Экспоненциальный Долеан-Дейд

В стохастическом исчислении экспонента Долеана -Дейда или стохастическая экспонента семимартингала X является единственным сильным решением стохастического дифференциального уравнения , где обозначает процесс левых пределов, т. е . . $${\displaystyle dY_{t}=Y_{t-}\,dX_{t},\quad \quad Y_{0}=1,}$$ ${\displaystyle Y_{-}}$ ${\displaystyle Y_{t-}=\lim _{s\uparrow t}Y_{s}}$

Концепция названа в честь Катрин Долеан-Дейд . ^[1] Стохастическая экспонента играет важную роль в формулировке теоремы Гирсанова и естественным образом возникает во всех приложениях, где важны относительные изменения, поскольку измеряет кумулятивное процентное изменение . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Обозначения и терминология

Полученный выше процесс обычно обозначается как . Термин «стохастическая экспонента» возникает из-за сходства с натуральной экспонентой : Если X абсолютно непрерывен по времени, то Y решает, путь за путем, дифференциальное уравнение , решением которого является . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)=Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle dY_{t}/\mathrm {d} t=Y_{t}dX_{t}/dt}$ ${\displaystyle Y=\exp(X-X_{0})}$

Общая формула и особые случаи

• Без каких-либо предположений относительно семимартингала имеем, где — непрерывная часть квадратичной вариации, а произведение распространяется на (счетное число) скачков X до момента времени t . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}^{c}{\Bigr )}\prod _{s\leq t}(1+\Delta X_{s})\exp(-\Delta X_{s}),\qquad t\geq 0,}$$ ${\displaystyle [X]^{c}}$ ${\displaystyle X}$
• Если непрерывно, то В частности, если — броуновское движение , то экспонента Долеан-Дейд — геометрическое броуновское движение . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)=\exp {\Bigl (}X-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]{\Bigr )}.}$$ ${\displaystyle X}$
• Если непрерывна и имеет конечную вариацию, то Здесь не обязательно должна быть дифференцируемой по времени; например, может быть функцией Кантора . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)=\exp(X-X_{0}).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

• Стохастическая экспонента не может стремиться к нулю непрерывно, она может только подпрыгнуть до нуля. Следовательно, стохастическая экспонента непрерывного семимартингала всегда строго положительна.
• Как только он прыгнул к нулю, он поглощается нулем. Первый раз, когда он прыгнул к нулю, это как раз первый раз, когда . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle \Delta X=-1}$
• В отличие от натуральной экспоненты , которая зависит только от значения в момент времени , стохастическая экспонента зависит не только от, но и от всей истории в интервале времени . По этой причине следует писать и не . ${\displaystyle \exp(X_{t})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X_{t})}$
• Натуральную экспоненту семимартингала всегда можно записать как стохастическую экспоненту другого семимартингала, но не наоборот.
• Стохастическая экспонента локального мартингейла снова является локальным мартингейлом.
• Все формулы и свойства, приведенные выше, применимы также к стохастической экспоненте комплексного -значного . Это имеет применение в теории конформных мартингалов и в вычислении характеристических функций. ${\displaystyle X}$

Полезные идентификаторы

Формула Йора: ^[2] для любых двух семимартингалов и одного из них ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(U){\mathcal {E}}(V)={\mathcal {E}}(U+V+[U,V])}$$

Приложения

• Стохастическая экспонента локального мартингала появляется в формулировке теоремы Гирсанова . Критерии того, что стохастическая экспонента непрерывного локального мартингала является мартингалом, задаются условием Казамаки , условием Новикова и условием Бенеша. ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Вывод явной формулы для непрерывных семимартингалов

Для любого непрерывного семимартингала X , предположим, что он непрерывен и строго положителен. Тогда применение формулы Ито с ƒ ( Y ) = log( Y ) дает ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log(Y_{t})-\log(Y_{0})&=\int _{0}^{t}{\frac {1}{Y_{u}}}\,dY_{u}-\int _{0}^{t}{\frac {1}{2Y_{u}^{2}}}\,d[Y]_{u}=X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}.\end{aligned}}}$

Возведение в степень дает решение ${\displaystyle Y_{0}=1}$

${\displaystyle Y_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}{\Bigr )},\qquad t\geq 0.}$

Это отличается от того, что можно было бы ожидать по сравнению со случаем, когда X имеет конечную вариацию из-за существования квадратичного вариационного члена [ X ] в решении.

Смотрите также

• Стохастический логарифм

Ссылки

1. Долеанс-Дейд, К. (1970). «Некоторые применения формулы изменения переменных для семимартингалов». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete [ Теория вероятностей и смежные области ] (на французском языке). 16 (3): 181–194. дои : 10.1007/BF00534595 . ISSN  0044-3719. S2CID  118181229.
2. Йор, Марк (1976), «Sur lesintegres stochastiques optionnelles et une suite remarquable de formules expondielles», Séminaire de Probabilités X Université de Strasbourg, Lecture Notes in Mathematics, vol. 511, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 481–500, doi : 10.1007/bfb0101123, ISBN 978-3-540-07681-0, S2CID  118228097 , получено 2021-12-14

• Жакод, Дж.; Ширяев, А.Н. (2003), Предельные теоремы для случайных процессов (2-е изд.), Springer, стр. 58–61, ISBN 3-540-43932-3
• Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4