . п. 336. дои : 10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
24. Weisstein, Эрик Вольфганг (2015) [2013]. «Эккозекант». Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 26 марта 2014 г. Проверено 5 ноября 2015 г.
25. Боханнан, Россер Дэниел (1904) [1903]. «$131. Версованные синус, экссеканс и коэкссеканс. §132. Упражнения». Плоская тригонометрия . Университет штата Огайо : Аллин и Бэкон, Бостон, США / JS Cushing & Co. — Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс. стр. 235–236 . Проверено 9 июля 2017 г.
26. ван Влеймен, Оскар (28 декабря 2005 г.) [2003]. «Гониология». Eenheden, постоянные разговоры . Архивировано из оригинала 28 октября 2009 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
27. Галилей, Галилей (1632). Dialogo di Galileo Galilei sopra i Due Massimi Sistemi del mondo Tolemaico e Copernicano [ Диалог о двух главных мировых системах, Птолемеевой и Коперниканской ] (на итальянском языке).
28. Галилей, Галилей (25 мая 1997 г.) [1632]. Финоккьяро, Морис А. (ред.). Галилей о мировых системах: новый сокращенный перевод и руководство . Издательство Калифорнийского университета . стр. 184 (n130), 184 (n135), 192 (n158). ISBN 9780520918221. Проверено 30 июля 2017 г. […] Слово Галилея — segante (что означает секанс ), но он явно имеет в виду exsecant; экссеканс определяется как часть секущей, внешняя по отношению к окружности, […]
29. Хокинг, Стивен Уильям , изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды физики и астрономии . Филадельфия, США: Беговая пресса . ISBN 0-7624-1698-Х. LCCN  2002100441 . Проверено 31 июля 2017 г.
30. Ставек, Иржи (10 марта 2017 г.) [26 февраля 2017 г.]. «О скрытой красоте тригонометрических функций». Прикладные физические исследования . Прага, Чехия: Канадский центр науки и образования. 9 (2): 57–64. дои : 10.5539/apr.v9n2p57 . ISSN  1916-9639. ISSN  1916-9647.[1]
31. Бедный, Генри Варнум , изд. (22 марта 1856 г.). «ПРАКТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК и Полевой справочник инженера. Чарльз Хаслетт, CE. Под редакцией профессора Чарльза В. Хакли, 1 том. 12 мес. Стр. 617. Цена 2,50 доллара. Колумбийский колледж, Нью-Йорк Стрингер и Таунсенд» (PDF ) . Американский железнодорожный журнал - паровая навигация, торговля, горнодобывающая промышленность, производители (обзор). Вторая серия-кварто. JH Schultz & Co. XII (12): 184. Whole No. 1040, Vol. ХХ . Проверено 14 августа 2017 г.
32. Симпсон, Дэвид Г. (08 ноября 2001 г.). «AUXTRIG» ( исходный код на Фортране 90 ). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Архивировано из оригинала 16 июня 2008 г. Проверено 26 октября 2015 г.
33. ван ден Доэль, Кес (25 января 2010 г.). «Класс jass.utils Fmath». JASS — Java-система синтеза аудио . 1.25. Архивировано из оригинала 2 сентября 2007 г. Проверено 26 октября 2015 г.