эксперимент ГГЦ

Эксперимент Гринбергера–Хорна–Цайлингера или эксперименты GHZ представляют собой класс физических экспериментов, которые могут быть использованы для генерации резко контрастирующих предсказаний из локальной теории скрытых переменных и квантово-механической теории и позволяют немедленно сравнивать их с фактическими экспериментальными результатами. Эксперимент GHZ похож на проверку неравенства Белла , за исключением использования трех или более запутанных частиц , а не двух. При определенных настройках экспериментов GHZ можно продемонстрировать абсолютные противоречия между предсказаниями локальной теории скрытых переменных и предсказаниями квантовой механики, тогда как проверки неравенства Белла демонстрируют только противоречия статистического характера. Результаты фактических экспериментов GHZ согласуются с предсказаниями квантовой механики.

Эксперименты GHZ названы в честь Дэниела М. Гринбергера , Майкла А. Хорна и Антона Цайлингера (GHZ), которые впервые проанализировали некоторые измерения с участием четырех наблюдателей ^[1] и которые впоследствии (вместе с Эбнером Шимони (GHSZ), по предложению Дэвида Мермина ) применили свои аргументы к некоторым измерениям с участием трех наблюдателей. ^[2]

Краткое описание и пример

Эксперимент GHZ выполняется с использованием квантовой системы в состоянии Гринбергера–Хорна–Цайлингера . Примером ^[3] состояния GHZ являются три фотона в запутанном состоянии, причем фотоны находятся в суперпозиции , будучи все горизонтально поляризованными (HHH) или все вертикально поляризованными (VVV) относительно некоторой системы координат . Состояние GHZ можно записать в скобках как

|\mathrm {GHZ} \rangle = {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {HHH} \rangle +|\mathrm {VVV} \rangle).

До проведения каких-либо измерений поляризации фотонов неопределенны; если измерение проводится на одном из фотонов с использованием двухканального поляризатора, совмещенного с осями системы координат, то фотон принимает либо горизонтальную, либо вертикальную поляризацию с вероятностью 50% для каждой ориентации, а два других фотона немедленно принимают идентичную поляризацию.

Однако в эксперименте GHZ по поляризации фотонов для измерения фотонов используются две другие ориентации двухканальных поляризаторов:

Линейный поляризатор, повернутый на 45° относительно осей системы координат, который различает поляризацию, повернутую на 45° по часовой стрелке от горизонтали (+), и поляризацию, повернутую на 45° против часовой стрелки от горизонтали (−).
Круговой поляризатор , который различает правую поляризацию (R) и левую поляризацию (L).

Когда определенные комбинации этих двух типов измерений выполняются для каждого из трех запутанных фотонов, идеальные (а не статистические) корреляции между тремя поляризациями предсказываются квантовой механикой. Например, когда круговой поляризатор используется для фотонов 1 и 2, а линейный поляризатор 45° используется для фотона 3, единственными возможными комбинациями результатов (из общего числа) являются следующие: $2^{3}=8$

РЛ+, ЛР+, РР−, ЛЛ−.

Такая корреляция идеальна в том смысле, что знание двух результатов измерений позволяет с уверенностью предсказать третий. (Разумеется, реальные эксперименты будут иметь небольшую погрешность.)

Локальная теория скрытых переменных (также известная как « локальный реализм ») также может объяснить любую из этих корреляций изолированно , постулируя, что каждый фотон имеет локальные переменные, которые идеально диктуют, каким должен быть результат для каждого типа измерения. Однако, когда одновременно рассматриваются различные комбинации измерений, предсказания локальной теории скрытых переменных обязательно будут противоречить предсказаниям квантовой механики. В частности, учитывая, что при использовании кругового поляризатора на любых двух фотонах и линейного поляризатора 45° на третьем фотоне возможными комбинациями результатов являются четыре, упомянутые выше, локальная теория скрытых переменных должна предсказывать, что при использовании линейного поляризатора 45° на всех трех фотонах возможными комбинациями результатов должны быть:

----, ++-, +-+, −++.

Однако квантовая механика предсказывает, что именно четыре другие комбинации результатов должны быть возможны. Результаты реальных экспериментов согласуются с предсказаниями квантовой механики, а не локального реализма. ^[4]^[5]

За свой вклад Цайлингер был удостоен (совместной) Нобелевской премии по физике 2022 года. ^[6]

Объяснение квантовых вычислений

На языке квантовых вычислений состояние поляризации каждого фотона представляет собой кубит , базис которого может быть выбран следующим образом:

|0\rangle \equiv |\mathrm {H} \rangle,\qquad |1\rangle \equiv |\mathrm {V} \rangle.

При правильном выборе фазовых множителей для и оба типа измерений, используемых в эксперименте, становятся измерениями Паули , при этом два возможных результата представляются как +1 и −1 соответственно: $|\mathrm {H} \rangle$ $|\mathrm {V} \rangle$

Линейный поляризатор 45° реализует измерение Паули, различая собственные состояния $X$

|{+X}\rangle \equiv |+\rangle = {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +|\mathrm {V} \rangle) ,\qquad |{-X}\rangle \equiv |-\rangle = {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -|\mathrm {V} \rangle ).

Круговой поляризатор реализует измерение Паули, различая собственные состояния $Y$

|{+Y}\rangle \equiv |R\rangle = {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle +i|\mathrm {V} \rangle ),\qquad |{-Y}\rangle \equiv |L\rangle = {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\mathrm {H} \rangle -i|\mathrm {V} \rangle ).

Комбинацию этих измерений на каждом из трех кубитов можно рассматривать как деструктивное многокубитное измерение Паули, результат которого является произведением каждого однокубитного измерения Паули. Например, комбинация "круговой поляризатор на фотонах 1 и 2, линейный поляризатор 45° на фотоне 3" соответствует измерению , а четыре возможные комбинации результатов (RL+, LR+, RR−, LL−) — это именно те, которые соответствуют общему результату −1. $Y_{1}Y_{2}X_{3}$

Квантово-механические предсказания эксперимента GHZ можно суммировать следующим образом:

\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}Y_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}X_{2}Y_{ 3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}Y_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =-1,

\langle \mathrm {ГГЦ} |X_{1}X_{2}X_{3}|\mathrm {ГГЦ} \rangle =+1,

что соответствует квантовой механике, поскольку все эти многокубитные Паули коммутируют друг с другом, и

Y_{1}Y_{2}X_{3}\cdot Y_{1}X_{2}Y_{3}\cdot X_{1}Y_{2}Y_{3}\cdot X_{1}X_ {2}X_{3}=-1

из-за антикоммутативности между и . $X$ $Y$

Между тем, эти результаты приводят к противоречию в любой локальной теории скрытых переменных, где каждое измерение должно иметь определенные (классические) значения, определяемые скрытыми переменными, поскольку $x_{i},y_{i}=\pm 1$

y_{1}y_{2}x_{3}\cdot y_{1}x_{2}y_{3}\cdot x_{1}y_{2}y_{3}\cdot x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}

должно быть равно +1, а не −1. ^[5]

Подробный технический пример

Предварительные соображения

Часто рассматриваемые случаи экспериментов GHZ связаны с наблюдениями, полученными с помощью трех измерений, A, B и C, каждое из которых обнаруживает один сигнал за раз в одном из двух различных взаимоисключающих результатов (называемых каналами): например, A обнаруживает и подсчитывает сигнал либо как $(A↑)$ , либо как $(A↓)$ , B обнаруживает и подсчитывает сигнал либо как $(B ≪),$ либо как $(B ≫)$ , а C обнаруживает и подсчитывает сигнал либо как $(C ◊),$ либо как $(C ♦)$ .

Сигналы следует учитывать и подсчитывать только в том случае, если A, B и C обнаруживают их одновременно в ходе одного испытания; то есть для любого сигнала, обнаруженного A в ходе одного конкретного испытания, B должен обнаружить ровно один сигнал в том же испытании, а C должен обнаружить ровно один сигнал в том же испытании; и наоборот.

Для любого конкретного испытания можно последовательно различать и подсчитывать,

A обнаружил сигнал как $(A↑)$ , а не как $(A↓)$ , с соответствующими значениями $n t (A↑) = 1$ и $n t (A↓) = 0$ , в этом конкретном испытании t , или
A обнаружил сигнал как $(A↓)$ , а не как $(A↑)$ , с соответствующими значениями $n f (A↑) = 0$ и $n f (A↓) = 1$ , в этом конкретном испытании f , где испытания f и t явно различны;

аналогично, можно различить и подсчитать,

B обнаружил сигнал как $(B ≪)$ , а не как $(B ≫)$ , с соответствующими значениями $n g (B ≪) = 1$ и $n g (B ≫) = 0$ , в этом конкретном испытании g , или
B обнаружил сигнал как $(B ≫),$ а не как $(B ≪)$ , с соответствующими значениями $n h (B «) = 0$ и $n h (B ≫) = 1$ , в этом конкретном испытании h , где испытания g и h явно различны;

и соответственно, можно различить и посчитать,

C обнаружил сигнал как $(C ◊)$ , а не как $(C ♦)$ , с соответствующими значениями $n l (C ◊) = 1$ и $n l (C ♦) = 0$ , в этом конкретном испытании l , или
C обнаружил сигнал как $(C ♦)$ , а не как $(C ◊)$ , с соответствующими значениями $n m (C ◊) = 0$ и $n m (C ♦) = 1$ , в этом конкретном испытании m , где испытания l и m явно различны.

Для любого испытания j можно последовательно различить, в каких конкретных каналах сигналы были обнаружены и подсчитаны совместно A, B и C в этом конкретном испытании j ; и корреляционные числа, такие как

p_{(\mathrm {A} \uparrow )(B\ll )(C\lozenge )}(j)=[n_{j}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{j}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{j}(\mathrm {B} \ll )-n_{j}(\mathrm {B} \gg )][n_{j}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{j}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]

могут быть оценены в каждом испытании.

Следуя аргументу Джона Стюарта Белла , каждое испытание теперь характеризуется конкретными индивидуальными регулируемыми параметрами аппарата или настройками участвующих наблюдателей. Для каждого из них рассматриваются (по крайней мере) две различимые настройки , а именно настройки A a ₁ и a ₂ , настройки B b ₁ и b ₂ и настройки C c ₁ и c ₂ .

Например, испытание s будет характеризоваться настройкой A a ₂ , настройкой B b ₂ и настройками C c ₂ ; другое испытание, r , будет характеризоваться настройкой A a ₂ , настройкой B b ₂ и настройками C c ₁ и т. д. (Поскольку настройки C различны в испытаниях r и s , то эти два испытания различны.)

Соответственно, корреляционное число $p (A↑)(B≪)(C◊) (s)$ записывается как $p (A↑)(B≪)(C◊) (a 2, b 2, c 2)$ , корреляционное число $p (A↑)(B≪)(C◊) (r)$ записывается как $p (A↑)(B≪)(C◊) (a 2, b 2, c 1)$ и так далее.

Кроме того, как подробно демонстрируют Гринбергер, Хорн, Цайлингер и их коллеги, можно рассмотреть и экспериментально обнаружить следующие четыре отдельных испытания с различными отдельными подсчетами детекторов и с соответствующим образом определенными настройками :

испытание s, как показано выше, характеризуется настройками a 2 _, b 2 _и c 2 _, и с такими числами детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(s)=[n_{s}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{s}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{s}(\mathrm {B} \ll )-n_{s}(\mathrm {B} \gg )][n_{s}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{s}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=-1,$
испытание u с настройками a ₂ , b ₁ и c ₁ и с такими числами детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(u)=[n_{u}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{u}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{u}(\mathrm {B} \ll )-n_{u}(\mathrm {B} \gg )][n_{u}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{u}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=1,$
испытание v с настройками a ₁ , b ₂ и c ₁ и с такими числами детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(v)=[n_{v}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{v}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{v}(\mathrm {B} \ll )-n_{v}(\mathrm {B} \gg )][n_{v}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{v}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=1,$ и
испытание w с настройками a ₁ , b ₁ и c ₂ и с такими числами детекторов, что
$p_{(\mathrm {A} \uparrow )(\mathrm {B} \ll )(\mathrm {C} \lozenge )}(w)=[n_{w}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{w}(\mathrm {A} \downarrow )][n_{w}(\mathrm {B} \ll )-n_{w}(\mathrm {B} \gg )][n_{w}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{w}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )]=1.$

Понятие локальных скрытых переменных теперь вводится путем рассмотрения следующего вопроса:

$Можно ли выразить отдельные результаты обнаружения и соответствующие им подсчеты, полученные любым одним наблюдателем, например ,$ числа $(n j (A↑) - n j (A↓))$ , как функцию $A (ax, λ)$ (которая обязательно принимает значения +1 или −1), т.е. как функцию только настроек этого наблюдателя в этом испытании и одного другого скрытого параметра $λ$ , но без явной зависимости от настроек или результатов, касающихся других наблюдателей (которые считаются далекими )?

Следовательно: можно ли выразить корреляционные числа, такие как $p (A↑)(B≪)(C◊) (a x, b x, c x)$ , как произведение таких независимых функций, $A (a x, λ)$ , $B (b x, λ)$ и $C (c x, λ)$ , для всех испытаний и всех настроек с подходящим значением скрытой переменной $λ$ ?

Сравнение с произведением, которое явно определило $p (A↑)(B≪)(C◊) (j)$ выше, легко предполагает идентификацию

$\lambda \to j$ ,
$A(a_{x},j)\to n_{j}(\mathrm {A} \uparrow )-n_{j}(\mathrm {A} \downarrow ),$
$B(b_{x},j)\to n_{j}(\mathrm {B} \ll )-n_{j}(\mathrm {B} \gg ),$ и
$C(c_{x},j)\to n_{j}(\mathrm {C} \;\lozenge )-n_{j}(\mathrm {C} \;\blacklozenge )$ ,

где j обозначает любое одно испытание, которое характеризуется конкретными настройками a _x , b _x и c _x для A, B и C соответственно.

Однако GHZ и соавторы также требуют, чтобы скрытый переменный аргумент функций A() , B() и C() мог принимать одно и то же значение , $λ$ , даже в отдельных испытаниях, характеризующихся различными экспериментальными контекстами . Это предположение статистической независимости (также предполагается в теореме Белла и обычно известно как предположение «свободной воли»).

Следовательно, подставляя эти функции в согласованные условия для четырех различных испытаний u , v , w и s, показанных выше, можно получить следующие четыре уравнения относительно одного и того же значения $λ$ :

$A(a_{2},\lambda )B(b_{2},\lambda )C(c_{2},\lambda )=-1,$
$A(a_{2},\lambda )B(b_{1},\lambda )C(c_{1},\lambda )=1,$
$A(a_{1},\lambda )B(b_{2},\lambda )C(c_{1},\lambda )=1,$ и
$A(a_{1},\lambda )B(b_{1},\lambda )C(c_{2},\lambda )=1.$

Взяв произведение последних трех уравнений и отметив, что $A (a 1, λ) A (a 1, λ) = 1$ , $B ( b 1, λ) B (b 1, λ) = 1$ и $C ( c 1, λ) C (c 1, λ) = 1$ , получаем

A(a_{2},\lambda )B(b_{2},\lambda )C(c_{2},\lambda )=1

в противоречии с первым уравнением; $1 \neq -1$ .

Учитывая, что четыре рассматриваемых испытания действительно могут быть последовательно рассмотрены и экспериментально реализованы, предположения относительно скрытых переменных , которые приводят к указанному математическому противоречию, в совокупности непригодны для представления всех экспериментальных результатов; а именно, предположение о локальных скрытых переменных , которые встречаются в равной степени в различных испытаниях .

Вывод неравенства

Поскольку уравнения (1) по (4) выше не могут быть удовлетворены одновременно, когда скрытая переменная $λ$ принимает одно и то же значение в каждом уравнении, GHSZ продолжает, позволяя $λ$ принимать разные значения в каждом уравнении. Они определяют

$Λ 1$ : множество всех $λ$ s, таких что выполняется уравнение (1),
$Λ 2$ : множество всех $λ$ s, таких что выполняется уравнение (2),
$Λ 3$ : множество всех $λ$ s, таких что выполняется уравнение (3),
$Λ 4$ : множество всех $λ$ s, таких что выполняется уравнение (4).

Кроме того, $Λ i c$ является дополнением $Λ$ i $.$

Теперь уравнение (1) может быть истинным только в том случае, если хотя бы одно из трех других ложно. Следовательно,

\Lambda _{1}\subseteq \Lambda _{2}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{3}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{4}^{\rm {c}}

С точки зрения вероятности,

p(\Lambda _{1})\leq p(\Lambda _{2}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{3}^{\rm {c}}\cup \Lambda _{4}^{\rm {c}})

По правилам теории вероятностей следует, что

p(\Lambda _{1})\leq p(\Lambda _{2}^{\rm {c}})+p(\Lambda _{3}^{\rm {c}})+p(\Lambda _{4}^{\rm {c}})

Это неравенство допускает экспериментальную проверку.

Проверка неравенства

Чтобы проверить только что полученное неравенство, GHSZ необходимо сделать еще одно предположение, предположение о «честной выборке». Из-за неэффективности реальных детекторов в некоторых испытаниях эксперимента будут обнаружены только одна или две частицы из тройки. Честная выборка предполагает, что эти неэффективности не связаны со скрытыми переменными; другими словами, количество троек, фактически обнаруженных в любом запуске эксперимента, пропорционально количеству, которое было бы обнаружено, если бы аппарат не имел неэффективности — с той же константой пропорциональности для всех возможных настроек аппарата. При этом предположении $p (Λ 1)$ можно определить, выбрав настройки аппарата a ₂ , b ₂ и c ₂ , подсчитав количество троек, для которых результат равен −1, и разделив на общее количество троек, наблюдаемых при этой настройке. Другие вероятности можно определить аналогичным образом, используя , что позволяет провести прямую экспериментальную проверку неравенства. $p(\Lambda ^{\rm {c}})=1-p(\Lambda )$

GHSZ также показывает, что от предположения о справедливой выборке можно отказаться, если эффективность детектора составляет не менее 90,8%.

Ссылки

^ Д. Гринбергер; М. Хорн; А. Шимони; А. Цайлингер (1990). «Теорема Белла без неравенств». Am. J. Phys . 58 (12): 1131. Bibcode :1990AmJPh..58.1131G. doi : 10.1119/1.16243 .
^ D. Mermin (1990). «Квантовые тайны снова в действии». Am. J. Phys . 58 (8): 731–734. Bibcode : 1990AmJPh..58..731M. doi : 10.1119/1.16503.и ссылки в них
^ А. Цайлингер, Танец фотонов , Фаррар, Штраус и Жиру, Нью-Йорк, 2010, стр. 218–223.
^ Цзянь-Вэй Пань; Д. Боуместер; М. Даниэль; Х. Вайнфуртер; А. Цайлингер (2000). «Экспериментальная проверка квантовой нелокальности в трехфотонной GHZ-запутанности». Nature . 403 (6769): 515–519. Bibcode :2000Natur.403..515P. doi :10.1038/35000514. PMID 10676953. S2CID 4309261.
^ ab Vaidman, Lev (2015-01-12). «Неравенство Белла и многомировая интерпретация». arXiv : 1501.02691 [quant-ph].
^ Нобелевский комитет по физике (2022), ЗА ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ЗАПУТАННЫМИ ФОТОНАМИ, УСТАНОВЛЕНИЕ НАРУШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ БЕЛЛА И ПИОНЕРСКУЮ НАУКУ В ОБЛАСТИ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ (PDF) , Стокгольм, Швеция: Королевская шведская академия наук , получено 2022-07-03